电磁学梁灿彬习题选解

电磁学习题解答1．2．2两个同号点电荷所带电荷量之和为Q。在两者距离一定的前提下，它们带电荷量各为多少时相互作用力最大？解答：设一个点电荷的电荷量为，另一个点电荷的电荷量为，两者距离为r，则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为令力F对电荷量q的一队导数为零，即得即取时力F为极值，而故当时，F取最大值。1．2．3两个相距为L的点电荷所带电荷量分别为2q和q，将第三个点电荷放在何处时，它所受的合力为零？解答：要求第三个电荷Q所受的合力为零，只可能放在两个电荷的连线中间，设它与电荷q的距离为了x，如图1.2.3所示。电荷Q所受的两个电场力方向相反，但大小相等，即LxL-xqQ2q得舍去的解，得1．3．8解答:（1）先求竖直无限长段带电线在O点产生的场强，由习题1.3.7（2）可知仿习题1.3.7解答过程，得故同理，水平无限长段带电线在O点产生的场强对于圆弧段带电线在O点产生的场强，参看图1.3.8（b），得同理得故解得（2）利用（1）中的结论，参看习题1.3.8图（b），的带电直线在O点的场强为的带电直线在O点产生的场强为根据对称性，圆弧带电线在O点产生的场强仅有x分量，即故带电线在O点产生的总场强为1．3．9解答:yxzyxO(b)(a)在圆柱上取一弧长为、长为z的细条，如图（a）中阴影部分所示，细条所带电荷量为，所以带电细条的线密度与面密度的关系为由习题1.3.7知无限长带电线在距轴线R处产生的场强为图（b）为俯视图，根据对称性，无限长带电圆柱面轴线上的场强仅有x分量，即1．4．5解答：如图所示的是该平板的俯视图，OO′是与板面平行的对称平面。设体密度，根据对称性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 知，在对称面两侧等距离处的场强大小相等，方向均垂直于该对称面且背离该面。过板内任一点P，并以面OO′为中心作一厚度、左右面积为S的长方体，长方体6个表面作为高斯面，它所包围的电荷量为，根据高斯定理。前、后、上、下四个面的通量为0，而在两个对称面S上的电场的大小相等，因此考虑电场的方向，求得板内场强为式中：x为场点坐标用同样的方法，以面为对称面，作一厚度为、左右面积为S的长方体，长方体6个表面作为高斯面，它所包围的电荷量为，根据高斯定理前、后、上、下四个面的通量为0，而在两个对称面S上的电场的大小相等，因此考虑电场的方向，得1．4．8解答:(1)图1.4.8为所挖的空腔，T点为空腔中任意一点，空腔中电荷分布可看作电荷体密度为的实心均匀带电球在偏心位置处加上一个电荷体密度为的实心均匀带电球的叠加结果，因此，空腔中任意点T的场强应等于电荷体密度为的均匀带电球在T点产生场强与电荷体密度为的均匀带电球在T点产生场强的叠加结果。而与均可利用高斯定理求得，即式中：为从大球圆心O指向T点的矢径；从小球圆心指向T点的矢径。空腔中任意点T的场强为因T点为空腔中任意一点，为一常矢量，故空腔内为一均匀电场。（2）M点为大球外一点，根据叠加原理P点为大球内一点，根据叠加原理，求得1．4．9解答：在均匀带电的无限长圆柱体内作一同轴半径为、长为L的小圆柱体，如图1.4.9（a）所示，小圆柱面包围的电荷量为由高斯定理根据对称性，电场仅有径向分量，因此，圆柱面的上、下底面的通量为0，仅有侧面的通量，则解得柱体内场强在均匀带电的无限长圆体外作一同轴半径为、长为L的小圆柱体（未画出），小圆柱包围的电荷量为解得柱体外场强柱内外的场强的-r曲线如图1.4.9（b）所示1．4．10解答：(1)作半径为、长为L的共轴圆柱面，图（a）为位于两个圆柱面间的圆柱面，其表面包围的电荷量为根据对称性，电场仅有径向分量，因此，圆柱面的上、下底面的通量为0，仅有侧面的通量，则在的区域II内，利用高斯定理有解得区域II内的场强同理，可求得的区域I中的场强在的区域III中的场强(2)若，有各区域的场强的E—r曲线如图(b)所示。1．5．2 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：（1）在图1.5.2中，以平行电场线为轴线的柱面和面积均为S的两个垂直电场线面元S1、S2形成一闭合的高斯面。面元S1和S2上的场强分别为和，根据高斯定理，得证得说明沿着场线方向不同处的场强相等。（2）在（1）所得的结论基础上，在图1.5.2中作一矩形环路路径，在不同场线上的场强分别为和，根据高斯定理得证得说明垂直场线方向不同处的场强相等。从而证得在无电荷的空间中，凡是电场线都是平行连续（不间断）直线的地方，电场强度的大小处处相等。1．6．4证明：由高斯定理求得距球心r处的P点的电场为：，求得离球心r处的P点的电势为1．6．5解答:（1）根据电势的定义，III区的电势为II区的电势为I区的电势为（2）当时，，代入（1）中三个区域中的电势的表达式，求得，，V-r曲线如图1.6.5（a）所示当时，代入（1）中三个区域的电势的表达式，求得，，V—r曲线如图所示。1．6．6解答：均匀电荷密度为的实心大球的电荷量，挖去空腔对应小球的电荷量，电荷密度为的大球在M点的电势为电荷密度为-的小球在M点的电势为M点的电势为电荷密度为的大球在P点的电势为电荷密度为-的小球在P点的电势为P点的电势为电荷密度为的大球在O点的电势为电荷密度为-的小球在O点的电势为O点的电势为电荷密度为的大球在O′点的电势为电荷密度为-的小球在O′点的电势为O′点的电势为2．1．1解答：建立球坐标系，如图所示，球表面上的小面元面积为式中：为除了面元dS外其他电荷在dS所在处产生的场强。以z=0平面为界，导体右半球的电荷为正，导体左半球的电荷为负，根据对称性，面元所受力垂直于z轴的分量将被抵消，因而，只需计算面元dS所受的电场力的z分量，即将（1）式代入（4）式，对右半球积分，注意积分上下限，得左半球所受的力为2．1．4解答：解：由左至右各板表面的电荷密度，利用静电平衡条件列方程得：（无限大平行金属板）解得：∴将B板接地：（σ4=0）∴2．2．1解答：由于电荷q放在空腔的中心，在导体壳内壁的感应电荷-q及壳外壁的电荷q在球壳内、外壁上均匀分布，这些感应电荷在球腔内产生的合场强为0；壳内电荷与球壳内壁电荷在壳外产生的合场强为0，因此，壳内、壳外的电场表达式相同，距球心为r处的场强均表示为距球心为处电势为在导体球壳内场强和电势分别为球壳外的电场由壳外壁电荷激发，壳外的电势为场强大小E和电势V的分布如图所示。2．2．2解答：球形金属腔内壁感应电荷的电荷量为-q，由于点电荷q位于偏心位置，所以腔内壁电荷面密度分布不均匀，球形金属腔外壁的电荷量为，腔外壁电荷面密度均匀分布，根据电势叠加原理，O点的电势为2．3．2解答：（1）平行放置一厚度为t的中性金属板D后，在金属板上、下将出现等值异号的感应电荷，电场仅在电容器极板与金属板之间，设电荷面密度为，电场为A、B间电压为A、B间电容C为（2）金属板离极板的远近对电容C没有影响（3）设未放金属板时电容器的电容为放金属板后，板间空气厚度为此时电容器的电容为由于A、B不与外电路连接，电荷量不变，此时A、B间电压为2．3．5解答：（1）按图中各电容器的电容值，知C、D间电容为其等效电路如图（a）所示，E、F间电容为同理，其等效电路如图(b)所示，A、B间电容为(2)A、B间的电势差为900V，等效电容上的电荷量为由图(b)可见，与A、B相接的两个电容器的电荷量与相同，亦为。（3）由图(b)可见，因3个电容器的电容值相等，故E、F间电压为又由图（a）可见，E、F间电压亦加在3个电容值相等的电容器上，所以2．3．7解答：方法一：各个电容器的标号如图所示，设，则有在A、B、D、E4个连接点列出独立的3个电荷量的方程3个电压的方程由（1）、（3）两式得由（4）、（5）两式得由（7）、（8）式得将（1）、（9）两式代入（5）式，得按电容器定义，有方法二：因题中C1、C3、C4、C5均为4，所以据对称性C2上的电荷为零()。C4与C3串联得：C1与C5串联得：∴2．5．1解答：串联时，两电容器的电荷量相同，电能之比为并联时，两电容器的电压相同，电能之比为3．2．3解答：（1）偶极子所受的力矩大小为最大力矩为时（2）偶极子从不受力矩的方向转到受最大力矩的方向，即从0到，电场力所做的功为3．4．1解答：图为均匀介质圆板的正视图，因圆板被均匀极化，故只有在介质圆板边缘上有极化面电荷，弧长为，厚度为的面元面积为，在α处的极化面电荷密度为根据对称性，极化电荷在圆板中心产生的电场强度只存在分量，位于α处的极化电荷在圆板中心产生的电场强度的分量为全部极化面电荷在圆板中心产生的电场强度大小为将电场强度写为矢量：3．4．5解答：（1）根据电容器的定义并代入数据，得（2）金属板内壁的自由电荷（绝对值）为（3）放入电介质后，电压降至时电容C为（4）两板间的原电场强度大小为（5）放入电介质后的电场强度大小（6）电介质与金属板交界面上的极化电荷的绝对值为，因极化电荷与自由电荷反号，有而（7）电介质的相对介电常数为3．4．6解答：空腔面的法线取外法线方向单位矢，建立直角坐标系，为矢径R与z轴的夹角，球面上的极化电荷面密度为由上式知，紧贴球形空腔表面介质上的极化电荷面密度是不均匀的，极化电荷面密度左侧为正，右侧为负，球面上坐标为（）处的面元面积为该面元上的极化电荷量为带电面元在球心处激发的电场强度方向由源点指向场点，用单位矢表示根据对称性，极化电荷在球心的场强的方向沿z轴方向，故只需计算场强的z分量，即因故得3．5．1解答：因导体板上内表面均匀分布自由电荷，取上导体板的法线方向指向下方，即有在介质1板中，有在介质2板中，有如图所示，贴近上导体板处的极化电荷面密度为贴近下导体板处的极化电荷面密度为两介质板间的极化电荷面密度为或3．5．3解答：（1）介质板用“2”标记，其余空气空间用“1”标记，单位矢方向为由高电势指向低电势，两极板间电势差（绝对值）为（1）无论在空间1还是在2，电位移矢量相等，故有得(2)将（2）式代入（1）式得写成矢量解得（2）因，故极板上自由电荷的电荷量（绝对值）为（3）极板和介质间隙中（空气中）的场强，故（4）电容为3．5．9解答：（1）以r为半径，长度为一个单位，作一与导线同轴的圆柱体，圆柱体的表面作为高斯面，求得介质中的电位移矢量为电场强度为极化强度矢量为（2）两极的电势差U为（3）在半径与处，介表面表的极化电荷面密度分别为3．7．1解答：有玻璃板时，电容器电容为将玻璃板移开后，电容器电容为（1）电容器一直与直流电源相接时，电压U不变。未抽出玻璃板时电容器的能量为抽出玻璃板后电容器的能量为二者之比（2）用直流电源给电容器充电后，先断开电源再抽出玻璃板，电荷量不变，故二者之比3．7．2解答：距球心r处的电位移矢量和电场强度分别为，电介质内任一点的能量密度为4．4．7解答：因的支路被导线短路，故加在电阻与串联的电路两端电压就是电池的端电压，因电池的负极接地，A点的电势为从图中，的负极及的正极接地，故。4．4．9解答：设图中电池电动，。因为含电容的电路没有电流通过，所以如图所示的正方形电路为无分支电路，对照此电路图的电动势和电阻的数值，求得电流电势：3个电容器组成的电路如图所示，得此外代入数据，解得：4．5．2解答：图中设定：，选定中间支路电流的正方向由B指向A，设两个电池极板均匀左正右负，电势和的“正方向”就是由负极指向正极，设两个网孔的闭合电路的环行方向为逆时针方向，列出节点议程和回路方程代入数据，解得与设定的电动势力的正方向相比，知电池与的极性均为左正右负。4．5．3解答：（1）对照附图，令对外环回路取逆时针绕行方向，电流为设右端节点为C，则（2）选定流过的电流正方向由右至左，流过的电流与流过的电流正方向由左至右，两个网孔闭合电路的绕行方向为逆时针方向，列出节点方程和回路方程联立解得：4．5．5解答：已知附图中各电源内阻为零，A、B两点电势相等，求电阻R。在图4．5．5中给各电阻标号及设定电流的正方向。列出节点方程B两点左侧的支路有关系B、A两点右侧的支路有关系已知，代入数据，解得：因为电路中3个电阻并联，其等效电阻为R//，而解得：R//与3个电阻的关系为代入数据，解得：5．2．3解答：（a）因为两直长载流导线延长线均通过圆心，所以对O点的磁场没有贡献，故只需考虑两个圆弧载流导线在O点产生的磁场，它们所激发的磁场分别为和，方向均垂直纸面向里，故O点的合磁场大小为方向均垂直纸面向里。（b）两延长线的直长载流导线对O点的磁场没有贡献，只需考虑两长度为b的直长载流导线对O点的磁场、和圆弧载流导线对O噗的磁场，方向均垂直纸面向里，其合磁场大小为方向均垂直纸面向里。5．2．12解答：如图所示，圆柱形薄导体管，在处，沿轴向（z轴）割一无限长缝，管壁上均匀地通有沿z轴方向，面密度为a的电流，这样的电流分布可看作一封闭的圆柱薄导体管，管壁上均匀地通有沿z轴方向流有电流面密度为-a的电流，这两部分电流在轴线上激发的磁场分别用和表示，因，两部分电流在轴线上激发的合磁场为5．2．14解答：图为附图的俯视图，在导体薄板上沿z轴方向取一宽度为的窄条，在其上流动的电流大小为它在重面上距导体薄板处产生的磁场大小为根据对称性，总磁场仅有分量，而总磁场为解答：如图所示，圆环面积为，圆环所带电荷量为球面旋转速度为球面对应的电流大小为电流在球心激发的磁场大小为方向沿轴向，与旋转角速度一致。5．3．2解答：左右侧电流I在长方形框架产生的磁通量分别为与，设框架面积的法线方向取垂直纸面向里，因，则有框架的磁通量为5．4．1解答：由于磁场的对称性分布，可用安培环路定理求解。（1）在，设以r为半径的圆面积为，穿过该面的电流为，由培环路定理B1、B2、B3的方向与电流成右手关系。5．4．4解答：根据对称性，空间各点的磁场B的方向平行面且仅有分量，在空间B沿轴的负方向；在空间B沿轴的负方向；在空间B沿轴的正方向。图5.4.4为俯视图，（1）求板内磁场B内：在板内以y=0平面为对称面，距此面相同距离作平行面的逆时针方向的矩形路径，如图5.4.4(a)所示，通过此路径包围面积（阴影部分）的电流根据安培环路定理解得考虑B内的方向有（2）求板外磁场B外：在板外以平面为对称面，距此面相同距离作平行面的逆时针方向的矩形路径，如图5.4.4(a)所示，通过此路径包围面积的电流根据安培环路安理解得考虑的方向，有由此可见，厚度为2d的无限大导体平板均匀流过电流时，板风磁场的大小与对称面的距离成正比，板外磁场的大小为常量（均匀磁场），其x分量如图5.4.45．6．2证明一：建立直角坐系，坐标原点O与A点重合，X轴沿AC方向，如图5.6.2所示，设，在弯曲导线ADC上取一元dl，设其上的电流为I，它在磁场B中受的安培力为式中弯曲导线ACD在磁场B中受的安培力的x分量与y分量分别为证法二：作平行于AC、相距的两条直线，与导线ADC的两端相交得圆弧和二者所受的安培力在的方向的投影分别为说有载流圆弧和所受安培力在方向的分力数值相等方向相反，在不同位置作平行于AC，相距的两条直线，与导线ADC的不同位置相交得元圆弧和，导线ACD所受的磁场力方向的投影应是各元圆弧和所受方向的分力的矢量和即磁场力合力在方向为0。和二者所受的安培力在方向的投影分别为在不同位置作平行于AC、相距的两条直线，与导线ADC的不同位置相交得元圆弧和，导线ADC所受的磁场力方向的投影应是各元圆弧和所受方向的分力的矢量和此力与载流直导线AC所受的磁场力相等。5．6．4解答：线框可动的部分的MN段和PQ段所受的安培力平行转轴，且方向相反，故不提供对线框转轴的力矩。只有NP段受安培力对线框提供绕转轴转动的力矩。设NP段重心到轴的矢径为a，则由图5．6．4可见，磁力矩式中：中为垂直纸面向外，顺时针转动力矩的单位矢。设MN段PQ段的合质量为m1，NP段的质量为m2，MNPQ段所受的重力矩5．6．9解答（1）面积为S的线圈上的力矩大小为当线圈法线与磁场B的夹角为时，力矩最大，即（2）当夹角为时，力矩大小为即6．2．2解答：在任一瞬时，两个正方形电路中的电动势的方向相反，故电路的总电动势的绝对值为因回路单位长度的电阻，故回路电阻为回路中感应电流的最大值为6．2．3解答：（1）满足条件下，载流大线圈在面积为S的小线圈的磁通量为（2）小线圈的感应电动势（绝对值）为若时，小线圈内感应电流与大线圈的电流的方向相同6．3．2解答：当金属杆以速度运动时，杆上有电动势，附图的等效图电路如图6.3.2所示，杆中的电流大小为6．3．7解答：（1）线圈上一元段的电动势为由图6.3.7得AM间的电动势为AC间的电动势为（2）A、C间的电势差为A、M间的电势差为所以M点的电势低于A点的电势6．4．2解答（一）（1）如图6.4.2所示，根据磁场的变化趋势，按楞次定律感生电场E感为顺时针（用柱坐标的单位矢表示），积分方向向右，梯形PQ边的感生电动势大小为梯形QM边的感生电动势大小为梯形NP边的感生电动势大小为梯形NM边的感生电动势（积分方向向左）大小为（2）利用上面的结果，整个梯形的总电动势大小为解法二：（1）作辅助线OP和OQ，的面积为，按法拉第电磁感应定律，选闭合回路OPQ的感应电动势的正方向为顺时针方向，则若按逆时针方向因半径OP和OQ与感生电场E感垂直，所以OP和OQ上的感生电动势，故有的面积为，选闭合回路OMN的感应电动势的正方向为顺时针方向，按法拉第电磁感应定律，有因半径O几ON与感生电场E感垂直，所以OM和ON上的感生电动势，故有（2）因总电势选取的绕行方向是逆时针方向，与选定磁通的正方向为左手关系，故按法拉第电磁感应定律，有6．5．2解答：螺绕环的自感为当通入线圈的电流I=3A时，自感磁链为每匝磁通为6．6．2解答：线圈1通有电流I1时管内产生的磁场大小为线圈1对线圈2中的1匝产生的磁通为线圈1对线圈2产生的磁链为线圈1对线圈2的互感系数为线圈2通有电流I2时管内产生的磁场大小为线圈2对线圈1中1匝产生的磁通只与线圈2的面积有关，即线圈2对线圈1产生的磁链为线圈2对线圈1的互感系数为对比M12和M21的数值，证得6．11．3解答因两个共轴螺线管A和B之间存在完全偶合，故，两个螺母管内储存的总磁能为代入数据得：7．1．2证明：空腔求表面上磁化电流密度为负号表示磁化电流面密度的方向与单位矢的方向相反，宽度为的电流强度大小为环形电流在空腔球心O的磁场为全部磁化电流在球心O产生的磁场为7．1．2证明空腔球表面上磁化电流面密度为负号表示磁化电流面密度的方向与单位矢的方向相反，宽度为的电流强度大小为环形电流在空腔球心O的磁场为全部磁化电流在球心O产生的磁场为7．1．7解答设电流I沿Z轴方向，根据磁介质安培环路定理和磁场颁布的轴对称性（1）在区域，有得在区域，有得在区域，有解得（2）为求R1和R2的表面上的磁化电流密度，需求出各区的磁化强度M在导体内，有在介质内，有在导体与介质交界面，有在导体与介质交界面上磁化电流面密度为在介质外，有在空气与介质交界面上磁化电流面密度为式中：由介质指向真空。7.6.2解答：（1）由环路定理得磁场强度大小为筒间的磁场强度大小为两筒之间各点的磁能密度为代入数据，得