梦教育中心随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X可能取的值为X,x,…,x,…,x,X取每一个值X(i=1,2,…,n)的概率12iniP(X=x)=p，则称以下表格iiXx1x2•••x•••xPp1P2•••p.i•••pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1)P三0,i=1,2,…,n(2)p+p+•••+p=1i12n1．两点分布如果随机变量X的分布列为X01P1-pp则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率.2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件匕=讣发生的概率为:P(X=k)=m—n~m—,k=0,1,2,3,...,mCnN则随机变量X的概率分布列如下:X01•••mPC0Cn-0—M_N-MCnNC1Cn-1—M_N-MCnN•••CmCn一m—M_N-M-CnN其中m=min{m,n},且n
0，称P(BIA)=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(A)0WP(BIA)W1如果B和C互斥，那么P[(BC)IA]=P(BIA)+P(CIA)TOC\o"1-5"\h\z三、相互独立事件u设A,B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立。即A、B相互独立oP(AB)=P(A)P(B)一般地，如果事件A,A,…,A两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，12n即P(AA...A)=P(A)P(A)...P(A).12n12n注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，记A是“第i次试验的结果”显然，P(AA…A)二P(A)P(A)…P(A)i12n12n“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Ckpk(1一p)n-k=Ckpkqn-k,k=0,1,2,...,n.(其中q=1-p)，而称p为成功概率.nn五、二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Ckpk(1—p)n-k，k=0,1,2,…,nn3.若X〜B(n,p)，则E(X)=npXx1x2・••x・••xPP2・••pii・••pn六、离散随机变量的均值(数学期望)一般地，随机变量X的概率分布列为则称E(X)=xp+xp++xp++xp1122iinn为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型Xx1x2・••x・••xPp1P2・••pii・••pn七、离散型随机变量取值的方差和
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差一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为则称DX=(x-E(X))2p+(x-E(X))2p+•••+1122并称空D随机变量x的标准差.-E(XnYax+b1ax+b2・••ax+bi・••ax+bnPp1p2・••pi—41・••p—n1随机变量取值的平均水平.1.若Y二aX+b，其中a,b为常数，则Y也是变量则EY=aE(X)+b，即E(aX+b)=aE(X)+b2.—般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=1xp+0x(1-p)=p若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p)若X〜B(n,p)，则D(X)=np(1-p)D(aX+b)二a2D(X)X01・••k・••nPC0p0qnnC1p1qn-1n・••Ckpkqn-kn・••Cnpnq0n此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,p)，并称p为成功概率.即若X服从两点分布，则E(X)=p
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