专题训练4特殊平行四边形中的五种折叠方式

专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 训练(四)　特殊平行四边形中的五种折叠方式►　方式一　把一个顶点折叠到一边上1．如图4－ZT－1，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．假设AE＝5，BF＝3，则CD的长是()A．7B．8C．9D．10图4－ZT－12．如图4－ZT－2，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在边AB，BC上，△BEF沿EF折叠得到△GEF，且点G在边AD上．假设EG⊥AC，AB＝6eq\r(2)，则FG的长为________．图4－ZT－23．如图4－ZT－3，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)假设CD＝8，CF＝4，求eq\f(CE,DE)的值．图4－ZT－3►　方式二　把一个顶点折叠到对角线上4．如图4－ZT－4所示，矩形纸片ABCD中，AD＝8，折叠纸片使点B落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()A．3B．4C．5D．6图4－ZT－45．如图4－ZT－5所示，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且点D落在对角线上的点D′处．假设AB＝3，AD＝4，则ED的长为()A.eq\f(3,2)B．3C．1D.eq\f(4,3)图4－ZT－5►　方式三　把一个顶点折叠到另一个顶点上6．把一矩形纸片ABCD按图4－ZT－6所示方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，假设AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠局部△DEF的面积为______cm2.图4－ZT－67．如图4－ZT－7所示，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出a，b，c三者之间的数量关系，并说明理由．图4－ZT－7►　方式四　把一个顶点折叠到图形外或图形8．如图4－ZT－8，正方形ABCD的对角线长为2eq\r(2)，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影局部的周长为()A．8eq\r(2)B．4eq\r(2)C．8D．6图4－ZT－89．如图4－ZT－9，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是()A．2eq\r(10)－2B．6C．2eq\r(13)－2D．4图4－ZT－910．如图4－ZT－10，矩形ABCD中，点P，Q分别是边AD和BC的中点，沿过点C的直线折叠矩形ABCD，使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ于点G.假设线段BC的长为3，则线段FG的长为________．图4－ZT－1011．如图4－ZT－11，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP.(1)求证：四边形AECF为平行四边形；(2)假设△AEP是等边三角形，求证：△APB≌△EPC；(3)假设矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．图4－ZT－11►　方式五　屡次折叠12．2018·资阳如图4－ZT－12，将矩形ABCD的四个角向翻折后，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，EH＝12cm，EF＝16cm，则边AD的长是()A．12cmB．16cmC．20cmD．28cm图4－ZT－1213．准备一矩形纸片ABCD，按如图4－ZT－13所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)假设四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．图4－ZT－1314．如图4－ZT－14①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平；沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处；再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)AF＝eq\r(2)，求AD和AB的长．图4－ZT－14详解详析1．[解析]C　由折叠的性质得EF＝AE＝5.由勾股定理得BE＝4，∴AB＝CD＝9.2．[答案]3eq\r(6)[解析]∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∠BAC＝60°.∵EG⊥AC，∴∠AEG＝30°.由折叠可知，∠BEF＝eq\f(1,2)×(180°－∠AEG)＝75°，∴∠BFE＝180°－(∠B＋∠BEF)＝45°.∴∠BFG＝90°，即FG⊥BC.∴FG＝BC边上的高＝3eq\r(6).3．解：(1)证明：由折叠的性质得∠1＝∠2，ED＝EF，GD＝GF.∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，则∠2＝∠3，∴EF＝GF，(方法一)(如图①)∴ED＝EF＝GD＝GF，∴四边形DEFG为菱形．(方法二)(如图①)∴ED＝GF.又∵ED∥GF，∴四边形DEFG为平行四边形．又∵EF＝GF，∴▱DEFG为菱形．(方法三)连接DF交AE于点O(如图②)，则EG⊥DF，DO＝FO.∵EF＝GF，EG⊥DF，∴OG＝OE，∴四边形DEFG为平行四边形，∴▱DEFG为菱形．(2)设DE＝*，则FE＝DE＝*，CE＝8－*.在Rt△EFC中，CF2＋CE2＝EF2，即42＋(8－*)2＝*2，解得*＝5，∴CE＝8－*＝3，∴eq\f(CE,DE)＝eq\f(3,5).4．[答案]D5．[答案]A6．[答案]eq\f(51,10)[解析]设ED＝*cm，则根据折叠和矩形的性质，得A′E＝AE＝(5－*)cm，A′D＝AB＝3cm.根据勾股定理，得ED2＝A′E2＋A′D2，即*2＝(5－*)2＋32，解得*＝eq\f(17,5)，∴S△DEF＝eq\f(1,2)×eq\f(17,5)×3＝eq\f(51,10)(cm2)．7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.由折叠的性质，可得∠AFE＝∠CFE，AF＝CF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE，∴AF＝CF＝AE.又∵AD′＝CD，∠D′＝∠D，D′E＝DE，∴△AD′E≌△CDE，∴AE＝CE，∴AF＝CF＝AE＝CE，∴四边形AFCE为菱形．(2)a，b，c三者之间的数量关系为a2＝b2＋c2.理由如下：由(1)知CE＝AE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，∴CE＝AE＝a.在Rt△DCE中，CE2＝ED2＋DC2，即a2＝b2＋c2.8．[答案]C9．[答案]A10．[答案]eq\r(3)[解析]由折叠可知△CEF≌△CEB，∴FC＝BC＝3，∠ECF＝∠ECB.由P，Q分别是矩形ABCD的边AD，BC的中点，得∠FQC＝90°.∵QC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)FC，∴∠CFQ＝30°，∴∠FCQ＝60°，∴∠ECB＝∠ECF＝∠CFQ＝30°，∴FG＝CG＝eq\r(3).11．解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥DC.∵E为AB的中点，∴AE＝BE.又由翻折知：EC⊥BP，EP＝EB＝AE，∴∠EAP＝∠EPA，∠EPB＝∠EBP.在△ABP中，∠EAP＋∠EPA＋∠EPB＋∠EBP＝180°，∴∠EPA＋∠EPB＝∠APB＝90°，∴EC∥AF，∴四边形AECF为平行四边形．(2)证明：∵△AEP是等边三角形，∴AP＝EP＝AE，∠PAB＝∠AEP＝∠APE＝60°，∴∠PEC＝∠BEC＝60°.由折叠的性质，得∠EPC＝∠EBC＝90°.由(1)知∠APB＝90°，∴∠APB＝∠EPC，∴△APB≌△EPC.(3)∵AB＝6，BC＝4，E是AB边的中点，∴AE＝BE＝eq\f(1,2)AB＝3.在Rt△BEC中，EC＝eq\r(BE2＋BC2)＝5，∵四边形AECF为平行四边形，∴AF＝EC＝5.如图，设CE与BP交于点H.∵BE·BC＝EC·BH，∴BH＝eq\f(12,5)，∴PH＝BH＝eq\f(12,5)，∴BP＝eq\f(24,5).在Rt△BPA中，AP＝eq\r(AB2－BP2)＝eq\f(18,5)，∴PF＝eq\f(7,5).过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G，∴CG＝PH＝eq\f(12,5)，∴△CPF的面积＝eq\f(1,2)PF·CG＝eq\f(1,2)×eq\f(7,5)×eq\f(12,5)＝eq\f(42,25).[点评](1)抓住翻折图形的特点：对应边相等，对应角相等．进而抓住AE＝BE＝PE的图形特点——A，P，B三点构成的三角形是直角三角形．(2)本问考察等边三角形的性质、三角形角和、全等三角形的判定等知识．(3)本问考察了平行四边形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识．12．[解析]C　设点A，B折叠后的对应点为M，∵∠HEM＝∠HEA，∠FEB＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝eq\f(1,2)(∠AEM＋∠BEM)＝eq\f(1,2)×180°＝90°.同理，∠EHG＝∠HGF＝90°，∴四边形EFGH为矩形，∴EF＝HG.∵AD∥BC，∴∠DHF＝∠HFB，∴∠DHG＝∠BFE，∴Rt△BEF≌Rt△DGH，∴BF＝HD.∵HA＝HM，BF＝MF，∴HD＝MF，∴AD＝HA＋HD＝HM＋MF＝HF＝eq\r(EH2＋EF2)＝eq\r(122＋162)＝20(cm)．应选C.13．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF.又∵ED∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．(2)∵四边形BFDE是菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°.∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝eq\f(2\r(3),3)，BF＝BE＝2AE＝eq\f(4\r(3),3)，∴菱形BFDE的面积为eq\f(4\r(3),3)×2＝eq\f(8\r(3),3).14．解：(1)证明：当DE是折痕时，DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC＝∠AED，∴AD＝AE.当EF是折痕时，AE＝EG，∴AD＝EG.当CE是折痕时，CH＝BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴EG＝CH.(2)∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝eq\r(2)，∴DG＝FG＝AF＝eq\r(2)，DF＝2，∴AD＝AF＋DF＝eq\r(2)＋2.由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°.∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝AD＝BC，∴△AEF≌△BCE，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝(eq\r(2)＋2)＋eq\r(2)＝2eq\r(2)＋2.