第五节定积分的几何应用三、空间立体的体积1.已知平行截面面积的空间立体体积2.旋转体的体积第六章本文档后面有精心整理的常用PPT编辑图标，以提高工作效率1.已知平行截面面积的空间立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间因此所求立体体积为上连续,的体积元素为OdV例1解取坐标系如图底圆方程为yxoA(x)三角形边长高为：2.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线称为旋转轴．圆柱圆锥圆台情形1G1xyoG1G1xyoxyoxyoxyoxyo•G1绕x轴旋转一周所得旋转体的体积则以f(x)为高，以dx为底的窄边矩形平面图形G1：由连续曲线y=f(x)，直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形.绕x轴旋转而成的圆柱体的体积便是体积元素：G1xyoxyoxyoxyoxyoG1绕x轴旋转的旋转体的体积：例2解直线方程为建立坐标系，如图.连接坐标原点O及点P(h,R)的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转一周构成一个底半径为R，高为h的圆锥体，计算该圆锥体的体积.以dx为底的窄边矩形绕x轴旋转而成的圆柱体的体积为用“柱壳法”：将旋转体分割成一系列以y轴为中心轴的曲顶环柱体.xOyabG1G1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积o(dx)可以证明：体积元素G1绕y轴旋转的旋转体的体积：xabG1oyy情形2G2绕y轴旋转G2绕x轴旋转cdy•解例3（
方法
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1）(方法2)柱壳法例4解体积元素为:(方法1)4–22xyo•MP••Q(方法2)4–22xyo例5(综合题)解(1)xyo1(2)(3)xyo1x例6(综合题)解所以c=0,又由题设，知
知识点
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：①平面图形的面积②旋转体的体积③函数的极值、最值内容小结二、旋转体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非坐标轴直线旋转一周备用题例1-1一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为计算该平面截圆柱体所得立体的体积.利用对称性思考可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解(方法1)利用直角坐标方程则(利用对称性)例2-1(方法2)利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积例3-1解(1)绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为xOy分别绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积之差.这个图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积可以看成平面图形OABC与OBC1CBA(2)绕y轴旋转一周所成旋转体的体积
分析
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xOy(方法1)OB的方程为)AB的方程为)1CBAxOy从而所求的体积为(方法2)xOy由
公式
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得试用定积分求圆绕x轴上半圆为：下解(方法1)利用对称性旋转而成的环体体积V.例3-2xyo(方法2)用柱壳法注上式可变形为右半圆为左此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).•o设平面图形A由与图形A绕直线x＝2旋转解若选x为积分变量，则旋转体的体积为若选y为积分变量,则例4-1所确定,求一周所得旋转体的体积.例4-2在x≥0时为连续的非负函数,绕直线x＝t旋转一周证明:证利用柱壳法所成旋转体体积,则故解例5-1(2003年考研)由于该切线过原点，得即从而切线方程为所以平面图形D的面积oxy(e,1)1e三角形绕直线x=e旋转一周所得圆锥体的体积为x=e旋转所得旋转体的体积为oxy(e,1)1e于是所得旋转体的体积为oxy(e,1)1e
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