PAGE甘肃省华亭县皇甫学校李敬之老师个人竞赛空间第PAGE8页（共8页）2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算（）（A）（B）1（C）（D）2【答案】（B）【解析】原式=，故选（B）.2.满足等式的所有实数的和为（）（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】（A）【解析】分三种情况进行讨论：（1）若，即时，满足已知等式；（2）若，即时，满足已知等式；（3）若，即且时，由已知，得解得，故满足等式的所有实数的和，故选（A）.3.已知是圆的直径，为圆上一点，，的平分线交圆于点，若，则=（）（A）2（B）（C）（D）3【答案】（A）【解析】连接,过点作于点，则,,从而,由是圆的直径，得,因平分,故,,在中，∵,,∴,故选（A）.4.不定方程的全部正整数解的组数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（B）【解析】由，得，因为正整数，故，从而于是，，即，由，知，故，，故或当时，；当时，.故原不定方程的全部正整数解有两组：，,故选（B）.5.矩形的边长,为的中点,在线段上,，分别与,交于点,则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】因,故,,因,故,故,故.延长交于点,则由为的中点，知,故,,因,故,故，故,于是,故选（C）.6.设为正整数，若不超过的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称为“好数”那么，所有“好数”之和为（）（A）33（B）34（C）2013（D）2014【答案】（B）【解析】因既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.设不超过的正整数中，质数的个数为,合数的个数为,当时，列
表
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如下（只考虑为奇数的情况）：由上表可知，都是“好数”.因，当时，在的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有故当时，不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为，故选（B）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数满足则.【答案】【解析】由得，代入，得，故，又，故，故，于是.2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则=.【答案】【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为个，任何面都不是红色的小正方体的总数为个，依题意有，解得(舍去).3.在中，，分别在上，则的周长最小值为.【答案】【解析】分别作点关于的对称的.则.连接,则,且,从而，故，,过点作于点,则，于是的周长为当且仅当点与点重合，且四点共线时取得等号，即的周长.4.若实数满足，用表示的最大值，则的最大值为.【答案】【解析】由已知，得，不妨设，则解得.当且仅当时取等号.故的最大值.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数满足求的值.解：设，则因，即，故eq\o\ac(○,1)又因为故eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)可得即注：符合条件的实数存在且不唯一，应满足由（1）得，令，则，代入（2）得或，于是或，代入（3）或（4），得，故符合条件的实数存在且不唯一，如就是一组.又如也是一组，当然还有很多组.二、（本题满分25分）已知点在以为直径的圆上，过点作圆的切线，交于点，连接，若，求的值.解：连接，因为为圆的切线，所以因为,所以,因为，所以,所以,所以连接,因为圆的直径，为圆的切线，故又，所以，所以.又,,（为圆的半径），代入,得.在中，由勾股定理,得,所以.三、（本题满分25分）已知是一元二次方程的一个根，若正整数使得等式成立，求的值.解：因为是一元二次方程的一个根，显然是无理数，且.由，得，将代入，得，即因为是正整数，是无理数，所以，于是可得因此是关于的一元二次方程的两个正整数根，该方程的判别式又因为是正整数，所以，从而可得又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求.把代入,得第二试（B）一、（本题满分20分）已知，若正整数,使成立，求的值.解：因为，所以由，得，将代入，得，整理得因为是正整数，是无理数，所以于是可得因此是关于的一元二次方程的两个正整数根，该方程的判别式又因为是正整数，所以，从而可得又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求.把代入,得.二、（本题满分25分）在中，，分别是的外心和内心，且满足,求证：（1）∥;（2）.
证明
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:（1）过点作于，过点作于，则∥,设，由分别是的外心和内心，得，所以，又恰好是两条平行线之间的垂线段，所以也是两条平行线之间的垂线段，所以∥，所以∥.（2）由（1）知是矩形，连接，设（即为的内切圆半径），则三、（本题满分25分）若正数满足求代数式的值.解：由于具有轮换对称性，不妨设（1）若，则，从而，得故，这与已知条件矛盾.（2）若，则，从而，得故，这与已知条件矛盾.综合（1）（2）可知,一定有于是可得同理可得.故
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