第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词全称量词与存在量词一、教学目标：.理解全称量词与存在量词的定义及常见形式..能运用全称量词与存在量词解决一些简单问题..全称量词与存在量词及其应用.二、教学重点、难点重点：理解全称量词与存在量词的定义及常见形式.难点：全称量词与存在量词及其应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完本钱节课的教学目标。2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程〔一〕创设情景，揭示课题【情景】命题“VxGR,3nGN*〃，使得n>举〃的否认形式是()A.VxgR,3ngN*，使得n
3；〔2〕2x+1是整数；〔3〕对所有的xgR,x>3；〔4〕对任意一个xgZ,2x+1是整数【解析】语句(1)(2)中含有变量x,由于不知道变量x代
表
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什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题，语句⑶在(1)的根底上，用短语“所有的〃对变量x进行限定；语句⑷在⑵的根底上，用短语“任意-一个〃对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.〔二〕研讨新知，典型例如.全称量词的定义:短语“所有的〃，“任意一个〃在逻辑中通常叫做全称量词(universalquantifier),并用符号7'．．．．表示..全称量词命题的定义:含有全称量词的命题叫做全称量词命题(universalproposition).全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立〃，用符号简记为VxgM,p(x).【典型例如】1.以下命题中,是真命题且是全称量词命题的是()A.对任意的a,bgR,都有a2+b2-2a—2b+2<0；B.菱形的两条对角线相等；C.3xeR,、X33=x；D.对任意的neZ,2n+1是奇数.解：A中含有全称量词“任意的〃，因为a2+b2-2a—2b+2=(a-1)2+(b-1)2>0，故是假命题；B在表达上没有全称量词，但实际上是指“所有的〃，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题；C是存在量词命题，D是全称量词命题且是真命题，应选D.【例题研讨】阅读领悟课本P例1〔用时约为2分钟，教师逐一作出准确的评析.〕27例1判断以下全称量词命题的真假：〔1〕所有的素数都是奇数；〔2〕VxeR,1xI+1>1；〔3〕对任意一个无理数x,x2也是无理数.解：〔1〕2是素数，但2不是奇数，所以此全称量词命题是假命题；〔2〕VxeR,总有IxI>0因而IxI+1>1，所以此全称量词命题是真命题；〔3〕<2是无理数，但(<2)2=2是有理数，所以此全称量词命题是假命题.【问题3】以下语句是命题吗?比拟(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系?〔1〕2x+1=3；〔2〕x能被2和3整除；〔3〕存在一个xeR，使2x+1=3；〔4〕至少有一个xeZ，x能被2和3整除.【解析】容易判断，(1)(2)不是命题.语句⑶在⑴的根底上，用短语“存在一个〃对变量x的取值进行限定；语句⑷在⑵的根底上，用“至少有一个〃对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题..存在量词的定义:短语“存在一个〃，“至少有一个〃在逻辑中通常叫做存在量词(existentialquantifier),并用符号．．．．“才’表示..存在量词命题的定义:含有存在量词的命题叫做存在量词命题(existentialproposition).．．．．．．存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立〃，用符号简记为3xeM,p(x).【典型例如】.以下命题是存在量词命题的是()A.反比例函数的图象关于丁轴对称；B.矩形都是平行四边形；C.不相交的两条直线是平行直线；D.存在实数大于等于3解：选项D中含有存在量词“存在〃，所以根据存在量词命题的定义可知选D..以下命题不是“3xeR,x2>3〃的表述方法的是()A.有一个xeR，使％2>3；B.有些xeR，使x2>3；C.任选一个xeR，使x2>3D.至少有一个xeR，使x2>3解：“任选一个xeR，使x2>3〃是全称量词命题，应选C.【例题研讨】阅读领悟课本P例2〔用时约为2分钟，教师逐一作出准确的评析.〕28例2判断以下存在量词命题的真假：〔1〕有一个实数x，使x2+2x+3=0；〔2〕平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；〔3〕有些平行四边形是菱形.解：〔1〕由于A=22-4xlx3=—8<0，因此方程x2+2x+3=0无实根，所以此存在量词命题是假命题;〔2〕由于平面内重直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，所以此存在量词命题是假命题；〔3〕由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以此存在量词命题是真命题.【小组互动】完成课本P练习1、2,同桌交换检查，老师答疑并公布
答案
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.28〔三〕探索与发现、思考与感悟.以下语句不是存在量词命题的是()A.有的无理数的平方是有理数B.有的无理数的平方不是有理数C.对于任意xeZ,2x-1是奇数D.存在xeZ,2x-1是奇数解：因为“有的〃，“存在〃为存在量词，“任意〃为全称量词，所以选项C为全称量词命题，应选C..给出以下几个命题：①至少有一个x，使x2+2x+1=0成立;②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立；③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;④存在x，使x2+2x+1=0成立.其中是全称量词命题的个数为()A.1B.2C.3D.0解：因为“至少有一个〃、“存在〃是存在量词，”任意的〃为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题,所以全称量词命题的个数为2个，应选B..选择适宜的量词(D月)，加在P(x)的前面，使其成为一个真命题：〔1〕x>2；〔2〕x2>0；〔3〕x是偶数；〔4〕假设x是无理数，那么x2是无理数；〔5〕a2+b2=c2.解：〔1〕3xeR,x>2；〔2〕VxeR,x2>0；或者3xeR,x2>0；〔3〕3xeZ,x是偶数；〔4〕存在实数x，假设x是无理数，那么x2是无理数;〔5〕3a,b,ceR，有a2+b2=c2.〔四〕归纳小结，回忆重点量词名称全称量词存在量词量词符号V3命题名称全称量词命题存在量词命题命题记号VxeM,p(x)3xeM,p(x)特征词语所有的，任意一个存在一个，至少有一个〔五〕作业布置，精炼双基.完成课本P习题1.51、231.预习1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否认五、教学反思：〔课后补充，教学相长〕1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否认一、教学目标：正确理解含有一个量词的命题与它们的否认在形式上的变化规律会正确地对含有一个量词的命题进行否认．全称量词与存在量词及其应用.二、教学重点、难点s重点：全称量词与存在量词命题间的转化难点：正确地对含有一个量词的命题进行否认．三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完本钱节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程〔一〕
复习
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回忆，创设情景，揭示课题【两个量词】量词名称全称量词存在量词量词符号V3命题名称全称量词命题存在量词命题命题记号VxeM,p(x)3xeM,p(x)特征词语所有的，任意一个存在一个，至少有一个【问题1】写出以下命题的否认：〔1〕所有的矩形都是平行四边形；〔2〕每一个素数都是奇数；〔3〕VxeR,x+Ixl>0.它们与原命题在形式上有什么变化?【解析】上面三个命题都是全称量词命题，即具有“VxeM,p(x)〃的形式，其中命题⑴的否认是“并非所有的矩形都是平行四边形〞，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否认是“并非每一个索数都是奇数〞，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题⑶的否认是“并非所有的xeR,x+Ixl>0〃，也就是说3xeR,x+Ixl>0.【结论】从命题形式看，这三个全称量词命题的否认都变成了存在量词命题.〔二〕研讨新知，典型例如一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否认，我们只需把“所有的〞，“任意一个〞等全称量词，变成“并非所有的〃，“并非任意一个〃等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“VxeM,p(x)〃，那么它的否认为“并非VxeM,p(x)〃，也就是“3xeM,p(x)不成立〃.通常，用符号”」p(x)〃表示“p(x)不成立〃.对于含有一个量词的全称量词命题的否认，有下面的结论：全称量词命题：VxeM,p(x)它的否认：3xeM,「p(x).【结论1】全称量词命题的否认是存在量词命题.【例题研讨】阅读领悟课本P例3〔用时约为2分钟，教师逐一作出准确的评析.〕29例3写出以下全称量词命题的否认：〔1〕所有能被3整除的整数都是奇数；〔2〕每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；〔3〕对任意xeZ,x2的个位数字不等于3.解:〔1〕该命题的否认：存在一个能被3整除的整数不是奇数；〔2〕该命题的否认：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；〔3〕该命题的否认，3xeZ,x2的个位数字不等于3.【问题2】写出以下命题的否认：〔1〕存在一个实数的绝对值是正数；〔2〕有些平行四边形是菱形；〔3〕3xeR,x2-2x+3=0.它们与原命题在形式上有什么变化？【解析】这三个命题都是存在量词命题，即具有“3xeM,p(x)〞的形式.其中命题(1)的否认是“不存在一个实数，它的绝对值是正数〞，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数：命题(2)的否认是“没有一个平行四边形是菱形〞，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形：命题(3)的否认是“不存在3xeR,x2一2x+3=0〃，也就是说，VxeR,x2一2x+3丰0.【结论】从命题形式看，这三个存在量词命题的否认都是全称量词命题.一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否认，我们只需把“存在一个〞，“至少有一个〞，“有些〞等存在量间，变成“不存在一个〞，“没有一个〞等短语即可，也就是说，假定存在量词命题为也就是“VxeM,p(x)不成.那么它的否认为“不存在xeM，使p(x)成立〃，立〞.对含有一个量词的存在量词命题的否认，有下面的结论：存在量词命题：3xeM,p(x)它的否认：VxeM,「p(x).【结论2】存在量词命题的否认是全称量词命题.【例题研讨】阅读领悟课本P例4、例5〔用时约为4分钟，教师逐一作出准确的评析.〕30例4写出以下存在量词命题的否认：〔1〕3xeR,x+2<0；〔2〕有的三角形是等边三角形：〔3〕有一个偶数是素数.解：〔1〕该命题的否认：VxeR,x+2>0；〔2〕该命题的否认：所有的三角形都不是等边三角形；〔3〕该命题的否认：任意一个偶数都不是素数.例5写出以下命题的否认，并判断真假：〔1〕任意两个等边三角形都相似：〔2〕3xeR,x2-x+1=0.解：〔1〕该命题的否认：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似，因此这是一个假命题；〔2〕该命题的否认：VxeR,x2—x+1丰013因为对任意xeR,x2—x+1=(x--)2+->0，所以这是一个真命题.乙*1【小组互动】完成课本P练习，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.31〔三〕探索与发现、思考与感悟.命题：对任意xeR,x3—x2+1<0的否认是()A.不存在xeR,x3-x2+1<08.存在xeR,x3-x2+1>0C.存在xeR,x3-x2+1>0D.对任意xeR,x3-x2+1>0解：由全称量词命题的否认可知命题的否认为“存在xeR,x3-x2+1>0〃.应选C..命题p:3meR，使方程x2+m+1=0有实数根，那么”lp〃形式的命题是()A.3meR，使得方程x2+mx+1=0无实根B.对VmeR，方程x2+mx+1=0无实根C.对VmeR，方程x2+mx+1=0有实根D.至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根解：由存在量词命题的否认可知命题的否认为“对VmeR，方程％2+mx+1=0无实根〃.应选B.判断以下命题的真假，并写出这些命题的否认：〔1〕所有的矩形都是平行四边形．〔2〕不管m取何实数，方程x2+2x-m=0都有实数根.〔3〕Va,beR，方程ax=b都有惟一解.〔4〕每个三角形至少有两个锐角．解：〔1〕真命题，其否认为：存在一个矩形，不是平行四边形．〔2〕假命题，其否认为：存在实数m，使得x2+2x-m=0没有实数根.〔3〕假命题，其否认为：3a,beR，方程ax=b没有唯一解.〔4〕真命题，其否认为：存在一个三角形至多有一个锐角．写出以下命题的否认，并判断其真假．〔1〕任何一个素数是奇数；〔2〕任何一个平行四边形的对边都平行；〔3〕VxeR，都有Ix1=x；〔4〕每个二次函数的图象都开口向下．解：〔1〕命题的否认为：存在一个素数，它不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否认是真命题．〔2〕命题的否认为：存在一个平行四边形的对边不都平行，其否认是假命题．〔3〕命题的否认为：3xeR，有IxIwx，如x=—1,I—1Iw—1，其否认是真命题.〔4〕命题的否认为：存在一个二次函数的图象开口不向下，其否认是真命题．写出以下命题的否认，并判断其否认的真假：〔1〕有些实数的绝对值是正数；〔2〕某些平行四边形是菱形；〔3〕3xeR,x2+x+1<0；〔4〕3x,yeZ,使得%，；2x+y=3.解：〔1〕命题的否认是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数〞，也即“所有实数的绝对值都不是正数〞．由于I-2I=2，因此命题的否认为假命题.〔2〕命题的否认是：“没有一个平行四边形是菱形〞，也即“每一个平行四边形都不是菱形〞．由于菱形是平行四边形，因此命题的否认是假命题．〔3〕命题的否认是：“不存在xeR,x2+x+1<0〃，也即“VxeR,x2+x+1>0〃.133由于x2+x+1=(x+-)2+->->0，因此命题的否认是真命题.乙II〔4〕命题的否认是：“Vx,yeZ，、5x+yw3.・.•当x=0,y=3时，J2x+y=3,因此命题的否认是假命题.〔四〕归纳小结，回忆重点1、全称量词、存在量词以及对应的命题量词名称全称量词存在量词量词符号V3命题名称全称量词命题存在量词命题命题记号VxeM,p(x)3xeM,p(x)命题的否认3xeM,「p(x)VxeM,「p(x)2、常见的否认词语词语词语的否认等于不等于大于不大于〔即小于或等于〕小于不小于〔即大于或等于〕是不是都是不都是（与“都不是〃区别开）至多一个至少两个至少一个一个也没有任意某个所有的某些〔五〕作业布置，精炼双基.完成课本P习题1.53、4、531.研究思考习题1.56五、教学反思：〔课后补充，教学相长〕
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