导数及其应用知识结构图十导数的几彳导数及其应用导数的II知识梳理1.导数的概念平均变化率■瞬时变化率■'某点的导数f(X0)7在一点可导:在区间(a,b)上可导一;导函数f(x).导数的几何意义:曲线y一f(x)过点(xo,f(xo))的切线的斜率等于f(xo)..常见函数的导数公式:斗瓷込卜・■/lOgaX)-一1xlnaC0(C为常数);X-X■1;sinx-cox;scosx-sxin;ex-ex;ax-axlna(a-0,且a__1);Inx_1;x.两个函数的和、差、积、商的求导法则:法则1卫&庶€)]=u"xv圭X)法则2|u&v)x)」=uxv)x(u)x"vx)•(〕法则3u(x)|Lv'(xuxvxuxvx■05.导数的应用⑴利用导数判断单调性;⑵利用导数研究函数的极值与最值.<教师备案>导数分成两讲复习,这一讲复习导数的概念、求导法则及其逆用、切线问
题
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、导函数的图象、导函数的简单应用.下一讲重点复习与函数的性质相关的导数问题、含参的函数的单调性与极值、以及简单的恒成立与存在性问题.导〕经典精讲尖子班学案1【铺1]函数y_(x.1)2(x1)在x-1处的导数等于()A.1B.2C.3D.4【解析]D考点:导数的运算⑴求下列函数的导数:①f(x)尸xsinxcosx:②f(x)-1=tanx;-③x)xe2xX二+旷XInx【例1]的值为.4⑵已知函数f(x)-x2(X-1),若fl:XO)=XO,贝yXO=3(2009湖北理14)已知函数fX二fCOSXsinx,则【备选]【解析]3f(x)~X2xf(1)3xf(1),则f1的值为⑴①f(x)一XCOSX②f(X)1+『X―22.cosX2xf-x呻2xInx-1*+③f(X)2xeXe(Inx)2⑵0或1;⑶1【解析]尖子班学案2【铺1](1)(2009海南文13)曲线yxeX2x1在点0,1处的切线方程为.(2)(2009江苏9)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:yx310x3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为一【解析]⑴y3技1亠⑵2,15考点:导数的几何意义【例2]⑴A(2008江苏8)直线y=x书是曲线yln=x(x>0)的一条切线,则实数b的值为21y=x于,在点3,2)处的切线与直线axy*1=0垂直,则a..xTC:y-axInx设曲线若曲线存在斜率为1的切线,则实数a的取值范围是\—/\)/,12//lx/(\In21一2a1目标班学案1【拓2](1)(2009江西理5改编)设函数fx-gxY~x2,曲线yUgx在点1,g1处的切线方程TOC\o"1-5"\h\z为y=2x十,贝U曲线yf=x《.)在点《1,f(1))处切线的方程为.(2)(2009福建理14)3若曲线fx■axInx+存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.【解析]⑴y-4x⑵■,0.【备选](2010丰台二模文14)直线yexb(e为自然对数的底数)与两个函数f(x)-ex,g(x)口Inx的图象至多有一个公共点,则实数b的取值范围是【解析]2,0!考点:利用导数研究函数图象【例3]⑴TOC\o"1-5"\h\z(2010朝阳二模文6)函数f(x)x3X2的图象大致是).yOC.A.B.yOIIiD.2(2010年石景山一模文7)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的导函数,将)y-f(x)和y-f(x)的图象画在同一个直(2007浙江)设f(x)是函数角坐标系中,不可能正确的是(【解析】⑴A⑵A⑶D尖子班学案3【拓1】(2010年朝阳二模理6)函数f(x)(x2一2x)ex的图象大致是()CDAB【解析】A则其函数解析式可能是(B.fx-xInxD.fx-xInx2-xInx+xInx目标班学案2【拓2】(2010年宣武二模理已知函数的图象如右图所示,A.fx-C.fx-【解析】B考点:函数及其导函数图象综合【例4】(1)(2008全国I文2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是(3(2008崇文二模文8)若偶函数f(x)定义域为隔丰,则(0,叫),艸f(x)在0,垠的j上的图象如图所示,贝V不等式f(x)f(x)0的解集是()A.,(i^c—灯(0,1)B.:(1,0,+oO)C.,1•〔」1,•:D.1,0J0,13(2009年宣武二模文函数,如图所示的是大值与极小值分别是(A.f1与f1C.fV-2与f28)设fx是一个三次函数,fx为其导y之fx的图象的一部分,贝Ufx的极)B.f1与f1D.f2与f2【解析】⑴A考点:利用导数研究函数的简单应用【例5】(1)(2009广东文8)函数fx-x3ex的单调递增区间是()A.,2®gB.0,3C.1,4D.2,⑵函数fx)=xInx,x芒(0,5)的最小值为.⑶设函数f(x)-x3'ax2'bx1,若当x厂时,有极值为1,贝V函数g(x)-x3•ax2'bx的单调递减区间为.【解析】⑴D⑵弋1⑶?1,习VQJ*O*目标班学案3【拓2】(2009湖南理8)设函数y-f(x)在(•’吒釁応内有定义.对于给定的正数K,定义函数Tf(x):,f(x)WK,fK(X)“取函数f(x)二_2_xex.若对任意的玄Uej,竜事恒有K,f(x)K.fKXf人,则()A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1【解析]D;考点:导数公式的逆用【例6](2010丰台二模理设fx、gx是R上的可导函数,fxgxa.fxg)x(C.fxgb已知fx,①fX-若_gfX若axa1gfxgx0-:,则当fbgbfbgxgx都是定义在x-5,则实数-1fx、a<^xb时,B.fxgaD.fxgxgX分别是fX、gX的导函数,且有(fagfagR上的函数,且满足以下条件:1「②gx_O:③fxg/fxgx.a_是定义在Ob,贝泌有(af(b)wbf(a)2轡卑上的非负可导函数,)B.bf(a)waf(b)C.af(a)wf(b)D.bf(b)wf(a)且满足xfXfxWO,对任意正数a、b,【解析]1⑵丿2⑶A【备选](2009天津文10)设函数fx在R上的导函数为fx,且2fxxfxx2.下面的不等式在R上恒成立的是().A.fX0>B.fx0f)<C.fxx洽D.fxx【解析]A.曲线厂x?一2x2—4x十2过点(1厂3)的切线方程是【解析]5xy_20或21x4y90.真题再现(2010北京文18)设函数f「0的两个根分别为实战演练【演练1】(2008海南宁夏文4)设f(x)肓xlnx,若f(x0)F2,则x°=:(【演练2】(2009西城二模理5)已知函数f(x)sinx,f(x)为f(x)的导函数,那么(a32、(X^_x+bx手ex4珂0》,,且方程fX9X当a:_.3且曲线y宀f.x过原点时,求fx的解析式;⑵若fx在:内无极值点,求a的取值范围.【解析】⑴fx-x3=3x212x.⑵a的取值范围是19.)A.e2B.eC.Jn2d.ln22【解析】BA.将f(x)的图象向左平移B.将f(x)的图象向右平移C.将f(x)的图象向左平移D.将f(x)的图象向右平移:个单位可以得到(x)的图象2n个单位可以得到(x)的图象2n个单位可以得到f(x)的图象冗个单位可以得到f(x)的图象【解析】A;【演练3】(2010丰台一模文12)函数f(x)-Inx的图象在点,f(e)处的切线方程是【解析】xey"0【演练4】(2009湖南文7)若函数yf-(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数yf(x-)在区.间[a,b]上的图象可能是()【解析】A【演练5】函数y1-.13x以3有(B.极小值2,极大值3D.极小值1,极大值3A.极小值1,极大值1C.极小值2,极大值2【解析】D3【演练6】(2008海淀一模理13)已知点P2,2•在曲线ybx上,如果该曲线在点P处切线的斜率为9,那么ab_.【解析】3(2009清华大学自主招生文3)a一元三次函数fx的三次项系数为,「X9x0的解集为1,2.3⑴若fx…7a-0有两个相等实根,求fx的解析式;⑵若fx在R上单调递减,求a的范围.【解析】设f(x)=aX3+bx2+cx+d,贝Uf?x)二ax2亠2bx±,f■(x》9xax2代2b也x)c.3fx9x0的解集为1,2,2•••x"1和X一2是方程ax2b9xc0的两根.因此a0,2b—3a9,c-2a.⑴ax22b9xc7a0,即卩ax2」3ax9a0的'•—0,解得a-3或a-1(舍去),所以2b-18,c-6,「•fx在R上恒有fx3x18x6.x在R上单调递减,a0于是V2—-■a254a81<0解得a2718227182