河南省2023年中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练

专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 八　二次 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数综合题类型一新定义问题(2023·河南)如图，直线y＝－eq\f(2,3)x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－eq\f(4,3)x2＋bx＋c经过点A，B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．例1题图备用图【分析】(1)把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①由M点坐标可表示点P，N的坐标，从而可表示出MA，MP，PN，PB的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出点M，P，N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，即可求得m的值．【自主解答】解：(1)∵y＝－eq\f(2,3)x＋c过点A(3，0)，与y轴交于点B，∴0＝－2＋c，解得c＝2，∴B(0，2)．∵抛物线y＝－eq\f(4,3)x2＋bx＋c经过点A，B，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－12＋3b＋c＝0，,c＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(10,3)，,c＝2，))∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(4,3)x2＋eq\f(10,3)x＋2.(2)①由(1)可知直线的解析式为y＝－eq\f(2,3)x＋2，∵M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.∴P(m，－eq\f(2,3)m＋2)，N(m，－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2)，∴PM＝－eq\f(2,3)m＋2，AM＝3－m，PN＝－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2－(－eq\f(2,3)m＋2)＝－eq\f(4,3)m2＋4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°.当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2＝2，解得m＝0(舍去)或m＝2.5，∴M(2.5，0)；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，例1题解图则∠NBC＋∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2－2＝－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB～Rt△BOA，∴eq\f(NC,OB)＝eq\f(CB,OA)，∴eq\f(m,2)＝eq\f(－\f(4,3)m2＋\f(10,3)m,3)，解得m＝0(舍去)或m＝eq\f(11,8).∴M(eq\f(11,8)，0)；综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(2.5，0)或(eq\f(11,8)，0)；②由①可知M(m，0)，P(m，－eq\f(2,3)m＋2)，N(m，－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2)，∵M，P，N三点为“共谐点”，∴当P为线段MN的中点时，则有2(－eq\f(2,3)m＋2)＝－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2，解得m＝3(三点重合，舍去)或m＝eq\f(1,2)；当M为线段PN的中点时，则有－eq\f(2,3)m＋2＋(－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2)＝0，解得m＝3(舍去)或m＝－1；当N为线段PM的中点时，则有－eq\f(2,3)m＋2＝2(－eq\f(4,3)m2＋eq\f(10,3)m＋2)，解得m＝3(舍去)或m＝－eq\f(1,4).综上可知，当M，P，N三点成为“共谐点”时，m的值为eq\f(1,2)或－1或－eq\f(1,4).1．(2023·河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．第1题图备用图2．(2023·崇仁一中二模)如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1，L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；(2)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；(3)在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m＞0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D.若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．图①图②3．(2023·郑州模拟)如图，已知点C(0，3)，抛物线的顶点为A(2，0)，与y轴交于点B(0，1)，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，连接PF，PC，CF，求证：对于任意点P，PF与PM的差为常数．(3)记(2)中的常数为a，若将“使△PCF面积为2a”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．4．(2023·焦作一模)如图①，直线y＝eq\f(3,4)x＋m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，－1)，抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c经过点B，点C的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标为x(0＜x＜4)，矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．图①图②类型二线段、角度数量关系探究(2023·河南)如图①，直线y＝－eq\f(4,3)x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝eq\f(2,3)x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；(3)如图②，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．图①图②例2题图备用图【分析】先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD＝PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；(3)分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可．①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，先利用互余和旋转角相等得出∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，进而表示出ND′的长度，通过构造方程求解；②的思路同①.【自主解答】解：(1)∵点C(0，4)在直线y＝－eq\f(4,3)x＋n上，∴n＝4，∴y＝－eq\f(4,3)x＋4.当y＝0时，0＝－eq\f(4,3)x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)．∵抛物线y＝eq\f(2,3)x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＋3b＋c＝0，,c＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(4,3)，,c＝－2，))∴抛物线的解析式为y＝eq\f(2,3)x2－eq\f(4,3)x－2.(2)∵点P为抛物线上一个动点，且横坐标为m，∴P(m，eq\f(2,3)m2－eq\f(4,3)m－2)，D(m，－2)，∴BD＝|m|，PD＝|eq\f(2,3)m2－eq\f(4,3)m－2＋2|＝|eq\f(2,3)m2－eq\f(4,3)m|.∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，∴BD＝PD.①当点P在直线BD上方时，PD＝eq\f(2,3)m2－eq\f(4,3)m.(i)若点P在y轴左侧，则m<0，BD＝－m.∴eq\f(2,3)m2－eq\f(4,3)m＝－m，解得1＝0(舍去)，m2＝eq\f(1,2)(舍去)．(ii)若点P在y轴右侧，则m>0，BD＝m.∴eq\f(2,3)m2－eq\f(4,3)m＝m，解得3＝0(舍去)，m4＝eq\f(7,2).②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－eq\f(2,3)m2＋eq\f(4,3)m.∴－eq\f(2,3)m2＋eq\f(4,3)m＝m，解得5＝0(舍去)，m6＝eq\f(1,2).综上所述，m＝eq\f(7,2)或eq\f(1,2).即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为eq\f(7,2)或eq\f(1,2).(3)P1(－eq\r(5)，eq\f(4\r(5)＋4,3))，P2(eq\r(5)，eq\f(－4\r(5)＋4,3))，P3(eq\f(25,8)，eq\f(11,32))．提示：∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝eq\f(4,5)，cos∠PBP′＝eq\f(3,5).①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为点N，交BD于点M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.如解图①，例2题解图①∵ND′－MD′＝2，即eq\f(3,5)(eq\f(2,3)m2－eq\f(4,3)m)－(－eq\f(4,5)m)＝2；∴m＝eq\r(5)(舍去)或m＝－eq\r(5)；如解图②，例2题解图②∵ND′＋MD′＝2，即eq\f(3,5)(eq\f(2,3)m2－eq\f(4,3)m)＋eq\f(4,5)m＝2，∴m＝eq\r(5)或m＝－eq\r(5)(舍去)，∴P(－eq\r(5)，eq\f(4\r(5)＋4,3))或P(eq\r(5)，eq\f(－4\r(5)＋4,3))．②当点P′落在y轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，例2题解图③∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.∵P′N＝BM，即eq\f(4,5)(eq\f(2,3)m2－eq\f(4,3)m)＝eq\f(3,5)m，∴m＝eq\f(25,8)，∴P(eq\f(25,8)，eq\f(11,32))．1．(2023·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y＝－eq\f(3,4)x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝5EF，求m的值；(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2023·洛阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2023·新野一模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，C三点．直线y＝mx＋eq\f(1,2)交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N.(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；(3)如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②4．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第4题图备用图类型三特殊图形判定问题(2023·河南)如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q.若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．例3题图备用图【分析】(1)利用一次函数解析式确定C(0，－5)，B(5，0)，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)①先解方程－x2＋6x－5＝0得A(1，0)，再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC＝∠OCB＝45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM＝2eq\r(2)，接着根据平行四边形的性质得到PQ＝AM＝2eq\r(2)，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如解图①，利用∠PDQ＝45°得到PD＝eq\r(2)PQ＝4.设P(m，－m2＋6m－5)，则D(m，m－5)，讨论：当P点在直线BC上方时，PD＝－m2＋6m－5－(m－5)＝4；当P点在直线BC下方时，PD＝m－5－(－m2＋6m－5)，然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如解图②，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B＝2∠ACB，再确定N(3，－2)，AC的解析式为y＝5x－5，E点坐标为(eq\f(1,2)，－eq\f(5,2))，利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y＝－eq\f(1,5)x＋b，把E(eq\f(1,2)，－eq\f(5,2))代入求出b得到直线EM1的解析式为y＝－eq\f(1,5)x－eq\f(12,5)，则解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－5，,y＝－\f(1,5)x－\f(12,5)，))得M1点的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如解图②，利用对称性得到∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，设M2(x，x－5)，根据中点坐标公式得到3＝eq\f(\f(13,6)＋x,2)，然后求出x即可得到点M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．【自主解答】解：(1)当x＝0时，y＝x－5＝－5；当y＝x－5＝0时，x＝5∴B(5，0)，C(0，－5)．将B，C两点的坐标代入y＝ax2＋6x＋c中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝25a＋30＋c，,c＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,c＝－5，))∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5.(2)①解方程－x2＋6x－5＝0得x1＝1，x2＝5，则A(1，0)，∵B(5，0)，C(0，－5)，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×4＝2eq\r(2).∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ∴PQ＝AM＝2eq\r(2)，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如解图①，则∠PDQ＝45°，∴PD＝eq\r(2)PQ＝4，设P(m，－m2＋6m－5)，则D(m，m－5)．当P点在直线BC上方时，PD＝－m2＋6m－5－(m－5)＝－m2＋5m＝4，解得m1＝1，m2＝4.当P点在直线BC下方时；PD＝m－5－(－m2＋6m－5)＝m2－5m＝4，解得m1＝eq\f(5＋\r(41),2)，m2＝eq\f(5－\r(41),2).综上所述，P点的横坐标为4或eq\f(5＋\r(41),2)或eq\f(5－\r(41),2).②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如解图②.∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1，∴∠AM1B＝2∠ACB.∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH＝BH＝NH＝2，∴N(3，－2)，易得AC的解析式为y＝5x－5，E点坐标为(eq\f(1,2)，－eq\f(5,2))，设直线EM1的解析式为y＝－eq\f(1,5)x＋b，把E(eq\f(1,2)，－eq\f(5,2))代入，得eq\f(1,10)＋b＝－eq\f(5,2)，解得b＝－eq\f(12,5)，∴直线EM1的解析式为y＝－eq\f(1,5)x－eq\f(5,12)，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－5，,y＝－\f(1,5)x－\f(12,5)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(13,6)，,y＝－\f(17,6)，))，则M1(eq\f(13,6)，－eq\f(17,6))；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M，如解图②，则∠AM2C＝2∠ACB，设M2(x，x－5)，∵3＝eq\f(\f(13,6)＋x,2)，∴x＝eq\f(23,6)，∴M2(eq\f(23,6)，－eq\f(7,6))．图①图②例3题解图1．(2023·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝eq\f(1,2)x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，eq\f(7,2))，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；(3)若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．第1题图备用图2．(2023·河南名校模拟)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)和B(3，0)两点，且交y轴于点C，M为抛物线的顶点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若将该二次函数图象向上平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部(不包含边界)，求m的取值范围；(3)点P是抛物线上一动点，PQ∥BC交x轴于点Q，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，其顶点为(1，－4)，直线y＝x－2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝3EF，求m的值；(3)连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 类型一针对训练1．解：(1)∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C(0，8)，A(－8，0)，设抛物线的解析式为：y＝ax2＋c，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝8，,64a＋c＝0，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,c＝8，))故抛物线的解析式为：y＝－eq\f(1,8)x2＋8.(2)正确，理由：设P(a，－eq\f(1,8)a2＋8)，则F(a，8)，∵D(0，6)，∴PD＝eq\r(a2＋（\f(1,8)a2－2）2)＝eq\r(（\f(1,8)a2＋2）2)＝eq\f(1,8)a2＋2.∵PF＝8－(－eq\f(1,8)a2＋8)＝eq\f(1,8)a2，∴PD－PF＝2；(3)在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2，∴PE＋PD＝PE＋PF＋2，第1题解图①∴如解图①，当P、E、F三点共线时，PE＋PF最小，此时点P，E的横坐标都为－4，将x＝－4代入y＝－eq\f(1,8)x2＋8，得y＝6，∴P(－4，6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为(－4，6)由(2)得：P(a，－eq\f(1,8)a2＋8)，∵点D、E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，第1题解图②①如解图②，当－4≤a＜0时，S△PDE＝S△PEO＋S△POD－S△DOE＝eq\f(1,2)×4×(－eq\f(1,8)a2＋8)＋eq\f(1,2)×6×(－a)－eq\f(1,2)×4×6＝－eq\f(1,4)a2－3a＋4＝－eq\f(1,4)(a＋b)2＋13，∴4＜S△PDE≤12.②当a＝0时，S△PDE＝4；第1题解图③③如解图③，过点P作PN⊥x轴于点N，当－8＜a＜－4时，S△PDE＝S梯形PNOD－S△PNE－S△DOE＝(－eq\f(1,8)a2＋8＋6)×(－a)×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×4×6－(－a－4)×(－eq\f(1,8)a2＋8)×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)a2－3a＋4＝－eq\f(1,4)(a＋b)2＋13，∴12＜S△PDE≤13；④当a＝－8时，S△PDE＝12，∴△PDE的面积可以等于4到13的所有整数，在面积为12时，a的值有两个，∴面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，∴“好点”共有11个．综上所述，共有11个，“好点”，P(－4，6)．2．解：(1)由y＝－x2＋4x－3可得点A的坐标为(2，1)，将x＝4代入y＝－x2＋4x－3，得y＝－3，∴B点的坐标为(4，－3)，设抛物线L2的解析式为y＝a(x－4)2－3.将A(2，1)代入，得1＝a(2－4)2－3，解得a＝1，∴抛物线L2的表达式为y＝(x－4)2－3；(2)a1＝－a2，理由如下：∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上，∴可列方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝a2（m－h）2＋k，,k＝a1（h－m）2＋n，))整理，得(a1＋a2)(m－h)2＝0.∵“伴随抛物线”的顶点不重合，∴m≠h，∴a1＝－a2.(3)抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m的顶点坐标为(1，－4m)，设抛物线L2的顶点的横坐标为h，则其纵坐标为mh2－2mh－3m，∴抛物线L2的表达式为y＝－m(x－h)2＋mh2－2mh－3m，化简，得y＝－mx2＋2mhx－2mh－3m，∴点D的坐标为(0，－2mh－3m)，又∵点C的坐标为(0，－3m)，∴|(－2mh－3m)－(－3m)|＝4m，解得h＝±2，∴抛物线L2的对称轴为直线x＝±2.3．(1)解：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2.将点B的坐标代入得4a＝1，解得a＝eq\f(1,4).∴抛物线的解析式为y＝eq\f(1,4)(x－2)2，即y＝eq\f(1,4)x2－x＋1.(2)证明：设点P的坐标为(m，eq\f(1,4)(m－2)2)，∴PM＝eq\f(1,4)(m－2)2，M(m，0)．依据两点间的距离公式可知PF＝eq\r(（m－2）2＋[\f(1,4)（m－2）2－1]2)＝eq\r(（m－2）2＋\f(1,16)（m－2）4－\f(1,2)（m－2）2＋1)＝eq\r(\f(1,16)（m－2）4＋\f(1,2)（m－2）2＋1)＝eq\r([\f(1,4)（m－2）2＋1]2)＝eq\f(1,4)(m－2)2＋1，∴PF－PM＝1.∴对于任意点P，PF与PM的差为常数．(3)解：设直线CF的解析式为y＝kx＋3，将点F的坐标代入，得2k＋3＝1，解得k＝－1，∴直线CF的解析式为y＝－x＋3.由两点间的距离公式可知CF＝2eq\r(2).∵a＝1，∴2a＝2.设在△PCF中，边CF的上的高线长为x，则eq\f(1,2)×2eq\r(2)x＝2，解得x＝eq\r(2).如解图，过点C作CG⊥CF，取CG＝eq\r(2).则点G的坐标为(－1，2)．第3题解图过点G作GH∥FC，设直线GH的解析式为y＝－x＋b，将点G的坐标代入，得1＋b＝2，解得b＝1，∴直线GH的解析式为y＝－x＋1，令－x＋1＝eq\f(1,4)(x－2)2，解得x＝0，∴△PCF的一个巧点的坐标为(0，1)．显然，直线GH在CF的另一侧时，直线GH与抛物线有两个交点．∵F，C为定点，∴CF的长度不变，∴当PC＋PF最小时，△PCF的周长最小．∵PF－PM＝1，∴PC＋PF＝PC＋PM＋1，∴当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小．∴此时P(0，1)．综上所述，△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为(0，1)．4．解：(1)∵直线l：y＝eq\f(3,4)x＋m经过点B(0，－1)，∴m＝－1，∴直线l的解析式为y＝eq\f(3,4)x－1.∵直线l：y＝eq\f(3,4)x－1经过点C，且点C的横坐标为4，∴y＝eq\f(3,4)×4－1＝2.∵抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×42＋4b＋c＝2,c＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(5,4),c＝－1))，∴抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(5,4)x－1；(2)令y＝0，则eq\f(3,4)x－1＝0，解得x＝eq\f(4,3)，∴点A的坐标为(eq\f(4,3)，0)，∴OA＝eq\f(4,3).在Rt△OAB中，OB＝1，∴AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(（\f(4,3)）2＋12)＝eq\f(5,3).∵DE∥y轴，∴∠ABO＝∠DEF，在矩形DFEG中，EF＝DE·cos∠DEF＝DE·eq\f(OB,AB)＝eq\f(3,5)DE，DF＝DE·sin∠DEF＝DE·eq\f(OA,AB)＝eq\f(4,5)DE，∴l＝2(DF＋EF)＝2(eq\f(4,5)＋eq\f(3,5))DE＝eq\f(14,5)DE.∵点D的横坐标为t(0＜t＜4)，∴D(t，eq\f(1,2)t2－eq\f(5,4)t－1)，E(t，eq\f(3,4)t－1)，∴DE＝(eq\f(3,4)t－1)－(eq\f(1,2)t2－eq\f(5,4)t－1)＝－eq\f(1,2)t2＋2t，∴l＝eq\f(14,5)×(－eq\f(1,2)t2＋2t)＝－eq\f(7,5)t2＋eq\f(28,5)t，∵l＝－eq\f(7,5)(t－2)2＋eq\f(28,5)，且－eq\f(7,5)＜0，∴当t＝2时，l有最大值eq\f(28,5).(3)“落点”的个数为4，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．图①图②图③图④第4题解图如解图③，设点A1的横坐标为m，则点O1的横坐标为m＋eq\f(4,3)，∴eq\f(1,2)m2－eq\f(5,4)m－1＝eq\f(1,2)(m＋eq\f(4,3))2－eq\f(5,4)(m＋eq\f(4,3))－1，解得m＝eq\f(7,12)，如解图④，设点A1的横坐标为m，则点B1的横坐标为m＋eq\f(4,3)，B1的纵坐标比点A1的纵坐标大1，∴eq\f(1,2)m2－eq\f(5,4)m－1＋1＝eq\f(1,2)(m＋eq\f(4,3))2－eq\f(5,4)(m＋eq\f(4,3))－1，解得m＝eq\f(4,3)，∴旋转180°时点A1的横坐标为eq\f(7,12)或eq\f(4,3).类型二针对训练1．解：(1)将点A，B的坐标代入抛物线解析式，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－b＋c＝0，,－25＋5b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝5，))∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5，(2)∵点P的横坐标为m，∴P(m，－m2＋4m＋5)，E(m，－eq\f(3,4)m＋3)，F(m，0)，∴PE＝|yP－yE|＝|(－m2＋4m＋5)－(－eq\f(3,4)m＋3)|＝|m2＋eq\f(19,4)m＋2|，EF＝|yE－yF|＝|(－eq\f(3,4)m＋3)－0|＝|－eq\f(3,4)m＋3|，由题意，得PE＝5EF，即|－m2＋eq\f(19,4)m＋2|＝5|－eq\f(3,4)m＋3|＝|－eq\f(15,4)m＋15|.①若－m2＋eq\f(19,4)m＋2＝－eq\f(15,4)m＋15，整理，得2m2－17m＋26＝0，解得m＝2或m＝eq\f(13,2)；②若－m2＋eq\f(19,4)m＋2＝－(－eq\f(15,4)m＋15)，整理，得m2－m－17＝0，解得m＝eq\f(1＋\r(69),2)或m＝eq\f(1－\r(69),2).由题意，得m的取值范围为－1＜m＜5，故m＝eq\f(13,2)，m＝eq\f(1－\r(69),2)这两个解不符合题意，∴m＝2或m＝eq\f(1＋\r(69),2).(3)假设存在．作出示意图如解图：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1＝∠2，CE＝CE′，PE＝PE′.∵PE平行于y轴，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴PE＝CE，∴PE＝CE＝PE′＝CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD的解析式y＝－eq\f(3,4)x＋3，可得OD＝4，OC＝3，由勾股定理，得CD＝5，过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴eq\f(ME,OD)＝eq\f(CE,CD)，即eq\f(|m|,4)＝eq\f(CE,5)，解得CE＝eq\f(5,4)|m|，∴PE＝CE＝eq\f(5,4)|m|，又由(2)可知：PE＝|－m2＋eq\f(19,4)m＋2|，∴|－m2＋eq\f(19,4)m＋2|＝eq\f(5,4)|m|.①若－m2＋eq\f(19,4)m＋2＝eq\f(5,4)m，整理，得2m2－7m－4＝0，解得m＝4或m＝－eq\f(1,2)；②若－m2＋eq\f(19,4)m＋2＝－eq\f(5,4)m，整理，得m2－6m－2＝0，解得m1＝3＋eq\r(11)，m2＝3－eq\r(11).由题意，得m的取值范围为－1＜m＜5，故m＝3＋eq\r(11)这个解舍去，当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E′三点重合于y轴上，也符合题意，∴P(0，5)．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P的坐标为(0，5)或(－eq\f(1,2)或eq\f(11,4))或(4，5)或(3－eq\r(11)，2eq\r(11)－3)．第1题解图2．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－2＝0，,9a＋3b－2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3)，,b＝\f(8,3)，))∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(8,3)x－2；(2)如解图①，由(1)知y＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(8,3)x－2＝－eq\f(2,3)(x－2)2＋eq\f(2,3)；∵D为抛物线的顶点，∴D(2，eq\f(2,3))．∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行与y轴平行的方向向上运动，∴设M(2，m)(m＞eq\f(2,3))，∴OM2＝m2＋4，BM2＝m2＋1，OB2＝9.∵∠OMB＝90°，∴OM2＋BM2＝OB2，∴m2＋4＋m2＋1＝9，解得m＝eq\r(2)或m＝－eq\r(2)(舍去)，∴M(2，eq\r(2))，∴MD＝eq\r(2)－eq\f(2,3).∴t＝eq\r(2)－eq\f(2,3)；图①图②第2题解图(3)存在点P，使得∠PBF被BA平分，如解图②，∴∠PBO＝∠EBO，∵E(0，－1)，∴在y轴上取一点N(0，1)．∵B(3，0)，∴直线BN的解析式为y＝－eq\f(1,3)x＋1①.∵点P在抛物线y＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(8,3)x－2②上，联立①②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,3)x＋1，,y＝－\f(2,3)x2＋\f(8,3)x－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝\f(1,2)))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝0))，∴P(eq\f(3,2)，eq\f(1,2))．3．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，∴将点A和点B的坐标代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋2＝0，,4a＋2b＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.(2)直线y＝mx＋eq\f(1,2)交抛物线与A，Q两点，把A(－1，0)代入解析式，得m＝eq\f(1,2)，∴直线AQ的解析式为y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2).设点P的横坐标为n，则P(n，－n2＋n＋2)，N(n，eq\f(1,2)n＋eq\f(1,2))，F(n，0)，∴PN＝－n2＋n＋2－(eq\f(1,2)n＋eq\f(1,2))＝－n2＋eq\f(1,2)n＋eq\f(3,2)，NF＝eq\f(1,2)n＋eq\f(1,2).∵PN＝2NF，∴－n2＋eq\f(1,2)n＋eq\f(3,2)＝2×(eq\f(1,2)n＋eq\f(1,2))，解得n＝－1或eq\f(1,2).当n＝－1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．∴点P的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(9,4))．(3)∵y＝－x2＋x＋2，＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)，∴M(eq\f(1,2)，eq\f(9,4))．如解图所示，连接AM交直线DE与点G，连接CG，CM此时，△CMG的周长最小．第3题解图设直线AM的函数解析式为y＝kx＋b，且过A(－1，0)，M(eq\f(1,2)，eq\f(9,4))，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0，,\f(1,2)k＋b＝\f(9,4)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,2)，,b＝\f(3,2).))∴直线AM的函数解析式为y＝eq\f(3,2)x＋eq\f(3,2).∵D为AC的中点，∴D(－eq\f(1,2)，1)．设直线AC的解析式为y＝kx＋2，将点A的坐标代入，得－k＋2＝0，解得k＝2，∴直线AC的解析式为y＝2x＋2.设直线DE的解析式为y＝－eq\f(1,2)x＋c，将点D的坐标代入，得eq\f(1,4)＋c＝1，解得c＝eq\f(3,4)，∴直线DE的解析式为y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,4).将y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,4)与y＝eq\f(3,2)x＋eq\f(3,2)联立，解得x＝－eq\f(3,8)，y＝eq\f(15,16)，∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G(－eq\f(3,8)，eq\f(15,16))．4．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋3＝0，,9a＋3b＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，))∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)存在．∵抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，∴点C的坐标为(0，3)，∵C(0，3)，B(3，0)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴过点O与BC平行的直线y＝－x，与抛物线的交点即为M，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x，,y＝－x2＋2x＋3，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3＋\r(21),2)，,y＝\f(－3－\r(21),2)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3－\r(21),2)，,y＝\f(－3＋\r(21),2)，))∴M1(eq\f(3＋\r(21),2)，eq\f(－3－\r(21),2))，M2(eq\f(3－\r(21),2)，eq\f(－3＋\r(21),2))；第4题解图(3)存在．如解图，设BP交y轴于点G.∵点D(2，m)在第一象限的抛物线上，∴当x＝2时，m＝－22＋2×2＋3＝3，∴点D的坐标为(2，3)，把x＝0代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，∴点C的坐标为(0，3)，∴CD∥x轴，CD＝2，∵点B(3，0)，∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∴∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°，又∵∠PBC＝∠DBC，BC＝BC，∴△CGB≌△CDB(ASA)，∴CG＝CD＝2.∴OG＝OC－CG＝1，∴点G的坐标为(0，1)，设直线BP的解析式为y＝kx＋1，将B(3，0)代入，得3k＋1＝0，解得k＝－eq\f(1,3)，∴直线BP的解析式为y＝－eq\f(1,3)x＋1，令－eq\f(1,3)x＋1＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－eq\f(2,3)，x2＝3，∵点P是抛物线对称轴x＝－eq\f(b,2a)＝1左侧的一点，即x＜1，∴x＝－eq\f(2,3)，把x＝－eq\f(2,3)代入抛物线y＝－x2＋2x＋3中，解得y＝eq\f(11,9)，∴当点P的坐标为(－eq\f(2,3)，eq\f(11,9))时，满足∠PBC＝∠DBC.类型三针对训练1．解：(1)在直线解析式y＝eq\f(1,2)x＋2中，令x＝0，得y＝2，∴C(0，2)．∵点C(0，2)，D(3，eq\f(7,2))在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2，,－9＋3b＋c＝\f(7,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(7,2)，,c＝2，))∴抛物线的解析式为y＝－x2＋eq\f(7,2)x＋2.图①图②第1题解图(2)∵PF∥OC，且以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，∴PF＝OC＝2，∴将直线y＝eq\f(1,2)x＋2沿y轴上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点即为所求，由解图①可以直观地看出，这样的交点有3个，将直线y＝eq\f(1,2)x＋2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y＝eq\f(1,2)x＋4，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋4，,y＝－x2＋\f(7,2)x＋2，))解得x1＝1，x2＝2；将直线y＝eq\f(1,2)x＋2沿y轴向下平行移2个单位，得到直线y＝eq\f(1,2)x，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,y＝－x2＋\f(7,2)x＋2，))解得x3＝eq\f(3＋\r(17),2)，x4＝eq\f(3－\r(17),2)(不舍题意，舍去)，∴m3＝eq\f(3＋\r(17),2)，∴当m的值为1或2或eq\f(3＋\r(17),2)时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．(3)存在．理由：设点P的横坐标为m，则P(m，－m2＋eq\f(7,2)m＋2)，F(m，eq\f(1,2)m＋2)如解图②所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM＝m，EM＝2，∴FM＝yF－EM＝eq\f(1,2)m，∴tan∠CFM＝2，在Rt△CFM中，由勾股定理，得CF＝eq\f(\r(5),2)m，过点P作PN⊥CD于点N，则PN＝FN·tan∠PFN＝FN·tan∠CFM＝2FN.∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，而PN＝2FN，∴FN＝CF＝eq\f(\r(5),2)m，PN＝2FN＝eq\r(5)m.在Rt△PFN中，由勾股定理，得PF＝eq\r(FN2＋PN2)＝eq\f(5,2)m.∵PF＝yP－yF＝(－m2＋eq\f(7,2)m＋2)－(eq\f(1,2)m＋2)＝－m2＋3m，∴－m2＋3m＝－eq\f(5,2)m，整理，得m2－eq\f(1,2)m＝0，解得m＝0(舍去)或m＝eq\f(1,2)，∴P(eq\f(1,2)，eq\f(7,2))；同理求得，另一点为P(eq\f(23,6)，eq\f(13,18))．∴符合条件的点P的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(7,2))或(eq\f(23,6)，eq\f(13,18))．2．解：(1)将点A和点B的坐标代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－b＋c＝0,9＋3b＋c＝0))，解得：b＝－2，c＝－3.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴M(1，－4)．把x＝0代入抛物线的解析式得：y＝－3，∴C(0，－3)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝0，,b＝－3，))解得：k＝1，b＝－3.∴直线BC的解析式为y＝x－3.把x＝1代入y＝x－3得y＝－2，∵平移后的抛物线的顶点坐标在△BOC的内部，∴－2＜－4＋m＜0，解得2＜m＜4.(3)当点P在点Q的上方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3.把y＝3代入抛物的解析式x2－2x－3＝3，解得：x＝1＋eq\r(7)或x＝1－eq\r(7).∴点P的坐标为(1＋eq\r(7)，3)或(1－eq\r(7)，3)．当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为－3.把y＝－3代入抛物的解析式x2－2x－3＝－3，解得：x＝2或x＝0(舍去)．∴点P的坐标为(2，－3)．综上所述，当点P的坐标为(1－eq\r(7)，3)或(1＋eq\r(7)，3)或(2，－3)时，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．3．解：(1)抛物线的顶点为(1，－4)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－4，把A(－1，0)代入，可得0＝a(－1－1)2－4，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4(或y＝x2－2x－3)；(2)设点P的横坐标是m，则P(m，m2－2m－3)，E(m，m－2)，F(m，0)，PE＝|yE－yP|＝|(m－2)－(m2－2m－3)|＝|－m2＋3m＋1|，EF＝|－m＋2|，由题意PE＝3EF，即：|－m2＋3m＋1|＝3|－m＋2|，①若－m2＋3m＋1＝3(－m＋2)，整理，得m2－6m＋5＝0，解得m＝1或m＝5，令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，∵点P在x轴下方，∴－1＜m＜3，∴m＝5不合题意，舍去，∴m＝1；②若－m2＋3m＋1＝－3(－m＋