1/11/11/1椭圆与双曲线•■经典结论椭圆.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角..PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点..以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离..以焦点半径PFi为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.22.若玲（X。,〉，。）在椭圆二十二=1上，则过外的椭圆的切线方程是等+邛=1.crZra"b"22.若庶（见,九）在椭圆工+匚=1外，则过P。作椭圆的两条切线切点为八、P2,则切crb一点弦P1P2的直线方程是2+里=Lcrlrx2y2.椭圆）+厂=1（a>b>0）的左右焦点分别为Fi,F2,点P为椭圆上任意一点crHPF]=/,则椭圆的焦点角形的面积为=〃tan|.X2y2.椭圆、+-v=l（a>b>0）的焦半径公式：a-b-IA/51=a+%,IMF?1=a-*）（耳（-c,0）,F-,（c,0）M（x（）,y0））..设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF_LNF..过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、QAi、A2为椭圆长轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M,A2P和AiQ交于点N,则MFJ_NF.22.AB是椭圆二+二=1的不平行于对称轴的弦，M（Xo，%）为AB的中点，则crb-.若凡（与，光）在椭圆二十二=1内，则被P。所平分的中点弦的方程是crb-v+y（）y_-v（）2.>o2a1b2a2b2,.若玲(X。,为)在椭圆二+二=1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是crb"与+*号+等crZ?crlr双曲线.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角..PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点..以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交..以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)X2V2.若凡(看,九)在双曲线二一==1(a>0,b>0)上，则过外的双曲线的切线方crb~程是?一里=i.crb-TOC\o"1-5"\h\z226.若玲(王),为)在双曲线二一二=1(a>0,b>0)外，则过P。作双曲线的两条切线切点为Pl、P2,则切点弦P1P2的直线方程是2-卑=1.crb-22.双曲线匚一二=1(a>0,b>o)的左右焦点分别为Fi,F2,点P为双曲线上任crb-意一点则双曲线的焦点角形的面积为=b2cot^.22.双曲线二一二=1(a>O,b>。)的焦半径公式：(”(—c,0),F,(c,0)cr/r当M(与,儿)在右支上时，IMFX1=*)+a,\MF21=ex0-a.当M(%,y0)在左支上时，IMF,1=-ex0+a,\MF21=-ex^-a.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF±NF..过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、QAi、A2为双曲线实轴上的顶点，AiP和A2Q交于点M,A2P和AiQ交于点N,则MFJ_NF.11.AB是双曲线=一二=1(a>0zb>0)的不平行于对称轴的弦，M(x°,y0)为AB的中点，则K°「K“常即Kab=b&)12.若/（公,"）在双曲线二一二=1（a>0,b>0）内，则被Po所平分的中点弦的方用白玉/打）'_42>（）2万桂7E---—3丁一丁一alrtrZr2213.若兄（两，鹏）在双曲线二一二=1（a>0,b>0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是%一今=乎—等.椭圆与双曲线推导的经典结论.椭圆二+二=1（a>b>。）的两个顶点为4（—4,0）,4（4,0）,与y轴平行的crb一22直线交椭圆于PlP2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是二-二=L.过椭圆二+二=1（a>0,b>0）上任一点AC%,），。）任意作两条倾斜角互补的直线cr交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且与仁="（常数）.3,若P为椭圆二十二=1（a>b>0）上异于长轴端点的任一点,FlF2是焦点,cr\r4PF[F]=a,/PF】F1=/3,则liZ£=tan^cot"..设椭圆三+二=1（a>b>0）的两个焦点为Fi.F2F（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记NGPF?=a,NP"鸟=夕，/"5P=7，则有sin/7+sin/a.若椭圆工+二=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F】、F2,左准线为L,则当0crlrVeWj？-l时，可在椭圆上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.1/11/1.P为椭圆二十二=1(a>b>0)上任一点,Fi,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，crb二则2a-IA5区241+1尸耳&2"+以61,当且仅当人,马/三点共线时，等号成立..椭圆(+(丫二也匚=1与直线Av+8v+C=0有公共点的充要条件是a2b2A2a2+B2b2>(Ax()+By。+C)2.22.已知椭圆二十二=1(a>b>0),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且crb-OPrOQ.(1)焉T+房产=、■+'；(2)|OPF+|OQ|2的最大值为华工；(3)S,”。的最小值是取产・c/+Zrtr+Z/.22.过椭圆二+二=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦crlrIPF|eMN的垂直平分线交x轴于P,则土-=£.IMNI2x2v210.已知椭圆=+k=1
b>0)△、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直crb二TOC\o"1-5"\h\z平分线与x轴相交于点P&o,O),则一匚2b>0)上异于长轴端点的任一点,Fi、F2为其焦点crb-记NF/E=0,则⑴IPF、IIPFJ=21"(2)s=b2tan1.1+cos0112.设A、B是椭圆二+二=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，crlrNPAB=a,/PBA=/3,/BPA=y,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有1c,2加Icosal-■)c2crb2(1)1PA\=-；—,(2)tanatan夕=1一".(3)S^AB= 7cot/.cr-c^cos^y-crv2v2.已知椭圆=+r=l(a>b>0)的右准线/与x轴相交于点E,过椭圆右焦点crb'厂的直线与椭圆相交于A、B两点点C在右准线/上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点..过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直..过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直..椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）.椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e..椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.与双曲线的经典结论双曲线.双曲线二一二=1（a>0,b>0）的两个顶点为A（—a,0）,A,（4,0）,与y轴crr2v2平行的直线交双曲线于Pl.P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是—+—=1.crb'v2v2.过双曲线二一二=1（a>Ozb>o）上任一点A（Xo，y°）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且勺（=-丁2（常数）..若P为双曲线二一二=1（a>0zb>0）右（或左）支上除顶点外的任一crb"点尸1,F2是焦点，/PF[F?=a.4PF?F[=。,则^--=tan—ct?t—（或=ton—cot—)c+a221/11/1.设双曲线二一二=1(a>0,b>0)的两个焦点为Fi、F&P(异于长轴端点)cr为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记鸟=2,qin(7C/产丹巴=人/耳产产=人则有L——=-=^.±(sin/-sin))aX2y2.若双曲线7V=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为cr\rL,则当IVeW忘+1时，可在双曲线上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.x2y2.P为双曲线：一==1(a>0,b>0)上任一点,Fi,F2为二焦点，A为双曲线crb-内一定点，则14鸟1一2aqp4I+IP£I，当且仅当4序P三点共线且P和45在y轴同侧时，等号成立.22.双曲线二一二=1(a>0,b>0)与直线Ar+8v+C=0有公共点的充要a2b2条件是4/—长从工。222.已知双曲线二一二=1(b>a>0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两crZr动点，且OP_LOQ.(1)康+康-；⑵qpF+qqf的最小值为号；⑶9,7Sa80的最小值是小二・U—(I.过双曲线二一;=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于crb-IPF|eTOC\o"1-5"\h\zM,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则=—.\MN\22210.已知双曲线二一二=1(a>0,b>0)A.B是双曲线上的两点，线段AB的crb一垂直平分线与X轴相交于点P(x0,0),则与>匚生或X。4-匚生.aa2211.设P点是双曲线二一二=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,Fi、Faa-lr2b为其焦点记居=e,则(1)1PEIIP玛l=———.(2)l-cos6,2Y=lrcot—.212.心率，则有(1)1241=2加IcosaI\a2-c2cos2设A、B是双曲线£一营5(>。,4。)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，"AB=a,/PBA=/3,/BPA=y,c、e分别是双曲线的半焦距离2a2b2⑵tanatan夕=1一『.(3)S^AB=d=cot/..已知双曲线二一二=1(a>0,b>0)的右准线/与x轴相交于点石，过双crlr曲线右焦点月的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线/上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点..过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直..过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直..双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率)..双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e..双曲线焦三角形中泮焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
浙公网安备 33021202002483