行列式在高中几何中的应用——三阶行列式的应用冋量作为沟通代数与几何的桥梁很引人高中数学，大大简化了几何间题运算量；在立体几何中常用法向量来解决距离间题，夹角间题，于是求法向量又是一个新冋题°行列式在求法向量时比较简洁，明快，并且三阶行列式还可以求点到平面的距离，四面体，平行六面体的体积.-X行列式的定义n阶行列式的定义，符号第1列第2列第幵列叫做"阶行列式具中吗表示行列式中弟，行第j列上的元素，即第一下标表示行数.第二下标表示列数.如◎表示弟2行第4列上的元素.返里只介绍三阶行列武的运算规定以及应用•二阶行列式的定又乂符号三阶行列式的定义：符号。11%如°1\如5=如彳皿3+a\2a23a31+如冬一a\3a22a31~^12^21^33一4142比叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）.下面举例说明三阶行列式在离中几何中的应用.二.利用三阶行列式求法向量1.定义’设平面G内不共线的两个的向量的坐标为勺=（遢，必，可），_17k色-（^2，%，Zj，则行列式工】VjZ24V.2.例；直棱枉ABC-ABC-中，九B=EC=丄川4,J」'Q1ZBAC=90°,D为棱BE的中点.来平面ADC的一个法向量.如图，建立空间直角坐标糸A-xy-z,则“4(0,0,0),4(0,0,2),5(0,1,0),耳(0,1,2),C(1,0,0),C}(1,0,2),Z)(0,1r1),取面ADC内两个不共线向量丁万二(0,1,1),疋=(1,0,0),则平面ADC的一个袪向量为:■■—«iJk011=j-k=(0,1,-1)；1002.应用举例证明线面平行；平面平面&外一条直线？的一◎的一个非零法向量是：,a的充要条件是fw=Q•求二面角；面aD面0=1,面a的一个非零法向量是并，面0的一!•个非零袪向量是亦，则二面角a-1-p的大小为^arccos
或7T-arccos.[:例1】正三棱柱ABC-A^C.的侧棱长为,底面辺长为2,Q是&C的中点.⑴证明:ABx/f平面DSC】;解：依题意，建立如图所示的空间亘角坐标糸:c-x)2,则：C(0,0,0),C](0,0,刀)，5(0,2,0),耳(0,2,V3),J(V3,1,0),平面DBC、的一个迭向量为:巫•£=（』,1,V3）32九@,19J3),D声,1,0),贝IJ22—,巧DB=(-—,2丄，0),2龙=(也,•2/场丄刃，所以AB}//平面DBC}.炬丄”，所以且场〃平面(II)面QBC］的一个袪问量为：面BC\C的一个法向量为:_亍j无_wi=00VI=-25/3?,万=（一2“,0,0）,020贝ij|cos|=m•门I剧•帀ll2>/3.2x/3~4因此二面角——c的余弦值为：・来异面直线的公共法问量：a与b是异面直线，向量£=(兀,”,可)是直线a的方向向量，v2=(x29y29z?)是直线b的方问向量，则异面直线a与b的一个公共法向量是：:Jk刃=工】M彳勺兀Z2法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线a和b,且他们的一个法向量为：，因为直线a丄云，记垂足为b丄d记垂足为N,则线段」£V的长就是异面直线a和D的距离,如图，记法向量n^BA的夹角为&,则|而曰瓦||顽||迹6斗匸・顽|,故|莎匸四马=也凹.其中水分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上.【例2】已知正方体ABCD-A.B.CD.的棱长为1•求异面直线D4］勻卫C的距离.解；建立如图所示的空间直角坐标^D-xyz,込0,0),外(1,0,1),C(0,u0),a<=(i,o,i),.ic=(-i,i,o)于是异面直DA与・4C的一个法向量为W=101=-}+1-7=(-1,-1,1)-110分别在异面直线DA占AC各取一点虫、D,异面宜线D冬与EC的距离为,|£・三5||(-1,-1r1).<-1,0,0)|巧U=二=/■=I川V33三.利用三阶行列式求平面方程定理，过三点,4(无,y\,NJ.B(x2ry27zj*C(x3，y3，Z3)的平面a的方程为：工-my-y\z-Z]x2-x1y2z2-z}=0.S-X1丁3一门G_Z]定理！若平面a的方程为<貳工+Qr+Cz+D=0,则平面外一点P(xG,y0,%)到平面a的距頡为:【例3】己知正方形ABCD的边长为4,OG丄平面ABCD,CG=2,E、F分别是、AD的中点，求点B到平面£FG的距离.解：依题意，建立帅图所示的空间直角坐标糸：C-OTZ,则：E(0,4,0)疋(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),则平面EFG的方程为:x-0y-02-04-00-2=00-2zGC4-02-0即:一8工一8v+4z—8-16/+32+4y+4工=0亦即：x+v+3z-6=0所以5(0,4,0)到平面EFG的距离为：|0十4十0—6|2屈d=7^=Vii11四、利用三阶行列式求四面体的休积定理：记平行六面体ABCD-A.B.C.D,的一个顶点A引出的三辺所对应的向量AB=(x.,3、，zj、AD=(x2，尹2,zj、AA.=(x3,y3,z3),则平行六面体的体积为；所以卩三吐=”三技桂=+各2所以卩三吐=”三技桂=+各2定理:记四面体S-ABC的一个罡点S引出的三边所对应的向量坐标分别为：SB=(%j，”，K)、SC=(x3,y3rz),则四面体S-ABC的体积为：说明：1.定理中的三向量只妾是四面体的同一顶点引出的都可以，如飯、BC.方反等都行.▲2•事实上,Z】Zrx【例4】已知正四棱枉ABCD-A-B-C.D.，点E是棱DR上的中点，截面EACW底面ABCD所成的角为兰，AB=2・求三棱锥B.-E4C的体积.4解：记与.40交点为0,由正方形ABCD性质知O是-4C中点且EO丄ACtE是棱DD.上的点，易知上X=EC,则fO丄AC,所以^EOAAEOA=-,所以DE=DO=C,4DD=小,建立如图所示的空间直角坐标糸：D-x\-z,则：£(0,0,41},A(2,0,0),5-(2,2,JI),C(0,2,0),耳中向量BA=(0_C)，^C=(-2BZ=(-2,-2,0)，于是三棱锥马—E4C的体积为；说明；若衣四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱笹，分别来出三稜律体积来和即可.平面袪向量的求袪及其应用引面本节介绍平面法问量的三种求袪:并对平直袪向量在吾中立体、几何中的应用作口纳和
总结
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。其中歪点介绍外积法求平面法问量的方法.因为此方法比穴积法更县有仇越性.持别罡在來二面魚的平面甬方面。此方袪的引人，将对高考立，本几何中来空间角、来空间距离、证明垂亘、证明平行等问逆的解答变得快速而准谀，那么耳年高考中那道12分的立体几何题将会变得更』幣松。一、平面的法向量1、定义：如果方丄那么向量方叫做平面Q的法冋重"平面&的法向量共有两大类（从方冋上分），无数条。2、平面法向量的来法方注一（内积袪）：在结定的空间直角坐标系中，设平直G的袪冋量齐二（XJ.1）［或?7=（x.l,z）.或«=（l,y,z）］,在平面G内仕找两个不共线的问量ai由«_^—-arccosU?7TTsill&=|cos\■L\n\-\AB图2-1-2：^=-—=arccos~-丄\n\-\AB\彳x求面面角:设向量加•斤分别绘平直&、0的法向量.则二面角&一/一“的干面角为:TTpj.JJ0==arccos(图2-2);\fn\-\n\TTCTTm.n0==兀一aicco——(<12-3•I恳|・用|IITI两个平面的送向量方向选取合适,可吏送向量夹毎就等干二百角的平面甬。约定，在囹2-2—-♦中，m的方向对平面2而言向外，"的方句对平面厂而言向内；在图2-3中，皿的方向对T面o•而言■向内，“的方向对千面0而肓向内。栽们只要用两个向量的向量积(简称“外和：満斥“冇手定则”)使得两个半平面的法向量一个问內一个向外.则这两个半平页的法向童的夹角即为二面角al-0的平面角。2＞乘空间距庚(1)、异面亘线之间距离：方袪捋导，如图2-1,b的万冋冋童7、1).为平面a內仕一点，平面的法问童为“■则点P到|«|其中Asa.Bea方是平面a的法向量图2-8平面0的距恚公戏为d=|-4SeA?丘|、亘线与平面间的距离:方扶指孚如图2・6宜线a三平面&之间的距臥x平面与平面厨的瞪离・方袪指导：如因2「两平行干面gp力司能距离:TT川,其中Awa,B邛。厉是平面a、0的法冋量.HI3、证明（1）、证明线面垂宜，在图2・8口:加冋是平直Q的送问量,宜线8的方问冋莹，讣明半面的咗冋童与宜嘶在冋量共线（（2）、证明线面平行・柱图29中剧问是平向&痢袪冋量.的方问问量，込明平面的送向量弓且线所仕向量垂宜（/•:（,）・证明而而巫亩，秤图2・10口.m是平面&的法向量.斤是平面0的法向量.证明两T面的迭向量垂直（7"?!=0）（4）、证明面面平行：在图2-11中，几向是平面&的注向量，7是平面0的法冋量，证明两平面的医冋童共线（恳=力5）。/f需/02-11回、用空树確解决立体儿何的“二步曲”（1）、屋立空旧宜角坐标系喇甲现育三粲两两垂直的宜线，注意已有£证、宜粲耳相关几何知识的综合运用，建立右手系“用空间句量表示问题中涉轴点、直线、平面，拒立诵几何问题翔七为问量冋题，（化为向Mi°ia）Q〉、通过问量运算，研完点、直线、二面之间比位贾关系以及它们之间距离和夫角等冋题j（进行向量运W）（3人把向軍的运算结果制译成相克的几何意义。（回到图形冋锁）
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