第四章态和力学量的表象

第四章态和力学量的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。在前面，我们采用的表象是坐标表象，还可以用其它表象表示体系状态。在选定了一定的表象后，力学量算符用矩阵表示，算符的运算归结为矩阵的运算。因此，引入表象理论后的量子力学也称为矩阵力学。本章首先给出态、算符和量子力学公式的表象表示，以及它们在不同表象间的变换关系，并证明量子力学在幺正变换下的不变性。之后介绍文献中常见的狄拉克（Dirac）符号，最后在粒子数表象中重新讨论了线形谐振子问题。§4.1态的表象表示由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开（1）例如，动量的本征函数表示（2）组成完全系，任意波函数可以按展开为（3），展开系数由下式给出（4）.设已归一化，则容易证明也是归一化的，代表体系处于所描写的态中，发现粒子位置在范围内的几率；代表在该态下发现粒子动量在范围内的几率。和描写同一状态。我们称是这个状态在-表象（坐标表象）中的波函数；是同一状态在-表象（动量表象）中的波函数。动量表象中的波函数以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。在量子力学中，选定一组本征函数系作为基失，就称为选定了一个表象。这与三维空间中的坐标系类似。表象中的基矢与坐标系中的单位矢量一样具有正交归一完全性。所不同的是本征函数有多个，所以态矢量所在的空间是多维的函数空间。从前面的讨论可以看出，同一个态可以在不同的表象中用波函数来描写。例如，（3）式和（4）式都是描写粒子同一状态，（3）式是在坐标表象中描写，（4）式是在动量表象中的描写。如果选取能量的本征系函数系展开，可以得到能量表象中的波函数。这和几何中一个矢量可以在不同的坐标系中描写相类似。任一矢量可以在直角坐标系中用三个分量来描写，也可以在极坐标中用三个分量来描写等等。选取任意力学量的本征函数系做展开，可以得出任意表象中的波函数。下面我们来讨论任一波函数在任一力学量的表象中的表示。设具有分立的本征值谱，，……，……，相应的本征函数是…………。将任意波函数按的本征函数完全展开：（5），展开系数（6）.设和都是归一化的，则有==（7）=1.由此可见，是在所描写的态中测量力学量所得结果为的几率。数列与描写同一个状态。是态在表象中的波函数。为了描述方便，可以把写成一个列矩阵的形式，并用标记：（8）.的转置共轭矩阵是一个行矩阵，用标记；（9），则（7）式可写作（10））.（10）式是在表象中的归一化条件。例写出基矢在其自身表象中的矩阵表示。解：由（6）式，基矢在自身表象中的表示为，写成矩阵形式为.上式中利用了基矢的正交归一性.同理可得，，…….§4.2算符的表象表示在§4.1中我们讨论了态的表象表示，本节我们将讨论算符在各种表象中的表示。在坐标表象中，设算符作用于函数后，得出另一函数，记为（1），现在来看这个方程在表象中如何表达。设的分立本征值为，相应的本征函为。将与分别按展开：，；代入（1）式，得.（2）用左乘上式两边，再对遍及整个变化区域积分，得利用的正交归一性：，（2）式可写成（3）.引入符号：（4），则（3）式写成（5）.（5）式中，数列和分别是和在表象中的表示。是算符在表象中的表示。则（5）式即是在表象中的表述方程。这是一组方程，可用矩阵形式写出：（6）.所以算符在表象是一个矩阵，它的矩阵元是。（6）式也可以简记为（7）.将矩阵每一矩阵元取复共轭，而后行列转置，由此得到的矩阵称为的共轭矩阵，记为。若，则称为厄密矩阵。下面我们来证明厄密算符在表象中的矩阵是厄密矩阵。算符在表象中的矩阵元为，取其复数共轭，并考虑到量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，得，即，或。算符在自身表象中的矩阵表示有何形式呢？设是算符的本征函数，相应的本征值为，即，则在表象中，矩阵元为（8）.由此可见，算符在自身表象中的表示是一个对角矩阵:（9），（9）对角元为基本征值：（10）.因此，可以通过把算符的矩阵表示对角化求得该算符的本征值，这是一种非常重要的方法，以后还会看到。以上讨论中我们假定具有分立的本征值，如果具有连续分布的本征值，,其相应本征函为，则算符在表象中的表示为（11）.这仍是一个矩阵，只是矩阵的行列不再是可数的，而是用连续变化的下标来表示。（5）式相应变为（12）.求坐标算符及动量算符在坐标表象中的矩阵元。解：已知坐标算符的本征函数为，则在坐标表象中，算符的矩阵元为，动量算符的矩阵元.在坐标表象中，，其本征值为，本证函数为；，本征值为，相应本征函数为.例2．求坐标算符及动量算符在动量表象中的矩阵元。解：已知动量算符的本征函数为，在动量表象中，的矩阵元为.的矩阵元为.在动量表象中，其本征值为，相应本征函数为；，其本征值为，相应本征函为；任意力学量算符在动量表象中可表示为.§4.3量子力学公式的表象表示以前讨论的量子力学公式均是在坐标表象中给出的。本节讨论在任意力学量表象下，量子力学规律如何表示。这里设只有分立本征值谱，相应本征函数为。平均值公式坐标表象下，力学量在状态下的平均值为（1）.为给出（1）在表象中的表示，将波函数按的本征函数展开：（2），将（2）式代入（1）式，得，即（3）.上式即为在表象中的表示，其中是在表象中的表示，是算符在表象中的表示。（3）式可写成矩阵形式：，（4）或简记为薛定谔方程在坐标表象中，薛定谔方程形式为（5），将(2)式代入（5）式，得，以左乘上式两边，并对积分得（6）.式中是哈密顿算符在表象中的矩阵元，（6）式即为薛定谔方程在表象中的表示，写成矩阵形式：，或简记为（7）.本征值方程在表象中，算符的本征值方程为（8）.在表象中,算符表示为一矩阵，本征值不变，而波函数表示为一列矩阵，则在表象中，本征值方程可表示为如下矩阵形式：，或简化为（9）.（9）如何求解该方程呢？可将（9）式变形，将等号右边部分移至左边，得：（10），数学上该矩阵方程有非零解的条件是其系数行列式为零，即：（11）.方程（11）称为久期方程。求解久期方程可以得到一组值（一般的上述行列式是几维的，就有几个解）：，它们就是的本征值。就其中一个本征值代入方程（10）中，可解出一组本征矢（），或表成列矢：，，…，，….在波动力学中（即坐标表象下），求本征值和本征函数的问题归结为在初始条件和边界条件下求解微分方程（Schrödinger方程）的问题;而在矩阵力学中（即任意力学量表象下），求本征值和本征函数的问题简化为求解久期方程。两者方法是等价的，可以互相检验结果。例：设在某表象中，有力学量表示为如下矩阵形式：,（1）求表象中的本征值和本征函数系；（2）设有一状态波函数，由态计算的平均值。解：（1）设的本征值为，本征函在表象中的矩阵形式为.在表象中的本征方程为：，即（12）.久期方程为.由此可得，即的本征值有两个，分别为，.下面来求表象中的本征函数系，分两种情况：①当时，由（12）式可得，即由此可得，即与本征值对应的本征矢为.再由波函数的归一化条件，可得，即.所以.②当时，同理可得.（2）波函数不是归一化的，需将其进行归一化，设归一化常数为，则，即.由此可得.归一化的波函数形式为.的平均值为.§4.4表象变换与么正变换量子力学中的表象与几何学中的坐标相似，而本征函数系与坐标系的基矢相对应。在经典力学中为了简化计算，常需要进行坐标变换。同样在量子力学中讨论问题时，也常常需要从一个表象变化到另一个表象。量子力学中选用哪种表象取决于所讨论的问题，表象选取的适当可以使问题得讨论大大简化。本节讨论波函数和力学量从任意表象变换到表象的一般情况。基失的表象变换设算符的正交归一本征函数系为，算符的本征函数系为，将算符的第个本征函数按求本征函数系展开：（1），为展开数系，满足（2）（）.与两个指标有关，令（3），（4）则（1）式重新写为.矩阵称为变换矩阵：（5）.通过变换矩阵，可将表象的基矢变换为表象的基矢.下面我们来证明，矩阵是幺正矩阵，即。证明：，即，同理可证：，故（6）.由此看出，是幺正矩阵。由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换，所以由一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。波函数（态矢量）的表象变换将任意波函数分别按，表象的基矢展开为（7），.上式中（8），分别为在，表象中的表示。由（4）、（7）式可得，（9）即.这就是态矢从表象变换到表象的变换式。算符的表象变换力学量算符在，表象中的矩阵元分别为（10），.利用（4）式，有，（11）即.这就是力学量由表象变换到表象的变换式。幺正变换的性质幺正变换不改变算符的本征值设在表象中的本征值方程为.由（9）式及（11）式，在表象中，即.这是的本征值方程在表象中的矩阵表示，可见的本征值仍。实际上，本征值是实验上的测量值，是可观测量，与表象及表象变换无关。幺正变换不改变矩阵的迹矩阵的迹定义为矩阵对角元之和：.在幺正变换下，即幺正变换不改变矩阵的迹算符矩阵表示的对角化一般的，力学量算符在表象中的表示是为一个方阵，而在以自己的本征函数系为基失的表象（自身表象）中的表示为一对角矩阵，对角元为算符的本征值。由于表象变换不改变算符的本征值，所以求力学量算符的本征值问题就归结寻找一个幺正变换矩阵。将算符从原来的表象变换到自身表象，使的矩阵对角化。下面来讨论如何选取所求的幺正变换矩阵。设为所求的幺正变换，可使对角化，即，（12）或.式中的为对角矩阵，对角线上的元素是的本征值。（12）式写成矩阵形式为，式中的是的本征值。上式两边，即（13）.此矩阵方程为在原表象（表象）中矩阵的本征值方程表示（见§4.3节（9）式）由此可见，要使力学量算符对应的矩阵对角化，就是要构造一个幺正矩阵,这就要先求出在表象中的本征函数系（利用久期方程），然后把对应于不同本征值的列阵按列排好以构成幺正矩阵，则对角矩。例1：泡利矩阵在表象中的形式为，，.求：（1）从表象变换到表象的幺正矩阵；（2）利用阵将对角化后的矩阵；（3），阵在表象中的表示。解：（1）在表象中，的本征值与本征函为（见§4.3例题）：，；，.，与正交。于是幺正变换矩阵的形式为.（2）将对角化：，对角元为本征值。（3）、在表象中的表示分别为，.例2设矩阵和满足：。证明：在表象中写出的矩阵表示（设本征矢无简并）。（1）证明：由及可得.又由可得.（2）解：由（1）的结论可得或，为的两个本征值。所以在表象中.设在表象中矩阵的形式为，则由即可得即.再由，即可得由此确定.所以在表象中矩阵的形式为.§4.5狄拉克符号通过本章前面几节的讨论可知，态和力学量算符可在任意表象中表示出来，这与一个矢量可以在多个坐标系中表示相类似，经典力学的规律与所选用的坐标无关，所以在讨论问题时也可以不指明所用坐标系；同样，量子力学规律和所用的表象无关，在描写态和力学量时也可以不用具体表象，而是用一套符号抽象的表示波函数及算符，这套符号称为狄拉克符号，是狄拉克最先引用的，下面就来介绍狄拉克符号。左、右矢任意一个态矢量可用符号表示，称为右矢，如。由于波函数可以是复数，因此相应的态矢量是个复矢量，它的共轭态，记作，称为左矢，如。和表示同一态矢，并互为共轭态，即，。左、右矢符号用来描写态矢量,不涉及具体表象，我们称其为Dirac符号。在一些实际问题中，常用本征值（或相应量子数）标识在右矢内来表示相应本征态，如坐标本征态，本征值为，动量本征态，本征值为，或能量本征态，本征值为，与的共同本征态，本征值，的共同本征态，本征值为，.内积在同一表象中，和相应的分量的乘积之和称为与的内积，记作（1），显然（2）.若，为某一线性厄密算符对应于本征值和的本征态，将和分别记为和，则其正交归一条件为（3）.若为连续谱，例如在表象中，的本征函数的正交归一条件是（4），在表象中，的本征矢正交归一条件是（5）.如果一个内积的左矢为某力学量的第个本征态，而右矢为任意波函数，则该内积表示态在以为基失的表象（表象）中的表示。本征矢的封闭性力学量算符的本征函数系具有正交归一性，还具有完全性。任意状态波函数可按本征函数系展开：，展开系数.上两式用Dirac符号表示为（6），（7）.（8）将（7）式代入（6）式得，（9）由的任意性得.（9）式所表示的性质称为本征矢的封闭性，这是一个重要的公式，因为它是常数，可以插在公式的任何地方。例如，.如果是坐标表象，本征函数是连续谱的本征函数，封闭性可写成（10），而.上式中，表示在坐标表象中的表示，即。Dirac符号在具体表象中的表示设的本征值组成一分立谱，对应的本征矢量，则态矢在表象中的表示为。在表象下，两态矢的内积为.若为连续谱，如在坐标表象中则有.现在我们讨论算符如何用狄拉克符号表示。设算符作用在右矢上得到右矢，则可写为（11）.将上式写成表象中的表示，设为的基矢，以左乘上式，得（12），式中是算符在表象中的矩阵元。练习：利用Dirac符号，写出在态下，力学量在表象下的平均值公式。解：由均值公式可知.我们再来求（11）式的共轭式。以任意右矢右乘，则.上式中为的共轭矩阵，的第行第列矩阵元就等于的第行第列矩阵元的共轭复数。由的任意性，可以得到（13）.（13）式就是（11）式的共轭式。为的共轭算符，当是厄密算符时，。§4.6线性谐振子与粒子数表象在§2.7种我们讨论过一维线性谐振子的问题，求出其本征能量及定态波函数分别为，，.在本节我们将从另外的角度，用一种新方法重新讨论谐振子的能量本征值、本征态问题。粒子的产生与湮灭算符引入湮灭算符（1），其共轭算符又称产生算符的形式为（2）.利用的对易关系可以得出的对易关系：（3）.可以证明作用在谐振子哈密顿算符的第个本征态上时，满足如下关系：（4），（5）.用狄拉克符号可将（4）、（5）式写作（6），（7）.其中和都是谐振子哈密顿算符的本征矢，分别对应于本征值，和。由可知谐振子的能量只能以为单位改变，这个能量单位可以看成是一个粒子，本征态表示体系在这个态中有个粒子。（6）式说明算符的作用相当于把有个粒子的态变为有个粒子的态，所以将称为粒子的湮灭算符；而（7）式说明算符的作用相当于把有个粒子的态转变为有个粒子的态，固称其为粒子的产生算符。粒子数表象利用算符的定义式可得，；代入线性谐振子的哈密顿算符得到用表示的式子（8）.令（9），则有（10）.显然与对易则两者有共同的本征函数完全系，记为。以为基失的表象称为粒子数表象。算符称为粒子数算符，其本征值是粒子数，这可由（6）和（7）两式得出：（11）.在粒子数表象中的矩阵元由（11）式得出，，即（12）.这是一对角矩阵，行列式中行和列的顺序是按编排的。