正、余弦定理应用举例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
型一测量距离问题例1如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【解析】在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得asin105°3＋1BC＝＝a.②sin45°2在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为2AB＝AC＋BC－2AC·BC·cos30°＝2a.22点评：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．对点训练(2014·四川理)如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)46【解析】根据已知的图形可得AB＝sin67°.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，ABBC46由正弦定理，得sin30°＝sin37°.所以BC≈2×0.92×0.60＝60(m)．题型二测量高度问题例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．【思路】依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是AB因为tan∠AEB＝，AB为定值，BE最小时，仰角最大，要BE求出塔高AB，必须先求BE，而求BE，需先求BD(或BC)．【解析】如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°.在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.CDBD由正弦定理，得＝.sin∠DBCsin∠BCD40sin30°∴BD＝sin135°＝202.∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，6－2BE＝DBsin15°＝202×4＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，10∴AB＝BEtan30°＝3(3－3)(米)．10故所求的塔高为(3－3)米．3点评：本题有两处易错点：①图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；②对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错．对点训练(1)在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中影子的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A．2.7mC.37.3mB.17.3mD.373m【解析】依题意画出示意图，CM－10CM＋10则＝，tan30°tan45°tan45°＋tan30°∴CM＝×10≈37.3(m)tan45°－tan30°故选C．(2)(2014·新课标全国Ⅰ文)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°.从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.【解析】在△ABC中，AC＝1002，在△MAC中，MAACMN＝，解得MA＝1003，在△MNA中，＝sin60°sin45°10033sin60°＝2，故MN＝150，即山高MN为150m.题型三测量角度问题例3如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解析】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.DBAB在△DAB中，由正弦定理，得＝.sin∠DABsin∠ADB∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5?3＋3?·sin45°sin105°＝5?3＋3?·sin45°53?3＋1?＝＝103(海里)．sin45°cos60°＋cos45°sin60°3＋12又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD＋BC－2BD·BC·cos∠DBC1＝300＋1200－2×103×203×＝900.230∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝30＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．222点评：首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．对点训练如图所示，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)【解析】过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.因为∠CAD＝45°，AC＝10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．22所以AD＝CD＝AC＝×10＝52(海里)．22在Rt△ABD中，因为∠DAB＝60°，所以BD＝AD×tan60°＝52×3＝56(海里)．所以BC＝BD－CD＝(56－52)海里．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，AC101所以中国海监船到达C点所用的时间t1＝30＝30＝3(小5×?6－2?BC时)，某国军舰到达C点所用的时间t2＝13＝135×?2.45－1.41?≈＝0.4(小时)．131因为3<0.4，所以中国海监船能及时赶到．小结：应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．
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