必修四平面向量的概念及线性运算讲义

PAGEPAGE52.1平面向量的概念及线性运算一、向量的有关概念（一）向量的有关概念1、向量的定义：既有______又有______的量叫做向量。2、 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：用________来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。用，，……或用，，……表示。3、模：向量的______叫向量的模，记作________或_______。（二）几种特殊的向量1、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；零向量的方向是________，它与任意非零向量都共线。2、单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量，常用，，……表示。与平行的单位向量＝__________。3、平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：与任一向量______。4、相等向量：_______且________的两个向量，记＝。5、相反向量：_______且________的两个向量，记＝－。例1：下列说法中正确的是___________。（1）向量就是有向线段；（2）零向量没有方向；（3）若向量与向量平行，则向量与向量的方向相同或相反；（4）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；（5）若向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上。【解析】：（4）变式练习1：下列说法中正确的_____________。（1）单位向量都相等；（2）︱︱与︱︱是否相等，与向量与向量的方向无关；（3）若A、B、C、D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；（4）若向量与向量共线，向量与向量共线，则向量与向量共线；（5）两向量、相等的充要条件是︱︱＝︱︱且∥；（6）若︱︱＝︱︱，则＝或＝－；（7）向量与向量平行，则向量与向量的方向相同或相反；【解析】：（2）（3）变式练习2：下列说法中正确的_________。（1）若向量与向量同向，且︱︱＞︱︱，则＞；（2）由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；（3）若向量与向量是共线向量，则A、B、C、D在一条直线上；（4）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。【解析】：（4）二、向量的线性运算及几何意义向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算＋＝＋(＋)＋＝＋(＋)减法求与的相反向量－的和的运算叫做与的差－＝＋(－)数乘求实数与向量的积的运算（1）（2）当＞0时，的方向与的方向相同；当＜0时，的方向与的方向相反。（3）当或时，。结论：（1）设、为任意向量，、为任意实数，则有：（2）｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜当与异向共线时当与同向共线时【和的模小于等模的和，大于等模的差的绝对值】（3）＋＝＋(＋)＋＝＋(＋)例2：化简：（1）＋＋＝________________。（2）＋＋＋＋＝___________。（3）＋－＝________________。（4）－＋－＝________________。（5）＋－＋＝________________。ECBAD例3：根据右图所示填空（1）＋＝；（2）＋＝；（3）＋＋＝；（4）＋＋＝______；（5）＋＋＋＝________________。变式练习1：如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝（）A：B：C：D：【解析】：D变式练习2：如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，则＋＋＝(　　)A：B：C：D：【解析】B变式练习3：在平行四边形ABCD中，若︱＋︱＝︱＋︱，则四边形ABCD是(　　)A：菱形B：正方形C：矩形D：梯形解析:由图知||＝||，||＝||＝||.所以||＝||，故四边形ABCD为矩形.变式练习4：若O是△ABC所在平面内一点，且满足︱－︱＝︱－＋－︱，试判断△ABC的形状。【解析】:∵，又||=||，∴||=||，∴以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，∴此平行四边形为矩形，∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形.例4：如右图：在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝，＝，则＝___。【解析】：＝－＋例5：在三角形OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使得DB＝OB，DC与OA交点E，设＝，＝，用，表示，。【解析一】：∵点A是BC的中点∴＝∵＝＋＝＋∴2＝＋＋＋∴＝（＋）∴＝2－＝2－∴＝－＝－＝2－－＝2－【解析二】：∵点A是BC的中点∴＝＝－∴＝＋＝＋－＝2－∴＝－＝－＝2－－＝2－变式练习1：在平行四边形ABCD中，设＝，＝，＝3，M为BC的中点，用、表示。【解析】：＝(－)变式练习2：在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于（）A：－B：＋C：＋D：－【解析】：D三、向量共线定理对于向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得＝。注意：（1）、向量证明与共线，只需证明存在实数，使得＝即可。（2）、如果＝＝，数仍然存在，此时并不唯一，是任意数值。特别地：（1）两条线段平行与两条线段共线是不一样的，而两个平行向量就是共线向量。（2）要证明三点共线需要说两点①三点确定的向量共线；②两向量有公共点。例6：已知任意两非零向量、，试作，，，证明：A、B、C三点共线。【解析】：∵＝－＝()－()＝，＝－＝()－()＝，∴＝∴所以A、B、C三点共线。综上：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意向量、及任意实数、，恒有。变式练习1：试证起点相同的三个向量、、3－2的终点在一条直线上。【解析】：如图，设＝，＝，＝3－2，则＝－＝2－2，＝－＝－，∴＝－2，又因为与有共同的起点A，故A、B、C三点共线。变式练习2：设、是不共线的两个非零向量，（1）若＝2－，＝3＋，＝－3，求证：A、B、C三点共线；（2）若8＋k与k＋2共线，求实数k的值。【解析】：（1）＝＋，＝－2－4，－2＝（2）∵8＋k与k＋2共线，故存在实数，使得8＋k＝(k＋2)，得8＋k＝k＋2，即得或∴k＝±4例7：已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝，则等于（）A：2－B：－＋2C：＋D：－＋【解析】：A2＝－＝，故A是BC的中点。变式练习1：设D为△ABC所在平面内一点，且＝3，则（）A：＝－＋B：＝－C：＝＋D：＝－【解析】由＝3，点D在BC的延长线上，且BC＝3CD，选A变式练习2：设＝(＋)＋(＋)，是任一非零向量，则在下列结论中：①∥；②＋＝；③＋＝；④︱＋︱＜︱︱＋︱︱；⑤︱＋︱＝︱︱＋︱︱。正确结论的序号是_________。 【解析】①③⑤变式练习3：设P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△PBC的面积之比为(　　)A：2B：3C：D：6【解析】:设BC的中点为D，则=2.∵)=，如图，过A作AE⊥BC，交BC于点E，过P作PF⊥BC，交BC于点F，则.∴=3.答案:B课后综合练习1、下列说法中正确的是()A：与的和＋与同向、长度等于与的长度之和B：与的差－与同向、长度等于与的长度之差C：当与同向时，＋与同向、长度等于与长度之和D：当与反向时，－与同向、长度等于与的长度之差【解析】：C2、已知四边形ABCD是平行四边形，那么下列等式中恒成立的是()A：＝＋B：＝－C：＝＋D：＝－【解析】：A3、下列各式中结果为的有（）①＋＋②＋＋＋③－＋－④＋－＋A：①②B：①③C：①③④D：①②③【解析】：C4、下列四式中可以化简为的是（）①＋②－③＋④－＋A：①④B：①②C：②③D：③④【解析】：A5、已知，如右图ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中＝，＝，＝，则＝（）A：＋B：－C：－D：－【解析】：D6、－等于(　　)A：B：C：D：【解析】：C7、在平行四边形ABCD中，－等于(　　)A：B：C：D：【解析】：A8、下列四式不能化简为的是(　　)A：＋(＋)B：(＋)＋(－)C：＋－D：＋＋【解析】：A9、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)A：＝＋B：＝－C：＝－＋D：＝－－【解析】：B10、下列命题中是真命题的是（）①对任意两向量、均有：︱︱－︱︱＜︱︱＋︱︱；②对任意两向量、、－与－是相反向量；③在三角形ABC中，＋－＝；④在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝；⑤＝－A：①②③B：②④⑤C：②③④D：②③【解析】：D11、设P是三角形ABC所在平面内的一点，＋＝2，则（）A：＋＝B：＋＝C：＋＝D：＋＋＝【解析】：B＋＝2P为AC中点12、已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则（）A：点P在线段AB上B：点P在线段AB的反向延长线上C：点P在线段AB的延长线上D：点P不在直线AB上【解析】：B2＝3－2(－)＝－2＝13、已知非零向量，满足︱︱＝＋1，︱︱＝－1，且︱－︱＝4，则︱＋︱＝________。【解析】　如图所示．设Oeq\o(A,\s\up6(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up6(→))＝b，则|Beq\o(A,\s\up6(→))|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|Oeq\o(C,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42.故|Oeq\o(A,\s\up6(→))|2＋|Oeq\o(B,\s\up6(→))|2＝|Beq\o(A,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|Oeq\o(C,\s\up6(→))|＝|Beq\o(A,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4.