空解精要(升华部分)序这个部分是空解的精华部分，与高代数分都有联系，关键在于你能否发现其中的玄机。我相信，当你看完以下的知识点时，一切都会水落石出。这部分的重点有：柱而，锥而，旋转曲面，二次曲而及其一般线性理论，还有参数方程。*注意：这部分的知识点如果不涉及度量问
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，那么在仿射坐标系下也成立。一.最完美二次曲面一球而定义：在三维线性空间中，我们把到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面，这个定点叫球心。球心到球而的任何点的距离叫做半径。球而的方程：以点(心)b,z°为球心，R为半径的球面
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方程为(x-xoA+(y-yoA+(z_Zo)2=R2这是一个二次曲面，它的一般形式为22x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=O命题1:用一个平面去截取球面，得到的截面是一个圆。命题2：如果一个平面与球面相切，那么切点与球心的连线垂直于该平面切而的求法：根据数学
分析
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里面的求偏导数来做，无需刻意记住二次曲而一般理论中的公式。柱面的锥面（一）?柱面1.定义：由平行于某一定方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲而叫做柱面，定曲线叫做准线，平行直线中的每条都叫（直）母线，定方向是直母线的方向，也叫柱面方向。2.柱而方程的构造从定义中可以看出，柱面的存在由准线和母线族决定，如果确定了准线的方程和母线的方向，那么就可以得出柱面的方程。如果已知准线方程为F（x,y,z）=0G（x,y,z）=母线方向为（l,m,n）于是，假设一点A3」山）在柱面上，这里假设的R是准线与母线的交点，而母线的位置具有任意性，于是将准线和母线联立就可以取遍所有的母线，也就是柱面的方程兀一为Z—勺/mnFCV“Zi）=O&（心”心）=0从中消去心牙心，得到的就是柱面方程。特别地，准线是圆，椭圆，双曲线，抛物线的柱而分别叫做圆柱而，椭圆柱而，双曲柱而，抛物柱而。例题1:设柱面准线方程为f+)广=z<2x-z=0母线方向为为（-2,1,0）,求柱而方程解：设斥（心儿和为准线与母线的交点，于是，”2+昇=勺（*）2西-勺=0过A的母线为-201令这个等式的值为t,得母线的参数方程x=x{-2t,y=yi,z=Z丨+t得X]=兀+2人必=”石二乙一『，代入（*），得(x+2/)+)，=z_/2x-z+5r=0消去t,得柱面方程为+25y2+4z2+4xz-10x-20z=0这是解决柱面方程题目的常规方法。如果准线是圆，那么柱面就是圆柱面，这个可以用后而的旋转曲面来解决。（二）锥面1■定义：过定点且与一条（不过定点的）定曲线相交的一族直线组成的曲而叫做锥面，定点叫做顶点，定曲而叫做锥而的准线，这族共点直线中的每条直线都叫母线。X■2.锥而方程的构造同理于柱面，锥面由准线和定点确定，由母线族生成。于是只要能够遍取所有的母线就行，所以，设P\XM）是准线与母线的交点，顶点疏心儿,心）也在过A的母线上，于是由直线的两点式方程可以确定该母线方程为—心_『一儿_Z-Zo州一忑力一凡勺一％再把烈召」心）代入准线方程，得F(xpypz,)
表
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示以点（无，儿，z（））为顶点的锥面。由此可以看出，平面就是一种特殊的锥面！例题2:己知锥面顶点为（3,-2），准线为x2+y2-z2=\,x-y+z=O,求该锥面方程。解：设斥(舛亠zj是准线上一点，连接A与顶点(3厂1厂2)的母线为x-3_y_3_z_3州一3>')—3Z]—3将这个等式的值记为〉得兀］=3+心_3)y}=一1+心+1),①石=—2+f(z+2)代入心X忆到准线方程中，满足②.齐_开+召=°联立①?,消去t,得3(x—3)~—5(y+1)~+7(z+2)~—6(x—3)(y+1)+10(x_3)(z_2)_2(y+l)(z+2)=0即为所求锥面方程。.旋转曲面一)一般旋转曲面的构造定义：一条曲线绕一条直线旋转一周所产生的曲面叫做旋转曲面，曲线叫做旋转曲面的母线，直线叫做轴。由于，母线上任意一点绕轴旋转都是一个圆，这个圆也叫纬圆或纬线。其中与纬圆相对垂直的母线也叫经线命题：经线可以作为母线，但母线不一定为经线假设母线（或经线）方程为,母线上有一点旋转曲面方程的构造A（心儿zj轴1经过仇（心y%）,方向向量0=（乙加加，假设还有一点P（x,y,z）与A在同一纬圆上。于是有（X—xo）2+（y-yo）2+（z〜ZQ）~=（xk—xo）2+（＞'|-yo）〜+（石一z°〜/（X-X|）+〃心一”）+〃（乙一？）=oF（W召）=°GyJMj=O从中消去心，得到的就是旋转曲面的方程。例题3:求直线=J=|绕直线x于z旋转所得的旋转曲面方程。解：在母线AL=2=|上任取一点恥“必），在轴上取（0,0,0）,所以过片的纬圆方程为[?（X—坷）+1?（〉，一”）+l?（z—zj=o<。丁2*>2ox-+y-+z〜=x〜+y[+z;将片代入经线方程，得鱼二A222A2+y+z122经纬己经确定，于是从上面等式中消去召石，得(x4-y+z4-4)2+—(x+y+z-l)22525即为所求（二）绕坐标轴旋转1.旋转定律一般地，坐标平而上的曲线绕此平而上的一条坐标轴旋转，其旋转曲面方程按下列方式写出：对于曲线在坐标面上的方程，保留与旋转轴同名的坐标，而其他两个坐标平方和的平方根代替方程中的另一坐标。2.椭球而y2z2设椭圆方程为r:kr+a=1,绕y轴旋转，贝IJx=O不要管x,保留y,将z换成何了，则得到的椭球面方程为匚+心三=1b~a~请根据规律，写出绕Z轴旋转的结果双曲面J■yzt将双曲线r：hrv=1绕z轴旋转所得的旋转曲面为x=0■这里出现一个负号，所以是单叶双曲面。b"当绕y轴旋转时，得到的是三+可c~b~c~这里有两个负号，判定为双叶双曲面。抛物面抛物面有两种形式，一是椭圆抛物而，而是双曲抛物而。椭圆抛物面的标准形式为｛+可Gcrb~其中，x,y,z的位置不定。这个等式左边是椭圆方程的一部分，右边是抛物线方程的一部分，所以叫椭圆抛物而。它的构造在于先将抛物线旋转得到旋转抛物面，然后做伸缩变换，把纬圆变成椭圆如图，在椭圆抛物面中，沿Z轴方向看是抛物线，于是关于Z是一次项；俯视xOy平面可看到的是椭圆，所以方程中关于x和y的项是二次项。通过这个规律可以判定图像的大致形态。性质：当平面沿纬线方向切割椭圆抛物面时，截线是一个椭圆，与椭圆抛物面斜交时，可能岀现圆。无论是圆还是椭圆，中心总在对称轴上，也在对称平面上。双曲抛物面的标准形式为4-a=2z,这个图像由于a-b~像马鞍一样，所以又叫马鞍面。其中，原点是鞍点，它的图形在坐标系的分布与椭圆抛物而完全类似。三）二次直纹曲面1.定义：所谓直纹曲面，就是指能够由直线生成的曲面。2.常见的二次直纹曲面：单叶双曲而，双曲抛物面3.析因式法所谓的析因式法，就是把曲面的方程通过因式分解，从而求出生成直线族。很明显，单叶双曲面和双曲抛物而都有两族直母线。4.单叶双曲面两族直母线的性质⑴对于单叶双曲而上的每一点，两族直母线中各有唯一的一条直母线通过该点；⑵异族的任意两条直母线共而；⑶同族的任意两条直母线是异而直线；⑷两族直母线无公共直线.5.双曲抛物而两族直母线的性质⑴对于双曲抛物而的任意点，两族直母线中各有一条直母线经过这一点；⑵任意两条异族直母线都相交；⑶两族直母线中无公共直线；⑷同族任意两条直母线异面；⑸同族中所有直母线必平行于同一平而;例题4:求单叶双曲面上过P(2,1,3)的两条直母线。解：(析因式法)根据平法差公式分解因式得到两族直母线分别为=?(i+y)"1T+T=〃2(1_刃I/3丿Xf~fj=/A(i+刃把点p的坐标代入，人：人=1,“=于是过p点的两族直母线的方程分别为x'zn，————=U23化简后即为所求附：对于双曲抛物而的析因式，采用如下分法若方程为务一話二2z,分解为这就是双曲抛物线的两族直母线四.二次曲而的一般理论（一）判断曲面类型（回顾二次型与矩阵）对于一般形式的二次曲而2F（x、y,z）=+a22y+r/33z2+2a]2xyA+2aexz+2a2syz记中问的矩阵为A,称为二次曲面的矩阵；二次部分的矩阵为记才，称为二次矩阵。当判断一个一般形式的曲面时，通过非退化线性替换把二次曲而的矩阵变成标准型或者
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形，然后写出方程，这个时候就可以得出曲面到底是什么了。（二）主方向，特征方程，特征根在这里明确一下，不要去寻找他们的几何意义，因为目前城主也没找出他们的意义。不过可以确定的是：特征方程就是高代里面的特征多项式，特征根就是特征值，特征根对应的主方向就是指特征值对应的特征向量。接下来复习下线性变换的特征矩阵！‘3-20、例题5:求“二-13-1的特征值（特征根）和特「57—1丿征向量（主方向）。2-320解答：令AE-A\=12-31=05-72+1得（A-1X/1-2）2=O所以，特征值为1和2（二重根）属于1的特征向量是20丫《？1-21y=0的非零解，即（5-72几丿0a=k(l,l,I)（TX1y02■1■7)的非零解，属于2的特征向量是,11、5b=h主方向为2:1:-1于是，遇到求特征根与主方向的时候，可以完全按照线性变换来求！在这里，特征根有一下性质：二次曲而的三个特征根都是实数；二次曲而的三个特征根不全为0；不同特征根对应的主方向一定互相垂直；对于任意二次曲而，至少存在3个两两垂直的主方向（三）中心和径面1.渐进方向:满足（x,r,zKy=o的方向x:Y:z叫做二次曲面的渐进方向，否则叫做非渐进方向。注意与主方向区别开。2.中心二次曲面的中心是方程组Fx(x,y.z)=anx+al2y+al3z+au=0<人2(x,y.z)=ai2X+a22y+a^z+a24=0F、(x,y9z)=al3x+a23y+a33z+&=0的解，该方程组叫做中心方程组.这是一个非齐次线性方程组，它有解的充要条件是：系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。于是：当秩都为3时，只有唯一解，这时曲而叫中心二次曲面。当秩都为2时，相当于只有两个方程，组成直线的一般方程，于是解可以形成一条直线，称为线心二次曲面。当秩都是1时，相当于只有一个方程，很显然是个平面，这时，称为面心二次曲面。当两矩阵的秩不等时，方程无解，曲面没有中心，称为无心二次曲面3.奇异方向如果二次曲而的渐进方向满足X:Y:Z满足‘X、AY=0那么这个渐进方向叫做奇异方向，简称奇向。命题：二次曲面有奇向的充要条件是二次矩阵的行列式为0,只有中心二次曲面无奇向。径面：二次曲面沿非渐进方向X:Y:Z的所有平行弦的中点所在的平面叫做二次曲面共觇于方向X:Y:Z的径面」如果径面垂直于共觇方向，那么这个径面叫做主径面。径面方程为：(x,y,Z)+rr(A-,y,z)+ZF(x,y,z)=0命题：二次曲面至少有一个主径面。例题6：求二次曲面x2+y2+5z2-6xy-2xz+2yz-6x+6y—6乙+10=0的主方向和主径面。解：二次曲而的矩阵为‘1-3-1-3、-3113A=-115-3-33-310,解得特征根为6,3,-2通过计算，属于6的主方向为-1:1:2,共觇的主径面为-x+y+2z=0;属于3的主方向为共觇的主径面为X-y+z-3=0;属于-2的主方向为1:1:0,共辘的主径而为X+y二0.4.切线和切平面这个可以完全按照数学分析中的球偏导方法来求解！这里就不必再用一般理论来求了。后记学已至此，城主该讲的己经讲完了，相信大家已经看岀其中的奥妙。凭借这个，我认为，秒杀空解己经不在话下。只要大家有一颗探索的心，甘于为探索付出代价，那么没有什么能难得到自己！谢谢！
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