PAGEPAGE18.6双曲线[课时跟踪检测] [基础达标]1．(2017届合肥质检)若双曲线C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1与C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4eq\r(5)，则b＝( )A．2B．4C．6D．8解析：由题意得eq\f(b,a)＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4eq\r(5)⇒c＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5)⇒b＝4，故选B.答案：B2．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为( )A．y＝±2xB．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±eq\f(\r(2),2)x解析：由条件e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝3，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.故选B.答案：B3．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4，则双曲线C的离心率为( )A.eq\f(\r(10),2)B．eq\r(5)C.eq\f(5,2)D．5解析：依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝eq\r(|PF2|2＋|PF1|2)＝5，因此该双曲线的离心率e＝eq\f(|F1F2|,|PF2|－|PF1|)＝5.答案：D4．(2017届长春质检)过双曲线x2－eq\f(y2,15)＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )A．10B．13C．16D．19解析：由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.答案：B5．(2018届河南六市第一次联考)已知点F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A．2B．4C.eq\r(13)D．eq\r(15)解析：由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2.∵|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a.又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(13).答案：C6．(2018届合肥市第二次质量检测)双曲线M：x2－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则点P的横坐标为( )A.eq\f(\r(3)＋1,2)B．eq\f(\r(3)＋2,2)C.eq\f(\r(3)＋3,2)D．eq\f(3\r(3),2)解析：由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋eq\r(3).易知△POF2为等边三角形，则xP＝eq\f(c,2)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，选项A正确．答案：A7．(2018届湖南十校联考)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与直线x＝eq\f(a2,c)分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB<90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的两条渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，x＝eq\f(a2,c)时，y＝±eq\f(ab,c)，不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，－\f(ab,c)))，因为60°<∠AFB<90°，所以eq\f(\r(3),3)|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2eq\r(5)，①又|PA|2＋|PB|2＝36，②联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2eq\r(13).答案：2eq\r(13)9．(2017年全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解析：∵|AM|＝|AN|＝b，∠MAN＝60°，∴△MAN是等边三角形，∴在△MAN中，MN上的高h＝eq\f(\r(3),2)b.∵点A(a,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(ab,c)，∴eq\f(ab,c)＝eq\f(\r(3),2)b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)10．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝eq\f(8,3)a，|PF2|＝eq\f(2,3)a，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)＝eq\f(17,8)－eq\f(9,8)e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，当F1、P、F2三点共线时，即∠F1PF2＝π时，cos∠F1PF2有最小值为－1，∴cos∠F1PF2＝eq\f(17,8)－eq\f(9,8)e2≥－1，解得10，b>0)的左、右顶点，|AB|＝4eq\r(3)，焦点到渐近线的距离为eq\r(3).(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝eq\f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝teq\o(OD,\s\up6(→))，求t的值及点D的坐标．解：(1)由题意知a＝2eq\r(3)，∵一条渐近线为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0.∴由焦点到渐近线的距离为eq\r(3)，得eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq\r(3).又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程y＝eq\f(\r(3),3)x－2代入双曲线方程eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1得x2－16eq\r(3)x＋84＝0，则x1＋x2＝16eq\r(3)，y1＋y2＝eq\f(\r(3),3)(x1＋x2)－4＝12.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\o\al(2,0),12)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))∴t＝4，点D的坐标为(4eq\r(3)，3)．12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(－7，5)，B(－1，－1)两点．(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l：y＝x＋m交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2＋y2－12x＋n＝0(n∈R)三等分，求实数m，n的值．解：(1)设双曲线C的方程是λx2＋μy2＝1(λμ<0)，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(49λ＋25μ＝1，,λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2，))所以双曲线C的方程是2y2－x2＝1.(2)将l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1，得x2＋4mx＋(2m2－1)＝0，①Δ＝(4m)2－4(2m2－1)＝8m2＋4>0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x1＋x2＝－4m，所以x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－2m，y0＝x0＋m＝－m，所以P(－2m，－m)．又圆心E(6,0)，依题意kPE＝－1，故eq\f(m,6＋2m)＝－1，即m＝－2.将m＝－2代入①得x2－8x＋7＝0，解得x1＝1，x2＝7，所以|MN|＝eq\r(1＋12)|x1－x2|＝6eq\r(2).故直线l截圆E所得弦长为eq\f(1,3)|MN|＝2eq\r(2).又E(6,0)到直线l的距离d＝2eq\r(2)，所以圆E的半径R＝eq\r(2\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(10)，所以圆E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0.所以m＝－2，n＝26.[能力提升]1．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解：(1)∵双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，∴双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦点为F2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－3)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3，))得5x2＋6x－27＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(6,5)，x1x2＝－eq\f(27,5).所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,5))))＝eq\f(16\r(3),5).2．已知椭圆C1的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故双曲线C2的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)将y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝－6\r(2)k2＋361－3k2＝361－k2>0，))∴k2<1且k2≠eq\f(1,3).①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq\f(－9,1－3k2).∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq\r(2))(kx2＋eq\r(2))＝(k2＋1)x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq\f(3k2＋7,3k2－1).又∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))>2，即x1x2＋y1y2>2，∴eq\f(3k2＋7,3k2－1)>2，即eq\f(－3k2＋9,3k2－1)>0，解得eq\f(1,3)
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