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专题突破（一）

专题突破（一）利用导数研究函数的单调性是高考的热点，多与一元二次不等式相联系，根据导数与函数单调性的关系，研究函数的单调性，实际上就是讨论导函数f′(x)的函数值正负的问题．(2013·广州质检)已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2)讨论f(x)的单调性．【思路点拨】　(1)先求切点和斜率，再求切线方程；(2)先求f′(x)，然后分a＝0，a＞0，a＜0三种情况求解．【反思启迪】　1.本题(2)中f′(x)＝(2x－ax2)e－ax，f′(x...

利用导数研究函数的单调性是高考的热点，多与一元二次不等式相联系，根据导数与函数单调性的关系，研究函数的单调性，实际上就是讨论导函数f′(x)的函数值正负的问题．(2013·广州质检)已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2)讨论f(x)的单调性．【思路点拨】　(1)先求切点和斜率，再求切线方程；(2)先求f′(x)，然后分a＝0，a＞0，a＜0三种情况求解．【反思启迪】　1.本题(2)中f′(x)＝(2x－ax2)e－ax，f′(x)的符号由2x－ax2确定，从而把问题转化为确定2x－ax2的符号问题．2．判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．利用导数判断函数的零点个数是近两年高考命题的亮点，求解时应把函数的零点存在性定理，函数的单调性、极值点等综合起来考虑，最后数形结合求得结果．【思路点拨】　(1)分a＝0、a＜0和a＞0三种情况求函数f(x)的最大值；(2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(1)不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题；(2)证明不等式，转化为证明函数的单调性问题．【思路点拨】　(1)不等式恒成立问题，转化为函数最大值小于或等于0求解；(2)利用函数的单调性求解．【反思启迪】　1.本题(1)中f(x)≤g(x)恒成立，则g(x)的图象应恒在f(x)的图象上方，从而a≤0不合题意．2．与不等式有关的问题最终可转化为函数的最值与0的关系．【解】　(1)因为f(x)＝ax＋xlnx，所以f′(x)＝a＋lnx＋1.因为函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3，所以a＝1.

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