用matlab画cantor三分集摘要:本文介绍了分形几何中的cantor三分集,并且给出了MATLAB程序以及运行结果,分形作为双曲迭代
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系统的吸引子。根据程序中的迭代将分形模拟确为迭代法。关键词:分形几何、cantor三分集、程序、分法细密一、简介分形是指没有特征长度(特征长度是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代
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者);但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。典型的分形集一般具有如下几个特征:无论用什么尺度衡量,其复杂性不消失,即具有无穷精细的结构;分型是不规则的,以至于不能用传统的几何语言来描述;部分与整体是相似的,即具有自相似性;可以通过递归、迭代等简单的方式产生;其分维数大于拓扑维数,分形的特点也可以概扌舌为两点,就是自相似性和无限细分。分型体系的局部与整体是相似的。任何一个分形,都具有无穷多个分形元,对整体的无限细分,所形成的无数分形元,构成了分形图形的整体。通常分形都是极度对称的,对称到了完美的地步。但生成这种图形却不需要非常复杂的程序。因为他们具有无限的细节表面,就可以使用递归算法来实现。Cantor三分集是分形里而的一个小分支,根据迭代的次数不同,可以画出不同的分法细密度。算法Cantor三分集的构造如下图所示,一条线段ab被均分为三段,保留其两边的两段,中间一段去掉,然后把得到的每一段再继续进行划分,如此反复。(bx,by)(ex,cy)(dx,dy)(bx,by)根据它生成的原理,可以设计算法如下:Cantor三分集的绘制十分简单,是一种最简单的分形实例,它的算法如下:ex=ax+(bx-ax)/3dx=bx-(bx-ax)/3dy=by一hay=ay-hby=by-h其中h为两层之间的距离。如此循环下去,画出每个阶段的图形就可以得到cantot三分行的图形。因为cantor•集的生成是无穷的的,在这里我能就规定当线段的距离小于规定的数时,循环就停止。在这里以C表示。三、程序程序清单为:functionf=cantor(ax,ay,bx,by)%定义一个函数cantorc=0.005;d=0.005;%(2为画出的最小的的线段的最小长度,d为两条线段之间的距离。if(bx-ax)>c%如果线段的长度大于C,就继续画曲线。x=[ax,bx];y=[ay,by];holdon;%画图的范围plot(x,y;LineWidth⑵;holdoff;%用X,Y画直线,刷新图形界而cx=ax+(bx-ax)/3;%坐标变换关系cy=ay-d;%坐标变换关系dx=bx-(bx-ax)/3;%坐标变换关系dy=by-d;%坐标变换关系ay=ay-d;%坐标变换关系by=by-d;%坐标变换关系cantor(ax,ay,cx,cy);%再次调用cantor函数cantor(dx,dy,bx,by);%再次调用cantor函数end结果及分析给定初始坐标:ax=0,ay=5.bx=5,by=5程序的运行结果为:日回l—a^T程序的运行结果不仅与ax,ay,bx,by的取值有关,而且与程序中c和d的取值有关,因此,不同取值会画出不同分法细密度的Cantor三分集五、
总结
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使用MATLAB可以编制简练,灵活的分形模拟程序。通过调节每个程序第一行中常数,可以获得不同外观形状的图形。程序中均有一个控精度的量(循环次数),取值越大,模拟精度越高。只要机器运算速度允许,模拟图与对应分形之间可任意接近。程序均用到了循环语句进行抚今迭代,绘图数据收集在一个两行的矩阵中,绘图命令用到了plot函数。在确定迭代法中,迭代出的点的总数随循环次数以指数速度增长,故循环次数以选取较小时就得到了理想的图形。在随机迭代法中,一次循环只增加一个数据点,故循环次数要取的较大。MATLAB提供了一系列求解数学问题的命令和绘图命令。利用数学命令可以求解函数的导数、积分等等。利用绘图命令可以绘出各式各样的二维图形、三维图形。MATLAB可以进行编程运算,对一些复杂问题的计算或复杂图形的绘制,可以编程实现。因此MATLBA的功能是很强大的。