线性代数综合练习题集

线性代数综合 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 时间：120分钟一、选择题（每题3分，共15分）:1．设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列互换得B，再把B的第二列加到第三列得C，则知足AQ=C的可逆矩阵Q为（）。010010（A）100；（B）101；101001010011（C）；（D）100100。0110012．设A、B为知足AB=0的随意两个非零矩阵，则必有（）。（A）A的列向量组线性有关，B的行向量组线性有关；（B）A的列向量组线性有关，B的列向量组线性有关；（C）A的行向量组线性有关，B的行向量组线性有关；（D）A的行向量组线性有关，B的列向量组线性有关。3．以下向量集按Rn的加法和数乘组成R上一个线性空间的是（）。（A）Rn中，坐标知足x1+x2+⋯+xn=0的所有向量；（B）Rn中，坐标是整数的所有向量；（C）Rn中，坐标知足x1+x2+⋯+xn=1的所有向量；（D）Rn中，坐标知足x1=1，x2，⋯，xn可取随意实数的所有向量。4．设λ=2是非奇怪矩阵A的一个特点值，则矩阵（13A2）-1有一个特点值等于（）。（A）43；（B）34；（C）12；（D）14。5．任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它（）。（A）合同；（B）相像；（C）等价；（D）以上都不对。二、填空题（每题3分，共15分）2101．设矩阵A=120，矩阵B知足：ABA*=2BA*+E，此中A*为A的陪伴矩阵，001E是三阶单位矩阵，则|B|=。121x112．已知线性方程组23a2x23无解，则a=。1a2x303．若A=1a021b20001为正交矩阵，则a=，b=。4．设A为n阶矩阵，且|A|≠0，A*为A的陪伴矩阵，E为n阶单位矩阵。若A有特点值λ，则（A*）2+E必有特点值。5．若二次型f=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是。三、（15分）(1a)x1x2x3x40设有齐次线性方程组：2x13x1(2a)x23x2(32x3a)x32x43x4004x14x24x3(4a)x40试问a取何值时，该方程组有非零解并用一基础解系表示出所有的解。四、（10分）设R3的两组基为：T,(1,1,0),(0,1,1)TT1(1,0,1)23和(1,1,1)23T,(1,1,2)T,(1,2,1)T1，向量α=（2，3，3）T（1）求基1,,到基1,2,3的过渡矩阵；23（2）求α对于这两组基的坐标。五、（15分）设三阶实对称矩阵A的特点值为λ1=-2，λ2=1（2重），α1=（1，1，1）T是属于λ1=-2的特点向量。试求：（1）属于λ2=1（2重）的特点向量；（2）A的陪伴矩阵A*。六、（10分）设二次型f222x1xx2axx2xx2bxx23121323x1y1经过正交变换x2Py2化为：22fy22y，求a、b。3x3y3七、（10分）已知A，B为n阶可逆方阵，且知足2A-1B=B-4E，此中E是n阶单位矩阵，试证：A-2E可逆。并求出（A-2E）-1=八、（10分）设A为n阶矩阵，且r()1,1，此中Aii是A中元素AnA11AAnn22a的代数余子式（i=1，2，⋯，n）。试证：A的陪伴矩阵A*的特点值是0和1，ii并说明各个特点值的重数。线性代数综合练习参照答案一、选择题：1．（D）；2（A）；3．（A）；4．（B）；5．C）；二、填空题：1．19；2．-1；3．12，122|A|；4．1；5．-2t21a1111a11122a222aa00行三、解：A=B333a33a0a04444a4a00a（1）当a=0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x1+x2+x3+x4=0由此得一基础解系为：y1(1,1,0,T0)y2(1,0,1,T0)，故所有解为：XC1yCyCy12233y3(1,0,0,T1)（此中C1,C,C为随意常数）⋯⋯（7分）231a111a10000（2）当a≠0时，B231001002310010040014001当a=-10时，r（A）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：2x1x203x1x30，解之，可得一个基础解系为：4x1x40y=（1，2，3，4）T，故所有解为：X=ky（此中k为随意常数）⋯⋯（15分）备注：本题也可另解∵|A|=（a+10）a3∴当|A|=0时，即a=0或a=-10时，齐次线性方程组有无量解。110111四、解：（1）记B=（1,2,3）=，C=（0111,,）=11232101121110111则有：011112101121100010001121212101011进而，由基1,,到基1,2,3的过渡矩阵为：23A=B-1C=121212101011⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）设α对于基1,,的坐标为（y1,y2,y3）23即：y1yy012233y1y2y32由此可得：y1y22y33，解之得：y10,y21,y31，y12y2y33故α对于基1,,的坐标为（0，1，1），23x1y101又∵x2A11021y=1012211121x3y312即α对于基1,,的坐标为（1，1，2）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）23五、解：（1）设A的属于特点值λ2=1（2重）的特点向量为（x1，x2，x3）T，则∵A是实对称矩阵，1∴（x1，x2，x3）T与α1正交，即有：（x1，x2，x3）1=0，1也即：x1+x2+x3=0，解之：α2=（-1，1，0）Tα3=（-1，0，1）T∴A的属于λ2=1的所有特点向量为：k1α2+k2α3（k1，k2不一样时为0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）∵A*=|A|A-1∴A*的特点值为：|A|·（-12），|A|·1（2重）又∵|A|=-2∴A*的特点值为：1，-2（2重）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）1A*（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）22100A*=（α1，α2，α3）020（α1，α2，α3）-10021111100111=110020110101002101111=11111010110002000231313231313233313=11122020211112111213333333333111=111⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15分）111六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为：1a1000Aa1b和B0101b1002于是，A、B相像，进而有同样的特点多项式即：|λE-A|=|λE-B|⋯⋯⋯⋯（5分）也即：λ3-3λ2+（2-a2-b2）λ+（a-b）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ各幂次项系数有：2(a2a2b)2b02∴ab00⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）七、证明：∵2A-1B=B-4E左乘A，得：2B=AB-4A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）即：AB-2B-4A=0∴（A-2E）（B-4E）=8E故A-2E可逆，且（A-2E）-1=18（B-4E）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）八、证明：∵r（A）=n-1∴r（A*）=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）又∵齐次线性方程组（0E-A*）X=0的基础解系含有n-1个线性没关的解向量，∴0是A*的特点值，其重数不小于n-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）此外，tr（A*）=A11+A22+⋯Ann=λ1+λ2+⋯λn-1+λn=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）故有：1是A*的单特点值；0是A*的n-1重特点值。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）