指数不等式、对数不等式的解法•例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
例5-3-7解不等式：(0.0.04解(1)原不等式可化为(0.2/获1〉0.护U=X2-2x-1V2(指数函数的单调性)U^x2-2x-3V0(x+1)(x-3)VO所以原不等式的解为-1VxV3。原不等式可化为0-!>-佢二庄〔指数函数的单调性)寻72x-h2>1-71-x2(>0)令2签一J〉〔l-J1一令J1-/〉1-签注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8解不等式log(X2-X-2)>1。x+1解［法一］原不等式同解于山乐+i仪可〉O01绍嗣仗f0
0x>2x>33J+1〉1卜VwVO或彳葢-2〉0台店〉2x-2〉1所以原不等式的解为x>3。［法二］原不等式同解于log(x2-x-2)>log(x+1)x+1x+1r0l或弓J-吝qs2-x-2^x十1Lf-l0或-1或盜〉2-l誉所以原不等式的解为x>3。注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。例5-3-9解不等式22k'1-6X(1)i-y8.解原不等式可化为22x-6X2x—16V0令2X二t(t>0)，则得t2-6t-16V0f>(t+2)(t—8)V0^^>—2VtV8又t>0,故0VtV8即0V2xV8,解得xV3。解。例5-3-10解不等式扌-1笔1仪解原不等式可化为[logL(x-l)]22可1站1仗一1)1憎1仗一522-1>0[logL(x-I)]2+logX(X-1)-222<0令log!=则得2t+t-2丈0<=>t(t十2)(t0解得tV-2或OVtVI,即-2或0<1殆22所此^-1即原不等式的解为注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。例5-3-11设a>0且aHl,解不等式a解原不等式可化为詁7展打_al-21o^K令lOgx二t,则得a产、严当0VaV1时，由指数函数的单调性，有4—t2<1-2112_21-3>0「(t+1)(t—3)>0U^tV-1，或t>3从而1假筈V-1或1假或藍fa当a>1时，则有4-12>1-21^^>t2-2t-3V0C(t+1)(t-3)V0C~>-1VtV3从而-l<^logaz<^3<=>—a3a注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，yWR，有f(x+y)=f(x)・f(y)；并且当x>0时，f(x)>1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)>a2。
分析
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由题设条件容易联想到f(x)是指数型函数，又a2=f(l)・f(1)=f⑵，故原不等式同解于f(x2+x-4)>f(2)。于是，问题归结为先确定f(x)的单调性，再解一个二次不等式。解首先=f(|+|)^Oo又因为不存在阿C兔使F侄』=0，否则，对任意xGR，有f(x)=f((x-x)+x)=f(x-x)f(x)=00000与已知矛盾，所以对任意xGR，有f(x)>0。现设x，yGR，且y=x+6(6>0)。贝Vf(y)-f(x)=f(x+6)-f(x)=f(x)f(6)-f(x)二f(x)[f(6)-l]>0(・.・6>0,・・・f(6)>l)。故f(x)在只内是增函数。于是原不等式同解于x2+x-4>2^^x2+x-6>0^^>xV-3或x>2注本题的关键是确定函数f(x)的单调性，而不必求出它的具体
表
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