《线性代数》复习资料一、单项选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A为三阶方阵，且，则(C)A.-2B.8C.-8D.162.设，则（D）A.B.C.D.3.n维列向量组线性无关，则方程组一定(C)A.有无穷多解B.有有限个解但不唯一C.有唯一解D.无解4.3维列向量组线性无关，则方程组(C)A.有无穷多解B.有有限个解但不唯一C.有唯一解D.无解5.n阶方阵A能对角化的充要条件是A满足（D）A.有n个特征值B.有n个不同的特征值c.有n个特征向量D.有n个线性无关的特征向量6.设A为n阶方阵，且，则(D)A.B.C.D.7.设，则（A）A.B.C.D.8.当（B）时n元非齐次线性方程组有唯一解。A.B.C.D.9.是n元线性方程组的基础解系，则A的秩为（C）。A.rB.nC.n-rD.n+r10.下列哪个命题(A)不是n元实二次型正定的等价命题.A.A的行列式为正B.A为正定矩阵C.A与单位矩阵
合同
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D.该二次型的正惯性指数为n11.设A为三阶方阵，且，则(B)A.4B.-4C.8D.-812.设，则（D）A.B.C.D.13.线性方程组，一定(C)A.有无穷多解B.有唯一解C.有解D.无解14.是n元线性方程组的线性无关解，且方程组的任一解都可由它们线性表示，则A的秩为（D）。A.rB.n-rC.n-r-1D.n-r+115.下列哪个命题(A)不是n元实二次型正定的等价命题.A.A的n阶主子式为正B.A的所有顺组主子式为正C.A与单位矩阵合同D.该二次型的正惯性指数为n二.解答题已知的值.解：2.设,满足.求X.解：3.设向量组。问为何值时，线性表示，并求出其表示式。解：为任意常数.4.设，求(1).求以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解。(2).求以A为增广矩阵的非齐次线性方程组的解。解：（1）.，齐次线性方程组有无穷多解.基础解系可取为。（2）..以A为增广矩阵的非齐次线性方程组有唯一解.5.已知二次型(1).写出二次型的矩阵。(2).用正交变换化二次型为标准型，并写出所用的正交变换。解：6.已知的值。解：17.设,满足.求.解：8.设向量组。(1).求向量组的秩(2).求向量组的一个极大无关组，并将其余向量(如果有)用极大无关组线性表示.解：向量组的秩为3.一个极大无关组为..9.设，求(1).当b为何值时方程组无解。(2).在方程组有解时，求出全部解。解：.（1）当b不为1时，系数矩阵的秩为2<增广矩阵的秩3.原方程组无解。(2)当b=1时，系数矩阵的秩=增广矩阵的秩<未知量个数，原方程组有无穷多解。10.已知二次型(1).写出二次型的矩阵。(2).用正交变换化二次型为标准型，并写出所用的正交变换。解：11.已知的值。解：112.设已知二次型通过正交变换化为标准型(1).求a的值.(2).求正交变换矩阵P.解：属于特征值的线性无关特征向量，单位化得；属于特征值的线性无关特征向量，单位化得。正交变换矩阵13.设向量组。(1).求向量组的秩(2).求向量组的一个极大无关组，并将其余向量(如果有)用极大无关组线性表示.解：向量组的秩为3.一个极大无关组为.14.设，求(1).当b为何值时，方程组无解。(2).当b为何值时，方程组有解；并求出全部解。（1）.b不为0时，系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，原方程组无解。(2)当b=0时，系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=2<未知量个数4，原方程组有无穷多解。（2）..以A为增广矩阵的非齐次线性方程组有唯一解.15.已知二次型解：通过正交变换化为标准型(1).求a,b的值.(2).求正交变换矩阵P.解：属于特征值的线性无关特征向量，单位化得；属于特征值的线性无关特征向量，单位化得；属于特征值的线性无关特征向量，单位化得。正交变换矩阵三、证明题.（一）设A是四阶方阵，列向量组线性无关。证明线性无关的充要条件是A可逆。设A是n阶方阵，为A的伴随矩阵，则(1)若A的秩为n-1,则的秩为1.（2）若A的秩小于n-1,则的秩为0.解：1.线性无关n元齐次线性方程组只有零解系数矩阵的行列式A可逆。2.（1）A的秩为n-1，有|A|=0,且AA*=0。则A的秩+A*的秩小于等于n.从而A*的秩小于等于1.------1)A的秩为n-1，A至少有一个n-1阶子式不为零，从而A*至少有一个元素不为零，因此A*的秩至少为1----2).综合1）2），知A*的秩为1.（2）A的秩小于n-1，有A的任意n-1阶子式全为零，从而A*的全部元素都为零，A*为零矩阵，所以A*的秩为0.（二）设A是n阶方阵，向量是A的分属于不同特征值的特征向量。证明线性无关。已知实对称阵A满足(E为单位矩阵)，证明A是正定矩阵和正交矩阵。解：2.设实对称阵A的特征值为所以，即所以A的特征值只能为1.即A的特征值全为正数。所以A为正定矩阵。其实A是单位矩阵。所以A是正交矩阵.（三）设是n元齐次线性方程组的基础解系，证明当可逆时，仍然是n元齐次线性方程组的基础解系.已知3阶矩阵A满足，(E为单位矩阵)，证明.解：1.，是齐次线性方程组AX=0的解。再证明线性无关。，由于线性无关，得（系数矩阵可逆的齐次线性方程组只有零解），所以线性无关。AX=0的基础解系含三个向量，故是AX=0的一个基础解系。2.----(1)----(2)综合上面两式得（四）已知实对称阵A满足,E为单位矩阵，证明A是正定矩阵.解：设实对称阵A的特征值为所以，即所以A的特征值只能为1或2.即A的特征值全为正数。所以A为正定矩阵。
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