§7.4基本不等式【2014高考会这样考】1•利用基本不等式求最值、证明不等式；2•利用基本不等式解决实际问题.【复习备考要这样做］1•注意基本不等式求最值的条件；2•在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用.基础知识・自主学习I要点梳理基本不等式・.abw学(1)基本不等式成立的条件：a》0,b》0.⑵等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.几个重要的不等式22(1)a利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则如果积xy是定值p,那么当且仅当x^y时，x+y有最小值是2占(简记：积定和最小)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x^y时，xy有最大值是》•(简记：和定积最大)［难点正本疑点清源］1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正一一各项均为正；二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.2•运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2>2ab逆用22a+ba+b.—j；丰b\就是abw「—；俪(a,b>0)逆用就是ab
0)等.还要注意“添、22I2丿拆项”技巧和公式等号成立的条件等.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y=x+m(m>0)的单调性.x+b2>2ab(a,b€R).⑵三+2(a，b同号).⑶abw号f(a,b€R).(a,b€R).算术平均数与几何平均数设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为，几何平均数为・，ab,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.I基础自测I若x>0,y>0，且x+y=18,贝Uxy的最大值是
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
81解析由于x>0,y>0,则x+y>2xy,'x+y2所以xyw-+y|=81,<2丿当且仅当x=y=9时，xy取到最大值81.2.已知t>0,则函数t2—4t+1t的最小值为答案—22t—4t+11解析•/t>0,•••y=t=t+1—4>2—4=—2，且在t=1时取等号.123.已知x>0,y>0，且2x+y=1，则［+y的最小值是.答案8解析因为1+y=(2x+y)£+y；=4+y+4x>4+2：x•-=8,等号当且仅当y=1x=寸时成立.（2012浙江）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）2428A飞B.y答案C解析■/->0,y>0，由x+3y=5xy得1f+3■'c,13>•3x+4y=5(3x+4y)y+-=冷4+9+=节+57+哼A13+〉2-笫y=5(当且仅当x=2y时取等号),•3x+4y的最小值为5.圆x?+y2+2——4y+1=0关于直线2ax—by+2=0(a,b€R)对称，则x=1.ab的取值范围是A.4D.答案解析A由题可知直线2ax—by+2=0过圆心(—1,2)，故可得a+b=1,又因abw号21=4（a=b时取等号）.故ab的取值范围是一g,1.题型分类-深度剖析题型一利用基本不等式证明简单不等式【例1已知x>0,y>0,z>0.求证:x+zy+zz+z》8思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证.证明■/x>0,y>0,z>0,2'yz¥>°，X+z>2；xz>0,?+z>今>0-y+zX,zx,y••x十xy十yz十z》8莎碾畅=8xyz当且仅当x=y=z时等号成立.探究提高利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.变式训嫌1已知a>0,b>0,c>0，且a+b+c=1.111求证：一十1十9.abc证明■/a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,••丄十1十1=吐出十abcaa+b十ca+b+cci'ba、=3十a+b十>3十2十2+2=9,1当且仅当a=b=c=3时，取等号题型二利用基本不等式求最值11TOC\o"1-5"\h\z【例2】(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则二十：的最小值为;2x(2)当x>0时，贝Uf(x)=x^十1的最大值为.思维启迪：利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换•如第(1)问把1十」中的xy“1”代换为“2x+y”，展开后利用基本不等式；第⑵问把函数式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式.答案(1)3十2.2(2)1解析(1)tx>0,y>0,且2x+y=1,112x+y2x+yxyxy=3+y+舒3+22.当且仅当y=空时，取等号.xy2x2”2,⑵•/x>0,•f(x)=—=1w2=1，x+1X+12x1当且仅当x=-，即卩x=1时取等号.x叫P训潯F(1)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是9C.91116⑵已知a>b>0,则a+ba_b的最小值是答案(1)B⑵16解析(1)依题意，得(x+1)(2y+1)=9,•••(x+1)+(2y+1)>2“’x+12y+1=6,即x+2y>4.x+1=2y+1,当且仅当|x+2y+2xy=8,•x+2y的最小值是4.x=2,即时等号成立.y=1b+a—b2'2当且仅当a=2b时等号成立.216^16264••a+》a+~z=a+~zba—baa(2)-a>b>0,--b(a—b)w4'a2•=16,当且仅当a=2.2时等号成立.a16•••当a=22,b=,2时，a2+丿取得最小值16.b但一b)题型三基本不等式的实际应用［例3】某单位建造一间地面面积为子侧面的长度x不得超过12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房5m.房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为5800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为的费用•当侧面的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可.还应注意定义域0900X2,xx—+5800=13000(兀),16当且仅当x=16,即卩x=4时取等号.x故当侧面的长度为4米时，总造价最低.3泣川心（2011北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每8件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品B.80件C.100件A.60件答案B解析设每件产品的平均费用为y元，由题意得D.120件800x800xy=2•=20.x8;x8当且仅当800=；(x>0)，即x=80时“=”成立，故选B.易错警示系列9忽视最值取得的条件致误典例：（12分）已知a、b均为正实数，且a+b=1,求y=a+彳b+£的最小值.易错分析在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到.审题视角（1）求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件.（2）可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围.规范解答解
方法
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一y=a+ab+1=ab+i+a+bAab+ab+2=（陌+盍卜t4融+盍-3同AZ4五击一3X宁卜（4-劈=/[10分]当且仅当a=b=*时，y=a+b+1取最小值，最小值为2f.[12分]方法二y=b+a/b+b.rab+ab+b+b1a+b1（a+bf—2ab=ab+0b+ab=ab+ab+ab=a；+ab—2.[8分]令t=abw'a+b2即t€[10分]又f(t)=|+1在o,4上是单调递减的,TOC\o"1-5"\h\z1331•••当t=A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)、选择题(每小题5分，共20分)(2011陕西)设02时，x+=(x—2)++2>2+2=4.x—2x—28100，即.ab>a,D错误，故选B.(2012福建)下列不等式一定成立的是()a.igx2+4>igx(x>o)1B.sinx+》2(xmkn,k€Z)sinxC.x2+1>2|x|(x€R)1〒>1(x€R)答案C解析当x>0时，x2+4>2x•=x,所以lgx2+4>lgx(x>0)，故选项A不正确；而当xmkn,k€Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；1当x=0时，有一=1,故选项D不正确.x2+111TOC\o"1-5"\h\z设x,y€R,a>1,b>1，若ax=by=3,a+b=23，则；+勺的最大值为()31A.2B.?C.1D.?答案C11解析由a=b'=3，得：x=loga3,y=logb3，由a>1,b>1知x>0,y>0,~+"y=log3a+log3b=log3ab0./x(3—3x)=3x(1—x)<3x+1—x2=3I2丿41当x=1—X,即卩x=2时取等号.二、填空题(每小题5分，共15分)已知x,y€R+，且满足x+y=1,贝Vxy的最大值为4答案3解析■/x>0,y>0且1=3+21-,•xyw3•当且仅当3=4时取等号.（2011湖南）设x,y€R，且xy^0,贝Ux2+1+a1+1》9（当且仅当a=b=*时等号成立）.+4y2的最小值为答案9解析F+召）3+幼2.戸5+xy+43勺2>5+24x2y2=9,当且仅当x2y2=£时成立.200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万（单位：万元）恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运7.某公司一年需购买某种货物元，一年的总存储费用数值费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是答案20解析设每次购买该种货物x吨，则需要购买警次，则一年的总运费为2=400,400/400一年的总存储费用为x,所以一年的总运费与总存储费用为-厂+x>2-JJ0x=40，当且仅当400=x,即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每x次应购买该种货物20吨.三、解答题（共22分）8.（10分）已知a>0,b>0,a+b=1，求证:⑴a+1+話8；⑵1+a1+b》9.11111a+b证明°）a+b+ab=a+b+^b-abababab=21+1，■/a+b=1,a>0,b>0,TOC\o"1-5"\h\z11a+ba+bab•--+-=-—+~—=2+7+->2+2=4,ababba1111•••丄+1+七》8（当且仅当a=b=1时等号成立）.abab2⑵方法一•/a>0,b>0,a+b=1,d1a+bb•1+-=1+=2+一，aaa1a同理1+一=2+一同理,i+b2+b，•1+11+b=2+b2+aa\=5+2a+b》5+4=9.方法1111+a+b+乔1+b+»8abab由⑴知,1+1111c+1=1+a+b+ab》9.9.（12分）为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱（如图所示），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱的底长为am,高度为bm.已知流出的水中该杂质的质量分别与a,b的乘积成反比，现有制箱材料60m2.问：当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A,B孔的面积忽略不计）?解方法一设y为流出的水中该杂质的质量分数，k则y=T，其中k>0为比例系数，依题意，求使y值最小的a,b的值.ab根据题设，有4b+2ab+2a=60（a>0,b>0）,30—a解得b=(00,b>0）,即a+2b+ab=30（a>0,b>0）.因为a+2b>2.2ab,所以2.2•ab+ab<30,当且仅当a=2b时，上式取等号.由a>0,b>0,解得02|ab成立时，实数a,b--定是B.非负数C•实数D.不存在立.2.如果C原不等式可变形为a2+b2—2|ab|=|a|2+|b|2—2|ab|=(|a|—|b|)2》0,对任意实数都成0Q>MB.Q>P>MC.Q>M>P答案解析D.M>Q>P〔a+b111因为P=log22，Q=2(log2a+loggb),a+ba+b—厂,,ab,a+b的大小，显然一厂〉.ab.又因为a+b2112log2（a+b）,所以只需比较a+b]a+ba+b「a+b（因为a+b>4，也就是—厂<1），所以”a+b>—^>.ab，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q>P>M.3.函数y=loga（x+3）—1（a>0,且a^1）的图像恒过定点12上，其中m,n均大于0,则-+2的最小值为mnA,若点A在直线mx+ny+1=0()A.2B.4C.8D.16答案C解析点A(—2,—1)，所以2m+n=1.所以m+2=(2m+n)m+n=4+m+8，当且仅当n=2m,即m=4,n="2时等号成立.二、填空题（每小题5分，共15分）4.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是.答案18解析由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得xy>2.2xy+6（当且仅当2x=y时，取“=”），即（一xy）2—22,xy—6>0,•••（xy—32）（.xy+.2）>0.又•••,xy>0,••.xy>3.2，即xy>18.•xy的最小值为18.5.已知m、n、s、t€R+,m+n=2,m+n=9,其中m、n是常数，且s+t的最小值是4st9满足条件的点（m,n）是圆（x—2）2+（y—2）2=4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为答案x+y—2=0解析因(s+1)m+n=m+n+tm+翠》m+n+2mn,\_st丿st丫所以m+n+2mn=4,从而mn=1，得m=n=1，即点(1,1),而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为一1,从而此弦的方程为x+y—2=0.定义"*”是一种运算，对于任意的x,y,都满足x*y=axy+b（x+y）,其中a,b为正实数，已知1*2=4,则ab取最大值时a的值为.答案1解析•••1*2=4,•••2a+3b=4,•/2a+3b>2J6ab,/.ab<3.当且仅当2a=3b，即a=1时等号成立，2所以当a=1时，ab取最大值v2—p2+p.三、解答题（13分）甲、乙两地相距s千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p（单位：千米/小时），船在静水中的最大速度为q千米/小时（q>p）.已知船每小时的燃料费用（单位：元）与船在静水中的速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为k.（1）把全程燃料费用y（单位：元）表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域；（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解（1）由题意，知船每小时的燃料费用是kv2，全程航行时间为一匚,v—p于是全程燃料费用y=kv2亠（pks[2v—p•PF2p]=4ksp（当且仅当v—p=-^，即v=2p时等号成立）.v—pv—p①当2p€（p,q]，即2pwq时，ymin=4ksp,此时船的前进速度为2p—p=p;2②当2p?(p,q］，即2p>q时，函数y=kv2亠在(p,q］内单调递减，所以ymin=ks耳,v—pq—p此时船的前进速度为q-p.故为了使全程燃料费用最小，当2pwq时，船的实际前进速度应为p千米/小时；当2p>q时，船的实际前进速度应为(q—p)千米/小时.
浙公网安备 33021202002483