导数与函数的单一性〖模型总结〗1、关系式为“加”型(1)若f'(x)f(x)0,则结构[xf()]'ex[f'()f(x)]exx(2)若xf'(x)f(x)0,则结构[xf(x)]'xf'(x)f(x)(3)若xf'(x)nf(x)0,则结构[xnf(x)]'xnf'(x)nxn1f(x)xn1[xf'(x)nf(x)](4)若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0,则结构f(x)g(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)2、关系式为“减”型(1)若f'(x)f(x)0,结构[f(x)]'f'(x)exf(x)exf'(x)f(x)ex(ex)2ex(2)若xf'(x)f(x)0,结构[f(x)]'xf'(x)f(x)xx2(3)若xf'(x)nf(x)0,则结构[f(x)]'xnf'(x)nxn1f(x)xf'(x)nf(x)xnn2xn1(x)(备注:本种类仅作认识)(4)若fxgxfxgx≥0,则结构f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)g(x)2口诀:1.加减形式积商定2.系数不同幂来补3.符号议论不能忘〖教学过程〗一、
真题
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体验真题体验Ⅰ(2015年全国新课标卷二理科数学第12题)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x>0时,xf(x)f(x)0,则使得函数f(x)0建立的x的取值范围是A.(,1)U(0,1)B.(1,0)U(1,)C.(,1)U(1,0)D.(0,1)U(1,)真题体验Ⅱ(2017年淮北市第一次模拟理科数学第12题)已知定义在(0,+∞)的函数f(x),其导函数为f′(x),知足:f(x)>0且总建立,则下列不等式建立的是()A.e2e+3f(e)<e2ππ3f(π)B.e2e+3f(π)>e2ππ3f(e)C.e2e+3f(π)<e2ππ3f(e)D.e2e+3f(e)>e2ππ3f(π)二、考点剖析经过这两题及最近的模拟题我们发现:解决这类单一性问题需要借助结构新函数,联合函数的导数与函数单一性之间的关系来解决,那么怎样合理的结构新函数就是问题的重点,今天我们一同系统的经过“两大种类及它们蕴含的八大小种类”来探讨一下怎样结构新函数解决这类问题。三、关系式为“加”型关系式为“加”型Ⅰ:f'(x)f(x)0(≤0、<0、>0,下同),则结构[exf(x)]'ex[f'(x)f(x)]例1、设fx是定义在R上的可导函数,且知足fxfx,关于随意的正数a,下面不等式恒建立的是()A.faeaf0B.faeaf0C.faf0D.faf0eaea试题剖析:结构函数g(x)exf(x),则g'(x)exf(x)exf'(x)0,∴g(x)在R内单一递减,所以g(a)g(0),即:eaf(a)f(0),∴faf0.ea关系式为“加”型Ⅱ:xf'(x)f(x)0,则结构[f(x)]'xf'(x)2f(x)xx例2、已知函数yf(x)是定义在数集R上的奇函数,且当x(,0)时,xf(x)f(x)建立,若a3f(3),b(lg3)f(lg3),c(log211),则4)f(log24a,b,c的大小关系是()A.cabB.cbaC.abcD.acb试题剖析:因为x(,0)时,xf(x)f(x),所以当x(,0)时,xf(x)f(x)0,又因为函数yf(x)是定义在R上的奇函数,所以当x(,0)时,xf(x)f(x)0,结构函数g(x)xf(x),则g(x)xf(x)f(x)0,x(,0),所以g(x)在(,0)上是减函数,又g(x)g(x),所以g(x)是R上的偶函数,所以g(x)在(0,)上是增函数,因23lg30,所以g(2)g(3)g(lg3),而g(2)g(2)g(log21),所以4cab,选A.关系式为“加”型Ⅲ:f'(x)g(x)f(x)g'(x)0,则结构f(x)g(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)例3、设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f'(x)g(x)f(x)g'(x)0,g(3)0,求不等式f(x)g(x)0的解集变式1:设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数,当x0时,f'(x)g(x)f(x)g'(x)0,g(3)0,求不等式f(x)g(x)0的解集.关系式为“加”型Ⅳ:若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0,nnn1f(x)n1则结构[xf(x)]'xf'(x)nxx[xf'(x)nf(x)]例4、(2016年合肥市第二次模拟理科数学第12题)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x),若对随意的实数x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒建立,则使x2f(x)﹣f(1)<x2﹣1建立的实数x的取值范围为()A.{x|x≠±1}C.(﹣1,1)B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D.(﹣1,0)∪(0,1)解:当x>0时,由2f(x)+xf′(x)﹣2<0可知:2xf(x)﹣x2f′(x)﹣2x<0设:g(x)=x2f(x)﹣x2则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)﹣2x<0,恒建立:∴g(x)在(0,+∞)单一递减,由x2f(x)﹣f(1)<x2﹣1∴x2f(x)﹣x2<f(1)﹣1g(x)<g(1),即x>1;当x<0时,函数是偶函数,同理得:x<﹣1。综上可知:实数x的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),应选:B四、关系式为“减”型关系式为“减”型Ⅰ:若f'(x)f(x)0,则结构f(x)]'f'(x)exf(x)exf'(x)f(x)[xx2xe(e)e例5、若定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且知足f(x)f(x),则f(2011)与f(2009)e2的大小关系为().A、f(2011)
f(2009)e2D、不能确定试题剖析:结构函数f(x)'f'(x)f(x)g(x)ex,则g(x)ex,因为f(x)f(x),所以g'()0;即函数g(x)在R上为增函数,则f(2011)f(2009),即xe2011e2009f(2011)f(2009)e2.关系式为“减”型Ⅱ:若xf'(x)f(x)0,则结构[f(x)]'xf'(x)2f(x)xx例6、若函数f(x)在R上可导,且知足f(x)xf'(x),则()A.2f(1)f(2)B.2f(1)f(2)C.2f(1)f(2)D.f(1)f(2)试题剖析:设g(x)f(x),则g(x)xf(x)f(x),xx2∵f(x)xf'(x),∴g(x)0,即g(x)在(0,+∞)上单一递增,∴g(1)g(2),即f(1)f(2)2f(1)f(2),应选:A.12关系式为“减”型Ⅲ:若fxgxfxgx≥0,则结构f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)g(x)2例7、已知函数f(x),g(x)(g(x)0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g(x)f(x)g(x),且f(3)f(x)0的解0,g(x)集为()A.(-∞,-3)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-3,0)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)试题剖析:由题意f(x)是奇函数,当x0时,f(x)g(x)f(x)g(x)时,g(x)f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0,则f(x)在,0上为减函数,在0,上g(x)g2(x)g(x)也为减函数,又有f(3)0,则有f(3)0,f(3)0,可知f(x)0的解集为g(3)g(3)g(x)3,0(3,).五、小结1、关系式为“加”型(1)若f'(x)f(x)0,则结构:(2)若xf'(x)f(x)0,则结构:(3)若xf'(x)nf(x)0,则结构:(4)若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0,则结构:2、关系式为“减”型(1)若f'(x)f(x)0,结构:(2)若xf'(x)f(x)0,结构:(3)若xf'(x)nf(x)0,则结构[f(x)]'xnf'(x)nxn1f(x)xf'(x)nf(x)xnn2xn1(x)(备注:本种类仅作认识)(4)若fxgxfxgx≥0,则结构:口诀:1.加减形式积商定2.系数不同幂来补3.符号讨论不能忘3、思考:我们结构的加减模型是根据导数的运算法例的加减乘除来分类结构的,大家想一想,能否把上面八类按结构来分类:按结构分类:(1)若f'(x)f(x)0(≤0、<0、>0,下同)或f'(x)f(x)0,则结构[exf(x)]'ex[f'(x)f(x)]或[f(x)]'ex(2)若xf'(x)f(x)0或xf'(x)f(x)0f'(x)exf(x)exf'(x)f(x)(ex)2ex,则结构[f(x)]'xf'(x)f(x)[xf(x)]'xf'(x)f(x)xx2或(3)若xf'(x)nf(x)0或xf'(x)nf(x)0,则结构[xnf(x)]'xnf'(x)nxn1f(x)xn1[xf'(x)nf(x)]或[f(x)]'xnf'(x)nxn1f(x)xf'(x)nf(x)xn(xn)2xn1(4)若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0或fxgxfxgx≥0则结构f(x)g(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)或f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)g(x)2六、拓展提高拓展提高1、定义在(0,π)上的函数f(x),f(x)是它的导函数,且恒有2f(x)f(x)tanx建立,则()A.3f(ππ.f(1)<2πππππ)>2f()Bf()sin1C.2f()>f()D.3f()
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