平面的法向量学习目标1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．重点难点平面的法向量的求法．知识链接1．平面的法向量：已知平面α，如果________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．设n，n分别是平面α、β的法向量，则12α∥β或α与β重合⇔________________.α⊥β⇔________⇔__________.学习过程一、课内探究探究点一平面的法向量问题1平面的法向量有何作用？是否唯一．探究点二根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)；(2)平面α、β的法向量分别是n＝(1,3,0)，n＝(－3，－9,0)；12(3)平面α、β的法向量分别是n＝(1，－3，－1)，n＝(8,2,2)．12二、典例剖析例1已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．跟踪训练1已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．例2.在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.跟踪训练2已知正方体ABCD—ABCD的棱长为2，E、F分别是BB、DD111111的中点，求证：(1)FC∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面BCF.111三、小结反思在证明过程中，体会向量法与几何法证明的不同之处．从不同的角度阐明数学证明的原理，培养我们善于探索、独立思考、集体交流的好习惯.四、当堂检测1．若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3，1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确2．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．A、C都有可能3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)4．若n，n分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n＝(1,2，x)，n＝1212(x，x＋1，x)，则x的值为()A．1或2B．－1或－2C．－1D．－25．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－26．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()7．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.五、课后巩固1．下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．2．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；其中正确的是________．(填序号)3．在正方体ABCD—ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB11111上找一点M，使得DM⊥平面EFB.114.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.5.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，23PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.36.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD＝90°，M为AP的中点．求证：DM∥平面PCB.
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