1.4全称量词与存在量词思考1：下列语句是命
题
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吗？(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3;(2)2x+1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈z，2x+1是整数。（1）,（2）不是命题，但是（3），（4）是陈述句，并且能判定真假，所以（3）（4）是命题情景设置一：思考2：语句(1)与(3)有什么不同？思考3：语句(3)和(4)有什么共同特点？思考2：语句(1)与(3)有什么不同？提示：语句(3)在(1)的基础上，加了对x范围的限定条件“对所有x∈R”,能够判断真假变成了命题．思考3：语句(3)和(4)有什么共同特点？提示：都有对变量x的限定条件：“对所有的x∈R”，“对任意一个x∈Z”．常见的全称量词有:“对所有的”,“对任意一个”,“对一切”,“对每一个”,“任给”,“所有的”等.短语“对所有的”,“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”
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示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.新知探究一：全称命题全称命题“对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.一你能否举出一些全称命题的例子？例如：命题“对任意的n∈Z，2n+1是奇数”；“所有的正方形都是矩形”；“三角形的内角和是180°”等都是全称命题.例1：判断下列全称命题的真假(1)所有的素数都是奇数。(2)∀x∈R，x2+1≥1(3)对每一个无理数x，x2也是无理数。解：(1)2是素数，但2不是奇数。所以，全称命题“所有的素数都是奇数”是假命题。(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2+1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2+1≥1”是真命题。(3)√2是无理数，但(√2)2是有理数。所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题。全称命题强调命题的一般性，对一个全称命题真假的判断：(1)要证明它是真命题，需对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立。(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可。【规律·方法·
总结
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】练习1：判断下列命题是否是全称命题，并判断真假。(1)每个指数函数，都是单调函数。(2)任何实数都有算术平方根。(3)∀x0∈｛x｜x是无理数｝，x02是无理数。真命题假命题假命题思考1：下列语句是命题吗？(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+1=3;(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x0+1=3；(4)至少有一个能被2和3整除。（1）,（2）不是命题，但是（3），（4）是陈述句，并且能判定真假，所以（3）（4）是命题情景设置二：思考2：语句(3)和(4)量词有何特点？与全称量词有何区别？提示:语句(3)(4)在(1)(2)的基础上，加了短语“存在一个”“至少有一个”对变量进行了限定.短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词,并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.常见的存在量词有：“存在一个”,“至少有一个”,“有些”,“有一个”,“有的”,“对某个”等.新知探究二：特称命题特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为读作“存在一个x0,使p(x0)成立”.例2：判断下列特称命题的真假。(1)有一个实数x0，使x02+2x0+3=0(2)存在两个相交平面，垂直于同一条直线。(3)有些整数只有两个正因数。解：(1)由于x∈R，x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，因此使x2+2x+3>0的实数x不存在。所以，特称命题“有一个实数x0，使x02+2x0+3=0”是假命题。(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是相互平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线。所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题。(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些数只有两个正因数”是真命题。特称命题强调结论的存在性，对一个特称命题真假的判断：(1)要证明它是真命题，只需在集合M中，找到一个元素x0，使p(x0)成立即可。(2)要判断它是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)不成立。练习2：判断下列命题是否是特称命题，并判断真假。(1)x0∈R,x0≤0(2)至少有一个整数，它不是合数，也不是素数。(3)x0∈｛x｜x是无理数｝，x02是无理数。(4)有些内接于圆的四边形是等腰梯形。(5）存在一个三角形，它的内角和小于1800。真命题真命题真命题真命题假命题思考应用1.全称命题中一定含有全称量词吗？2.同一个全称命题或特称命题的表达形式唯一吗？思考应用1.全称命题中一定含有全称量词吗？提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”.如：“三角形的内角和是180°”.2.同一个全称命题或特称命题的表达形式唯一吗？提示：不唯一.因为采用的自然语言不同，其表达形式也可以不同.练习：判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假。(1)末位是0的整数，可以被5整除。(2)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；(3)负数的平方是正数；(4)梯形的对角线相等；(5)有些实数是无限不循环小数；(6)有些三角形不是等腰三角形；(7)有些菱形是正方形。（8)存在两个三角形全等，这两三角形面积不相等。真命题真命题真命题假命题真命题真命题真命题假命题用符号“”与“”表示下列含有量词的命题(1)自然数的平方大于零。(2)圆x2+y2=r2上的任一点到圆心的距离是r(3)存在一对整数x,y，使得2x+4y=3(4)存在一个无理数，它的立方是有理数。n∈N，n2>0P∈｛P｜P在圆x2+y2=r2上｝,｜OP｜=r(O为圆心)(x,y)∈｛(x,y)｜x,y是整数｝，2x+4y=3;x∈｛x｜x是无理数｝，x3∈｛q｜q是有理数｝总结：一、全称量词(1)“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“任何的”、“都是”…(2)全称命题x∈M,p(x)(3)判断真假的方法：①要证明它是真命题，需对集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可。二、存在量词(1)“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“对某个”…(2)特称命题x∈M,p(x)(3)判断真假的方法：①要证明它是真命题，只需在集合M中，找到一个元素x0，使p(x0)成立即可。②要判断它是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)不成立。
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