1．下列数列是等比数列的是( )A．1,1,1,1,1 B．0,0,0，…C．0，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…D．－1，－1,1，－1，…
答案
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：A2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q等于( )A．－eq\f(1,2)B．－2C．2D.eq\f(1,2)答案：D3．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．答案：4054．在等比数列{an}中，(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5；(2)已知a1＝eq\f(9,8)，an＝eq\f(1,3)，q＝eq\f(2,3)，求n.解：(1)∵a6＝a3q3，∴q3＝27，∴q＝3.∴a5＝a6·eq\f(1,3)＝81.(2)∵an＝a1qn－1，∴eq\f(1,3)＝eq\f(9,8)·(eq\f(2,3))n－1.∴(eq\f(2,3))n－1＝(eq\f(2,3))3，∴n＝4.一、选择
题
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1．等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于( )A．6B．3×2n－1C．2×3n－1D．6n答案：C2．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为( )A.eq\f(3,2)·2nB.eq\f(3,2)·2n－2C．3·2n－2D．3·2n－1解析：选C.∵q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(24,3)＝8，∴q＝2，而a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(3,2)，∴an＝eq\f(3,2)×2n－1＝3·2n－2.3．等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a3－a1＝16，则a3等于( )A．20B．18C．10D．8解析：选B.设公比为q(q≠1)，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝8，a3－a1＝a1(q2－1)＝16，两式相除得：eq\f(1,q－1)＝eq\f(1,2)，解得q＝3.又∵a1(1＋q)＝8，∴a1＝2，∴a3＝a1q2＝2×32＝18.4．(2010年高考江西卷)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝( )A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n解析：选A.∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0，∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1.5．下列四个命题中正确的是( )A．公比q＞1的等比数列的各项都大于1B．公比q＜0的等比数列是递减数列C．常数列是公比为1的等比数列D．{lg2n}是等差数列而不是等比数列解析：选D.A错，a1＝－1，q＝2，数列各项均负．B错，a1＝1，q＝－1，是摆动数列．C错，常数列中0,0,0，…，不是等比数列．lg2n＝nlg2，是首项为lg2，公差为lg2的等差数列，故选D.6．等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )A．±4B．4C．±eq\f(1,4)D.eq\f(1,4)解析：选A.由an＝eq\f(1,8)·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4.二、填空题7．若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________．解析：由于x,2x＋2,3x＋3成等比数列，∴eq\f(2x＋2,x)＝eq\f(3x＋3,2x＋2)＝eq\f(3,2)且x≠－1,0.∴2(2x＋2)＝3x，∴x＝－4.答案：－48．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝__________；若an＝an＋3，则公比q＝__________.解析：∵an＋2＝an，∴anq2＝an，∴q＝±1；∵an＝an＋3，∴an＝anq3，∴q＝1.答案：±1 19．等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式为an＝________.解析：a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384.两式相比得q7＝128，∴q＝2，∴a1＝eq\f(3,4).an＝a1qn－1＝eq\f(3,4)×2n－1＝3·2n－3.答案：3·2n－3三、解答题10．已知数列{an}满足：lgan＝3n＋5，求证：{an}是等比数列．证明：由lgan＝3n＋5，得an＝103n＋5，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(103n＋1＋5,103n＋5)＝1000＝常数．∴{an}是等比数列．11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝eq\f(20,3)，求{an}的通项公式．解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝eq\f(a3,q)＝eq\f(2,q)，a4＝a3q＝2q，∴eq\f(2,q)＋2q＝eq\f(20,3).解得q1＝eq\f(1,3)，q2＝3.当q＝eq\f(1,3)时，a1＝18，∴an＝18×(eq\f(1,3))n－1＝2×33－n.当q＝3时，a1＝eq\f(2,9)，∴an＝eq\f(2,9)×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝eq\f(1,3)时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.12．一个等比数列的前三项依次是a,2a＋2,3a＋3，则－13eq\f(1,2)是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：∵a,2a＋2,3a＋3是等比数列的前三项，∴a(3a＋3)＝(2a＋2)2.解得a＝－1，或a＝－4.当a＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0，与等比数列定义矛盾，故a＝－1舍去．当a＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，则公比为q＝eq\f(3,2)，∴an＝－4(eq\f(3,2))n－1，令－4(eq\f(3,2))n－1＝－13eq\f(1,2)，即(eq\f(3,2))n－1＝eq\f(27,8)＝(eq\f(3,2))3，∴n－1＝3，即n＝4，∴－13eq\f(1,2)是这个数列中的第4项．
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