2020年二次函数压轴题强化训练(带详细答案)

第1页（共98页）第1页（共98页）2020年二次函数压轴题强化训练（带详细答案）一.解答题（共30小题）RI1.（2016琳圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线厂-［妙§与x轴、y轴的交点分别为A、B,将/OBA对折，使点。的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围.2.（2015?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a为）相交于A.m）,点P是线段AB上异于（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点,在，请说明理由；A、B的动点，过点P作PC，x轴于点D,交抛物线于点C.使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存3.（2007?玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1,0）,直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3,4）,B点在y轴上.第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)(1)求m的值及这个二次函数的关系式；P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.(2013?凉山州)如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a加)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点巳交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长；(3)在(2)的条件下，连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和4AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断4PCM的形状；若不存在，请说明理由.(2009?某江县)如图，已知抛物线y=a(x-1)2+3〃1|(a为)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM//AD.过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上，连接BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？1求出最小值及此时PQ的长.(2013以水)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a为)经过A(3,0)、B(4,4)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求的值及点D的坐标；(3)如图2,若点N在抛物线上，且/NBO=/ABO,则在(2)的条件下，求出所有满足△PODs^NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).(2014剂南)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-上x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过4点P作PF±x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE=5EF,求m的值；(3)若点E'是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2013?德州)如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点，OA=1,tan/BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当4CEF与ACOD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P,使4PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由.(2013剂南)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=±x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3,5).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE±x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.(3)若存在点P,使/PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.10.(2013?重庆)如图，已知抛物线一个交点为A,且与y轴交于点C(1)求直线BC与抛物线的解析式;B(5,0),另(0,5).(2)若点M是抛物线在求MN的最大值；(3)在(2)的条件下，以BC为边作平行四边形x轴下方图象上的一动点,过点M作MN//y轴交直线BC于点N,MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为Si,AABN的面积为S2,11.(2013?徐州)如图，二次函数y=：x2+bx-士的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)请直接写出点D的坐标：;(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P,使APED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时APED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.12.(2013?泰安)如图，抛物线y」；x2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0).(1)求该抛物线的解析式.(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE//AC,交BC于巳连接CP,求4PCE面积的最大值.(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且AOMD为等腰三角形，求M点的(2014?广元)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan/CBE」,3A(3,0),D(-1,0),E(0,3).(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB>AABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与4ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设4AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0Vt4)时，AAOE与4ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.图甲图乙(备用图)(2014?成都)如图，已知抛物线y=得(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=-M3x+b与抛物线的另一3交点为D.(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与4ABC相似,求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？(2014?南宁)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A,B两点，点A在点B的左侧.(1)如图1,当k=1时，直接写出A,B两点的坐标；(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出4ABP面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2,抛物线y=x2+(k-1)x-k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧)，在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得/OQC=900?若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)第8页（共98页）（2013?防城港）如图，抛物线y=-（x-1）2+c与x轴交于A,B（A,B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A（-1,0）.（1）求点B,C的坐标；（2）判断4CDB的形状并说明理由；WACOB沿x轴向右平移t个单位长度（0vtv3）得到4QPE.4QPE与4CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S,求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.事14^DD备用国（2014?重庆）如图，抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ//AB交抛物线于点Q,过点Q作QN^x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求4AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=2^DQ,求点F的坐标.18.(2014?钦州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-Wx2+bx+c与x轴交于A、D两3点，与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形，点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点，过点E作PE±x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与4DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由.(2014?昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a为)与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当4PBQ存在时，求运动多少秒使4PBQ的面积最大，最大面积是多少？(3)当4PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K,使Sacbk:Sapbq=5:2,求K点坐标.(2013?恩施州)如图所示，直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把MOB沿y轴翻折，点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).(1)求直线BD和抛物线的解析式.(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与4MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标.(3)在抛物线上是否存在点P,使SApbd=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(2013?毕节地区)如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B,且A点的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,1).(1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标；(2)过点B作BD//CA交抛物线于点D,连接BC、CA、AD,求四边形ABCD的周长；(结果保留根号)(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E,使以B、P、E为顶点的三角形与4CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.(2014?德州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P,使得4ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.(2014?吉林)如图①，直线l：y=mx+n(m<0,n>0)与x,y轴分别相交于A,B两点，将4AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD,过点A,B,D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线.(1)若l:y=-2x+2,贝UP表示的函数解析式为;若P:y=-x2-3x+4,贝Ul表示的函数解析式为.(2)求P的对称轴(用含m,n的代数式表示)；(3)如图②，若l:y=-2x+4,P的对称轴与CD相交于点E,点F在l上，点Q在P的对称轴上.当以点C,E,Q,F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；(4)如图③，若l:y=mx-4m,G为AB中点，H为CD中点，连接GH,M为GH中点，连接OM.若OM=k/10,直接写出l,P表示的函数解析式.(2013?武汉)如图，点P是直线l:y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点.(1)若直线m的解析式为y=-_1x+上，求A,B两点的坐标；回2(2)①若点P的坐标为(-2,t).当PA=AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：又•于直线l上任意给定的一点P,在抛物线上能找到点A,使得PA=AB成立.(3)设直线l交y轴于点C,若4AOB的外心在边AB上，且/BPC=/OCP,求点P的坐标.(2013?遂宁)如图，抛物线y=-Jx2+bx+c与x轴交于点A(2,0),交y轴于点B(0,直线y=kx-过点A与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点是D.(1)求抛物线y=—fx2+bx+c与直线y=kx—口的解析式；(2)设点P是直线AD上方的抛物线上一动点(不与点A、D重合)，过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M,作DE^y轴于点E.探究：是否存在这样的点P,使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，作PNXAD于点N,设4PMN的周长为1,点P的横坐标为x,求(2013?舟山)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yf(x-m)2-fm2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,AC，AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD.作AE//x轴，DE//y轴.(1)当m=2时，求点B的坐标；(2)求DE的长？(3)①设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线,与第(3)①题确定的函数图象白另一个交点为P,当m为何值时，以A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形?(2006?重庆)已知：m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且mvn,抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和4BCD的面积；P是线段OC上的一点，过点P作PH^x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把4PCH分成面积之比为2:3的两部分，请求出P点的坐标.(2015?阜新)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在抛物线上，且Saaop=4Sboc,求点P的坐标；(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作DQ^x轴，交抛物线于点D,求线段DQ(2014?白银)如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上，且横坐标为3.(1)求点M、A、B坐标；(2)连接AB、AM、BM,求/ABM的正切值；(3)点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为%当o=ZABM时，求P点坐标.(2014?宿迁)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,cv0)交x轴于点A,B,于点C,设过点A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D.(1)如图1,已知点A,B,C的坐标分别为(-2,0),(8,0),(0,-4);①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求4BDM面积的最大值；(2)如图2,若a=1,求证：无论b,c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标.第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共98页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共98页）二次函数压轴题强化答案一.解答题（共30小题）1.（2016琳圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸-工十&与x轴、y轴的交点分别为A、B,将/OBA对折，使点。的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点，直接写出|QA-QO|的取值范围.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题；开放型.【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0,得横坐标为8,所以点A的坐标为（8,0）;点B的坐标是横坐标为0,解得纵坐标为6,所以点B的坐标为（0,6）;由题意得：BC是/ABO的角平分线，所以OC=CH,BH=OB=6•.AB=10,，AH=4,设OC=x,则AC=8-x由勾股定理得：x=3••点C的坐标为（3,0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH,|QA-QO|=|QA-QH|.当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与点K重合时，|QA-QO|取得最小值0.【解答】解：（1）点C的坐标为（3,0）.（1分）・•点A、B的坐标分别为A（8,0）,B（0,6）,•・可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-8）.将x=0,y=6代入抛物线的解析式，得■（2分）•••过A、B、C三点的抛物线的解析式为尸卡-甘川—（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线又』，顶点D的坐标为（卫,-至），入2216设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为y=-2x+6.4分）设点P的坐标为（x,-2x+6）.解法一：如图，作OP//AD交直线BC于点P,连接AP,作PM^x轴于点M.1.OP//AD,/POM=/GAD,tan/POM=tan/GAD.解得经检验广半是原方程的解.此时点P的坐标为（；—»—）.（5分）77但此时0田寺『GA=^,OMVGA...昨7dhrZP0M=ZGAC・•.OPvAD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等,・♦・直线BC上不存在符合条件的点P（6分）作点D关于点E的对称点P,彳PN^x轴于点N.贝U/PEO=/DEA,PE=DE.可得△PEN0^DEG.,可得E点的坐标为（4,0）.ON=OE-NE=—,NP=DG=—216.••点p的坐标为25）.（5分）216x=5时，一2工十及一2><当21卢普，点P不在直线BC上.・♦・直线BC上不存在符合条件的点P.（6分）ZZ1□（3）|QA-QO|的取值范围是0<|QA-Q0|<4（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK,则|QA-QO|=0,当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA-QO|最大，直线AH的解析式为：y=-^x+6,直线BC的解析式为：y=-2x+6,4联立可得：交点为（0,6）,，OQ=6,AQ=10,・.|QA-QO|=4,|QA-QO|的取值范围是：0gQA-QO|9.【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识,图，注意数形结合思想的应用.解题的关键是认真识第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共98页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共98页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)2.(2015?枣庄)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a为)相交于A-)和B(4m),点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC，x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由;(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.【考点】二次函数综合题.【专题】几何综合题；压轴题.【分析】(1)已知B(4,m)在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值.(2)要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值.(3)当APAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解.【解答】解：(1)•••B(4,m)在直线y=x+2上，m=4+2=6,••B(4,6),•.A(当,-|)>B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,，抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2-8n+6),PC=(n+2)-(2n2-8n+6),=—2n+9n—4,=-2(n-1)妻9..PC>0・•・当n=工时，线段PC最大且为里.48APAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则/APC=90°.由题意易知，PC//y轴，/APC=45°,因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则/PAC=90°.如答图3-1,过点A（1,上j）作AN，x轴于点N,则ON=_1,AN=上.TOC\o"1-5"\h\z2222过点A作AM，直线AB,交x轴于点M,则由题意易知，4AMN为等腰直角三角形,R1SMN=AN=」，OM=ON+MN=—+2=3,HYPERLINK\l"bookmark26"\o"CurrentDocument"222.•.M（3,0）.设直线AM的解析式为：y=kx+b,Gk+b」则：2KD2,解得lsk4b=0，直线AM的解析式为：y=-x+3①又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6②联立①②式，解得：x=3或x=1（与点A重合，舍去）2•.C(3,0),即点C、M点重合.当x=3时，y=x+2=5,iii)若点C为直角顶点，则ZACP=90y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,•,・抛物线的对称轴为直线x=2.如答图3-2,作点A（关于对称轴x=2的对称点C,则点C在抛物线上，且C（5*）.当x=-L时,y=x+2=-H.711・•.P2(」，*.22•・•点P1（3,5）、P2（工豆）均在线段AB上，22・•.综上所述，APAC为直角三角形时，点P的坐标为（3,5）或（工，H）.22\【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识.3.（2007?玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1,0）,直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3,4）,B点在y轴上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】（1）因为直线y=x+m过点A,将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3,4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0vxv3;（3）先假设存在点P,根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标,则证明存在点P,否则P点不存在.【解答】解：（1）二•点A（3,4）在直线y=x+m上，4=3+m.m=1.设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.•・•点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上,4=a(3-1),a=1.・•・所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x2-2x+1.第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)(2)设P、E两点的纵坐标分别为yp和yE.PE=h=yP—yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.即h=-x2+3x(0vxv3).(3)存在.解法1:要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.・・点D在直线y=x+1上，••点D的坐标为(1,2),x2+3x=2.即x2-3x+2=0.解之，得xi=2,x2=1(不合题意，舍去)•・当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.解法2:要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP//CE.设直线CE的函数关系式为y=x+b.•・直线CE经过点C(1,0),.•-0=1+b,.b=-1.•••直线CE的函数关系式为y=x-1.J-2肝1得x2-3x+2=0.解之，得x1=2,x2=1(不合题意，舍去)・•・当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；(3)是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算.4.(2013?凉山州)如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a加)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点巳交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长；(3)在(2)的条件下，连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和4AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断4PCM的形状；若不存在，请说明理由.y【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)将A(3,0),C(0,4)代入y=ax2-2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；(3)由于/PFC和/AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和4AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFCs^AEM,②△CFPs^aem；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出4PCM的形状.【解答】解：(1),「抛物线y=ax2-2ax+c(a加)经过点A(3,0),点C(0,4),解得.•・抛物线的解析式为y=-42+|x+4；33(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,.A(3,0),点C(0,4),3k+b=0b二4・♦・直线AC的解析式为y=-7-x+4.•・•点M的横坐标为m,点M在AC上，一41.M点的坐标为(m,-1m+4),"J,一点P的横坐标为m,点P在抛物线y=-得x2+^x+4上，，点P的坐标为(m,--：m2+gm+4),JJ•.PM=PE—ME=(—m+4)m+4)=-gm2+4m,第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共98页）即PM=-2m2+4m(0Vmv3);3（3）在（2）的条件下，连结PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使彳导以P、C、F为顶点的三角形和4AEM相似.理由如下：由题意，可得AE=3-m,EM=-4m+4,CF=m,若以P、C、F为顶点的三角形和AAEM3相似，情况:①P点在F上，PF=-&2+/+4-4=-/2泻m.若^PFC^AAEM,贝UPF:AE=FC:EM,即（一Mm2+4m）:忖3「m4且m与，4(3—m)=m：(——m+4),一m=2316•.△PFC^AAEM/PCF=ZAME,•••/AME=/CMF,/PCF=ZCMF.在直角ACMF中，•••/CMF+/MCF=90°,•••/PCF+ZMCF=90°,即/PCM=90°,・•.△PCM为直角三角形；②P点在F下，PF=4一（一Q+三m+4)=、m2-m33若△PFCs^AEM,贝UPF:AE=FC:EM4.即(*m2—£m)：(3—m)=m：(-Jm+4),3一m=41芸（不合题意舍去）.16/CFP=90°,/CPM=/CFP+FCM>90°,・•.△CPM为钝角三角形；③若△CFPs^AEM,则CF:AE=PF:EM,即m：(3—m)=(--im^-^m)：(—2m+4)R-?1"J1.m4且m与，.m=1.△cfp^aaem,./CPF=ZAME,•/AME=/CMF,./CPF=ZCMF.J2：：，CP=CM,・•.△PCM为等腰三角形.综上所述，存在这样的点P使4PFC与4AEM相似.此时m的值为零或1,△PCM为直角三角形或等腰三角形.【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中.要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解.5.(2009?某江县)如图，已知抛物线y=a(x-1)2+36(a为)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM//AD.过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上，连接BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题._【分析】(1)将A的坐标代入抛物线y=a(x-1)2+3\/1(a为)可得a的值，即可得到抛物线的解析式；(2)易得D的坐标，过D作DNLOB于N;进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3）根据（2）的结论，易得^OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长.【解答】解：（1）二.抛物线y=a（x-1）2+3行（a用）经过点A（-2,0）,，0=9a+3仍，a=-"'（1分）3・♦•二次函数的解析式为：y=—"x2+2Z3x+犯3;（3分）TOC\o"1-5"\h\z333（2）①:口为抛物线的顶点，••D（1,3、,后,_过D作DN，OB于N,则DN=3QAN=3,•.・池=雨2+」=6,，/DAO=60°.（4分）OM//AD,①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，.•.OP=6,•.t=6（s）.（5分）②当DP^OM时，四边形DAOP是直角梯形，过。作OH，AD于H,AO=2,则AH=1（如果没求出/DAO=60可由RtAOHAsRtADNA（求AH=1）.•.OP=DH=5,t=5（s）（6分）③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：△AOH^^DPP',•.AH=CP,.•.OP=AD-2AH=6-2=4,..t=4（s）综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7分）OB=OC=AD=6,OP=t,（3）由（2）及已知，ZCOB=60°,OC=OB,AOCB是等边三角形则BQ=2t,.•.OQ=6-2t（0vt<3）过P作PEXOQ于EVs则PE=±2t（8分）2一（6-2t）（9分）:2一T（t谒）当,四边形BCPQ的面积最小值为.（10分）•••SBCPQ=4>6>3E..此时OQ=3,OP=1,OE=j；・―猾。E¥pq=NPE2+QE2=J+（11分）【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力.6.(2013以水)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a为)经过A(3,0)、B(4,4)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标；(3)如图2,若点N在抛物线上，且/NBO=/ABO,则在(2)的条件下，求出所有满足△PODs^NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)./图1图2【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可；(2)根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m.由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标；(3)综合利用几何变换和相似关系求解.方法一：翻折变换，将^NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将^NOB绕原点顺时针旋转90°.特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=-x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解.第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共98页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)【解答】解：(1)•.•抛物线，将A与B两点坐标代入得:解得：,[b=-32，抛物线的解析式是y=x-y=ax2+bx(a加)经过A(3,0)、B(4,9a+3b=04)3x.(2)设直线OB的解析式为y=kix,由点B(4,4),得：4=4ki,解得：ki=l・•・直线OB的解析式为y=x,，直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m,・•点D在抛物线y=x2-3x上，可设D(x,x2-3x),又丁点D在直线y=x-m上，.,.x2-3x=x-m,即x2-4x+m=0,••抛物线与直线只有一个公共点，・△=16—4m=0)解得：m=4,此时xi=x2=2,y=x2-3x=-2,.D点的坐标为(2,-2).(3)二•直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),，点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3),根据轴对称性质和三线合一性质得出/ABO=/ABO,设直线AB的解析式为y=k2x+3,过点(4,4),-4k2+3=4,解得：k2=4，4♦・直线AB的解析式是丫==对3，••ZNBO=ZABO,/A'BO=/ABO,•.BA和BN重合，即点N在直线AB上，丁.设点N(n,+3),又点N在抛物线y=x2-3x上,「,伺门+3=门-3n,解得：ni=n2=4(不合题意，舍去)•.N点的坐标为(-方法一：如图i,W△NOB沿x轴翻折，得到△NiOBi,则Ni(—±-&)，B1(4,—4),416•・O、D、B1都在直线y=-x上..△PlODs^NOB,ANOB^ANlOBl,•.△PlOD^ANlOBl,0PlOD」ON^=OB7=2・・点Pi的坐标为（一£一黑）.832将^OPiD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2（坐，三）,□ZO综上所述，点P的坐标是（-三-里）或（里，2）.832328方法二：如图2,W△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,则N2(尊马，B2(4,—4),16||4・•・O、D、Bi都在直线y=-x上.-.△PiOD^ANOB,ANOB^AN2OB2,•.△PiOD^AN2OB2,°F匚加"函二函下453「•点P1的坐标为（-T）.-里）32JZo将^OPiD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2（综上所述，点P的坐标是（45324532'方法三：•・直线OB：y=x是一三象限平分线，.A（3,0）关于直线OB的对称点为A'（0,3）,L1¥=7工+33N(一，卜0得：xi=4（舍），x2=,4516-D(2,—2),..lOD:y=-x,lOD：y=x,•••ODXOB,•.△PODs^NOB,•.N—）旋转90°后N1（更，乜）或N关于x轴对称点N2（-2，--[416164同,.OB=4逅OD=2点，OD^JJOBON2•••P为ON1或ON2中点，••P1BiP2（-l-f-【点评】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 .本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题.7.(2014剂南)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=--x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过4点P作PF±x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)(2)若PE=5EF,求m的值；(3)若点E'是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E落在y轴上？若存在,请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】代数几何综合题；压轴题.【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF,然后列方程求解；(3)解题关键是识别出当四边形PECE'是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解;当四边形PECE是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标.【解答】方法一：解：(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：-1-b+c=O-25+5b+c=0，抛物线的解析式为：y=-x2+4x+5.(2).••点P的横坐标为m,•.P(m,-m2+4m+5),E(m,-m+3),F(m,0).4PE=|yp-yE|=|(-m2+4m+5)EF=|yE-yF|=|(m+3)-0|=|(—-m+3)|=|-mm+2|,4m+3|-由题意，PE=5EF,即：|-m2+-^m+2|=5|--m+3|=|--^m+15|①若-m2+¥m+2=一~^m+15,整理得：2m2-17m+26=0,解得：m=2或m=i^;②若-m2+#m+2=-(-J^m+15),整理得：m2-m-17=0,解得：m=或m=.2\2由题意，m的取值范围为：-1vm<5,故m=Hm=匕晅这两个解均舍去.\2|2.m=2或m=±M92(3)假设存在.作出示意图如下:・•点E、E'关于直线PC对称，Z1=Z2,CE=CEPE=PE'..「PE平行于y轴,，/1=/3,，/2=/3,PE=CE,•.PE=CE=PE=CE即四边形PECE'是菱形.当四边形PECE是菱形存在时，由直线CD解析式y=-Wx+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.4过点E作EM//x轴，交y轴于点M,易得△CEMs^CDO,..悭旦:即上吐乌，解得CE』|m|,TOC\o"1-5"\h\zODCD45411.•.PE=CE=-|m|,又由(2)可知：PE=|-m2+^m+2|44■•|-m2+—m+2|=—|m|.44若-m2+岂m+2=^m,整理得：2m2-7m-4=0,解得m=4或m=;442若一m2+¥m+2=—*m,整理得：m2—6m―2=0,解得mi=3+f]A,m2=3-a/TT.44由题意，m的取值范围为：-1vmv5,故m=3+JU这个解舍去.当四边形PECE是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0,E,C,E'三点重合与y轴上，菱形不存在.综上所述，存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(-4,—),(4,5),(3-V11,2m24-3)方法二：(1)略.第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共98页）第PAGE\*MERGEFORMAT#页（共98页）(2)略.(3)若E关于直线PC的对称点E在y轴上，则直线CD与直线CE关于PC轴对称.，点D关于直线PC的对称点D也在y轴上，.-.DD±CP,,x+3,4.•.D(4,0),CD=5,•.OC=3,.•.OD=8或OD=2,①当OD=8时，D'(0,8),设P(t,-t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),•.PCXDD；KPCXKDD=-1,-t_3S_0-x---=-Ltq2t-7t-4=0,••.tl=4,t2=工，2②当OD=2时，D'(0,-2),设P(t,-t、+4t+5),•.PCXDD；KpcXKdd=-1,.-计5-3。+2,一乂二—7~一1，t4一0「.ti=3+\/lI,t2=3-•・•点P是x轴上方的抛物线上一动点，「•-1vtv5,.二点P的坐标为(-三，---),(4,5),(3-4]],2V11-3).24【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用.需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算.8.（2013?德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点，OA=1,tan/BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当4CEF与ACOD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P,使4PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当/CEF=90°时，当/CFE=90时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N,根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据Sapcd=Sapcn+Sapdn就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论.【解答】解：（1）在RtAAOB中，OA=1,tanZBAO=—=3,OA.•.OB=3OA=3.•••△DOC是由^AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，.-.△DOC^AAOB,.•.OC=OB=3,OD=OA=1,・•・A、B、C的坐标分别为（1,0）,（0,3）（-3,0）.代入解析式为9a_3b+c=0解得:，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;（2）①二•抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,「.对称轴1=-'=-1,2a・•.E点的坐标为（-1,0）.如图，当/CEF=90°时，△CEFs^COD.此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点,P(T,4);当/CFE=90°时，△CFEs^cOD,过点P作PM^x轴于点M,则△EFCs^EMP.,MFFCCIC3.•.MP=3EM.•••P的横坐标为t,.•.P(t,-t2-2t+3)..P在第二象限，PM=-t2-2t+3,EM=-1-t,-t2-2t+3=—(t—1)(t+3),解得：t1=-2,t2=-3(因为P与C重合，所以舍去)t=—2时，y=-(—2)2—2X(—2)+3=3.・•・P（-2,3）.・•・当4CEF与ACOD相似时，P点的坐标为：（-1,4）或（-2,3）;②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意，得・♦・直线CD的解析式为:设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为（t,.•.NM=—t+1.3PN=PM-NM=-t2-2t+3-Sapcd=Sapcn+Sapdn,•■•Sapcd=^PN?CM+-^PN?OM=1PN(CM+OM)=-PN?OC=7；＞3(-t2-Jt+2)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)第PAGE\*MERGEFORMAT#页(共98页)24121~24'当t=-'时，Sapcd的最大值为a【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点.9.(2013剂南)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-3jx+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3,^).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE±x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.(3)若存在点P,使/PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.【分析】(1)首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)本问采用数形结合的数学思想求解.将直线y=lx+2沿y轴向上或向下平移2个单位2之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点.由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个.联立解析式解方程组，即可求出m的值；(3)本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解.在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标.【解答】解：(1)在直线解析式y=—x+2中，令x=0,得y=2,2••C(0,2).•・•点C(0,2)、D(3,§在抛物线y=-x2+bx+c上,式二2-9+3b+『工2解得b=—,c=2,2.•・抛物线的解析式为:(2)•「PF//OC,且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形,PF=OC=2,••・将直线y=-x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线,即为所求之交点.由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个.将直线y=-x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=L+4,22|[Hx+4—I联立之一2F-x-4^x42解得xi=1,x2=2,•・m1=1,m2=2;将直线y=-x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=^x,与抛物线y轴右侧的交点,解得x3=界；1：x4