第六总定积分的应用第六总定积分的应用PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#第六章定积分的应用一、基本要求及重点、难点1、基本要求：理解定积分的元素法。掌握科学技术问题中建立立积分表达式的元素法(微元法)，会建立某些简单几何量(如平而图形的而积、旋转体的体积、平而曲线的弧长等)和物理量(如功、水压力等)的积分表达式。2、重点及难点：重点：一些简单几何量的泄积分表示难点：泄积分的元素法二、内容概述1、(1)应用左积分的元素法，关键是根据题中的具体条件，利用几何或物理的知识，求出所求量的微元。步骤为：(a)选取坐标系，确左积分变量并确左英变化区间[“，b]。(b)任取一个小区间[x,x+dx]u[a,b],计算在这个小区间上部分的近似值讥/=f(x)dx,(c)求解泄积分(7=£/(x)Jx重点掌握求平而图形的而积，先作平而区域的大致图形，根据具体条件选用适当的坐标系，在直角坐标系下，选取适当的积分变量和积分区间，然后写出面积的积分表达式进行计算：若平而图形由曲线y=f(x),y=g(x)及x=ayx=Z?,(a
JA=『丄｛比(&)]2-[斤(&)]2｝〃&；Ja2重点掌握求立体的体积：(a)旋转体的体积：绕x(或刃轴旋转，取x(或y)为积分变量,并确泄班或y)的积分区间；(b)已知截而而积求体积：重点找岀x点处截而面积函数A(x)重点掌握求平而曲线的弧长，重点掌握参数方程所表示的曲线弧的弧长。岛等数学学习抬导第六帝定积分的应用PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#2、面积公式分类直角坐标系公式由曲线y=/(x)(/(x)>0,分段连续)及x=a,x=b(avb)与x轴所伟I成的曲边梯形的而积：A=［hfMdxJa由曲线X=0(y)(0(y)>0,分段连续)及y=c,y=d(c'(r)x,(0p//图例Yf10abX1多极坐标系由曲线r=询及射线0=ay0=p.a<0所围成的曲边扇形的面积：A=-\[r（0）fd02Jap.r\6曲、0X由曲线r=rS0\r=r2{0）及射线&=a,&=0,av0所围成的平而图形的而积：A=⑹七（0）西2、体积公式;3、平面曲线的弧长分类公式直角坐标设y=/(X)为光滑曲线，则在［。,刃弧段上弧长为:$=［』+［广⑴弘参数方程X=0)(t)若光滑曲线由参数方程｛屮a6>p给出，且厂(&)在2,0］上具有连续导数，则曲线弧弧长为：s=4、定积分在物理学上的应用分类公式变力沿直线作功若积分变疑为x(a0)与p=a所用成的阴影部分而积如图3-2解：如图3-2A=2C-p2d0+-a2Fj；(l+cos&M+|«2JT222""+2sin°+和2J+討詁討一2)例3：设M为曲线0)分成面积相等的两部分，试确左“的值。解：如图3・4由0J（g）>0。试证对图3-7中所示的两块面积心⑴和勺⑴,存在唯一的处（“）,使得^-=a（a>0,常数）。归（歹）解:如图3・7^i（0=|J/（0-/Gv）Wa-$2（。=『1/3-/（/）側令：尸（/）=峙（/）-心2（/）=J：［/a）-/（x）］〃x-町：•・•s、V）=广⑴J：dx+/«）-/'（/）=广《）（/-。）>o:.F\t)=s}\t)-as2\t)>0te(a,b)・・・F（f）单调增加又F(d)=一町:Lf(x)-/⑷冷v0F(b)=>0所以由闭区间上连续函数的介值泄理知，存在唯一的和(。上),使F($)=0例8：求房顶的体枳。如图3■&其底是矩形，长边长为"，短边长为b,其顶的棱平行于长边，长为c,c+/<10所确左的平面图形绕x轴旋转所成立体的体积。解：如图3-9=J：龙(10-x2)dx-j°^njCdx-[:47rx2dx胡10一非]爲—尹]加¥【廿晋(后点)图3・9例10：求曲线xy=4,y>tx>0所用图形绕y轴旋转所成的立体的体积解：由|小一4得交点(4,1)[y=lm3-io例11：曲线）=卫二绕x轴旋转得一旋转体，把它在点x=0与x=^之间的体积记作1+2v(^),问。为何值时,v(a)=-limv(^)oF2解：陀）="花严-扌寺••史即（沪岀扌去誇vW=?tS4^)=7\a=\(。=一1舍去)例12：计算由曲线/Zh77・•・所求弧长为rcos>=4例14：求圆的渐开线lA=^cosZ+ZsmZ)自f=o至［=兀一段弧的弧长。y=a(sin/-/cosf)解：x\t)=atcosty\t)=atsint岛等数学学习抬导第六帝定积分的应用PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#s=［；*⑴+=Jyatdt=尹］；；=牛4例15：求曲线怡=1自&=一至&=—的一段弧的弧长。3解：•••r=-”=_丄002•.S==gI/朋=炉1+少〃冷)■例16:计算曲线X罟y晋。“自原点到与铅直的切线最近的弧长。“八cos/八sin/dy解：vx(r)=y(r)・\—=tantttdx故使曲线有铅直切线且离原点最近的点对应的参数值f=-,2而原点对应的参数值/=1・•・s=JJ囲⑴+汕⑴山=『_〃/=In-|t2例17：把抛物线y=x2及y=4»绕y轴旋转构成一旋转抛物而的容器，髙为力，夹层内盛水，水高硝,问把水全部抽出，至少需作多少功?解：如图:dv=^[%22(y)一命(y)kfy=%(y--)dy3^^・•.dw=(/?_v)pgdv=(/?_y)pg-—ydy4…例1&斜边为肚长/的直角三角形簿板，垂直放置于水中，并让一直角边与水相齐，设斜边与水面交成的锐角为问&取多大时，簿板所受的压力最大?解：建立如图所示直角坐标系斜边方程为：y=-cotOx+ICQSO,•・•水压力P=『Isind(-x2cot0+/xcosO)dx图3-18lx"=P^[-yCOt^+—COS^]/Sin：=I(cos0-cos'0)令：p'=^-sin/9(-l+3cos2<9)=06得仇=arccos当0v&v%时，">0;当z《时”。当0=0()-arccosg时,"取得最大值。例19：试求一质量均匀的半圆弧对位于其中心的单位质虽:的引力。解：如图设半圆弧的半径为质量为M则引力微元为：dF=Gxlx加=詞臣-~"F-GM门“GM“=rRdO=7(IB兀R'兀R?GMGM宀dF.=cosOdOdFx=sinOddttR1>兀R':.F=f一cos0d0=Oh7T&匸「GM・十GM「加2GMF、=——sin0d0=-——[cos。()=->J()^R2tcR-°rrR2图3-192GM二kR2四、自测题A及解答(-)选择题1、曲线y=Inxty=Ina,y=InZ?(00)所围图形而积()：—1.!T1.(A)[2—{lacQsOydO(B)[-(2acos&°)〃&Ju2—2(C)-(2acos0)2dO(D)2^(2acos0)2d05、曲线>'=ln(l-x2)(O0)所围图形的而积为二，则c的取值为3x=/—sint2、已知均匀摆线｛当OS/时弧长$=ay=1-cost3、求曲线y=x(x-1)(a-2)与x轴所围部分的而积为。4、曲线y=Q(x<0)9x=0,y=0所围图形绕兀轴旋转所得的旋转体的体积。vr=,绕y轴旋转所得的旋转体的体积与=(三)
计算题
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1、求心形线厂=“(1+cos&)在圆r=a(a>0)之外部分的而积2、设直线y=ax+b与直线x=0.x=1及y=0所围的梯形而积等于A,试求匕“使这块而积绕x轴旋转所得的体积最小(英中«>0J?>0)第六总定积分的应用第六总定积分的应用3、
证明
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曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长4、一边长为"与b(a>b)在矩形薄板斜宜于液体中，它与水平面的倾斜角为a,薄板边长为"的边与液而平行，且位于深为〃处，求薄板所受的压力5、如果f(x)为线性函数，/(x)=kx+m.则/(a)在［a,b］上的平均值了_■/《)+/⑹自测题A参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
(-)选择题1、C2、B3、C(V=;rj()(sin2x)2dx=—^')4(-)填空题(A=J；(x2-cx3)Jx=J?=|,c=1)2、4迈3、12(xr=1-cost,)<=sin/,S=J；+y(t)2clt=2x/5［：sin—dt=4^2)2(y=x(x-l)(x-2)与x轴交点为0、1、2在［0,1］上y>o在［1,2］上yv0,:.S=x(x-l)(x-2)dx—J】x(x-l)(x-T)dx=—)o］24、v.=pvy=2^(用分部积分法汁算)冬=［严(Iny)'d”(三)、计算题岛等数学学习抬导第六帝定积分的应用PAGE\*MERGEFORMAT#12PAGE\*MERGEFORMAT#1、解：5=2f1-[cr(1+cos0)2-a2]d0J()2(IJ"=—J；(2cos0+cos20\l0=/(1+—)2、解：5=j*(t/x+b)dx=^+b=Aa+2b=2A2"8u=兀J：{ax+b)2dx=兀(罕+ah+b2),o将:.a+2l^=2A代入v=^^L.-lAb+-b2)令竺=；r(—?A+?方)=0:.b=A,a=0333db33驻点唯一・•・当a=0,b=A时，旋转体体积最小，最小值为祸'3、解：证：y=sinx的一个周期的弧长为：5,=J()Jl+y』v=J()Vl+cos2xdx椭圆2x2+y2=2的周长为：X=COS&利用参数方程2厂0S&S2/Ty=J2sin&•••心=J：ylx,2+y'2dO=J：Vsin26>+2cos2OdO=J(「71+cos20d6=Jj-71+cos2xdx4、如图ds="dxdF=pg(h+x)——dxsinasinafAsinapQCl1・F=—-—(h+x)dx=pgab(h+—bsina)几sina2—1rb5、证：函数/（兀）在［g"］上的平均值是指尸=——\fWdxb-uJa«士S）心今…Kf(kx+m)clx=—(Z?+a)+m=—[{kb+m)+(滋+)]=—[/(a)+f(b)]b—u)Q222五、自测题B及解答(-)选择题1、曲线$=長与y=l,x=4所围图形的面积3=()：(A)T⑻I(C)T(D)罟2、摆线<■'='/(Z_SinZ)(a>0)一拱与x轴所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的y=a(l-cosf)体积”=()：(A)jJrra~cost)~dt(B)J"^«2(1-cos/)2t/[«(r-sin/)]J。7：cr(\-costyd[a(t-sint)\(D)/ZYT(l-cosf)■〃/3、线y2=2/?x(/?>0)自点(0,0)到点(上，仍的一段曲线弧长$=()：2(A)£B+〃ln(l+Q]丄fJJ+£lln(l+J?)]p22(D)fB+ln(l+Q](二)填空题曲线y=K,y=厂及％=1所为图形的而积a=2、已知/(x)=J()v(l+r)J/(x>0),则曲线y=/(x)与；i轴所围成图形的而积为x=arctan/3、求v=lin(i+/2)自/=°至『=1的曲线弧的长度$=?~2('4、在曲线y=x2(x>0)上某点A处作一切线，使之与曲线y=F及大轴所围成的图形而积为丄，则该切线方程为数y=hyx在区间［1疋］上的平均值为（三）计算题1、曲线y=e~xVsinx（0SxS龙）绕x轴旋转所得立体的体积。3X=GCOS，t7：2、已知点A（aO）与点3（0卫）是星形线<3（0S/S—）上两点，试在y=asint2AB弧上求一点M,使得4M狐的长度为丄A3弧之长。3、曲线y2=2^-2t绕其渐近线旋转，求位于所得曲而内的物体的体积。4、有一圆柱形贮水池深4〃?，底半径为10/h,贮满了水，要把水全部抽到田地里,问需作功多少？5、已知曲线y=ayfx（a>0）与曲线y=Iny［x在点（x0,y（））有公切线，求：（1）常数“及切点（x0,y0）o（2）两曲线与x轴所围平而图形的而积A。（3）两曲线与x轴所用平而图形的而积绕x轴旋转所得的旋转体的体积。自测题B参考答案计[抄7+知(y+Jb+f=-^[V2+ln(i+>/2)])第六帝定积分的应用第六帝定积分的应用PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#(二)填空题TOC\o"1-5"\h\z1ri,11、f_2+_(Iex-e^x)dx=[ex+e^x]{)=e—2+—eJoe2、-(y=f(x)==x--x1.y=x--x1与3Jo22・2y=0的交点(0,0),(2,0),所以s=[\x^-x2)dx=-血233、ln(l+V2)(s=J：X(/)+FS〃=J(：dt=[\n(t+y/\+r)]\（三）计算题1、解：v=J)7t(Tlxsinxdx=龙匸2/cosx=^j-cosxe-2x+J(：-2cosxe^lxdx\=111(1+V2)4、y=2x-1(设A坐标为(匕a2\y*=2兀/.切线方程为y=lax一/切线与x轴的交点(-.0),5=[ax2dx--a3=丄/=丄,・・・。=12%41212・•・切线方程为y=2x—1)fInxdx=(0_g+l)=—I，—I—Isinxdx\+1)=兀[小"+1+(—2八'sinx)L；_4j()e^lxsinxdx\=+1_4二2、解：设『是AB弧上某点P的参数，则AP弧的长度为s(/)=J：&'"f)十尹⑴df=3町;sin/cos=3asin't2-"B弧的长度为吟嗚H卩siii"/=—ysint=—,t427t6.•.M点的坐标为（—88岛等数学学习抬导岛等数学学习抬导PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#3、解：limy=lim>J2exe^x=0,/.y=0为其渐近线,.TfR=40y2dx="Ju2exe~lxdx=阻打：2。宀仪=一龙lim（加亠+丄£亠一丄）221=—7F24、解：建立如图所示直角坐标,则dv=102Tttlx:.dw=105TtxdxIO'"])xdx=8/FxlO'kg•加5、解：(1)分别对y=和y=lnJ7求导，得y*=—y'=—2jx2x由于两曲线在（兀,儿）处有公共切线,a•击=1得“一\,将兀-\代入两曲线方程，有2x0crcr—=—In—得a=—:.x0=e2,y0=1r2cre/.切点坐标为3,1）（2）两曲线与兀轴囤成的平而图形的而积为心匸（0_巧,2）心=時0一卜2注：=宁（3）旋转体的体积匕=［；兀（刍几Zx-J^（lny/x）2dx=$［疋f_彳「（lnx）2^vn(rnt,,_2龙r，Inxdx=___kln-x]1+-[孚一討宀訓山一訓w3y/\+a•••A=人22人=A+4=j*(l-x2Xv=(C)-^-[\/2+In/?(!+5/2)]
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