《一元二次方程》单元测试卷

《一元二次方程》单元测试卷《一元二次方程》单元测试卷PAGE第PAGE14页（共NUMPAGES14页）《一元二次方程》单元测试卷《一元二次方程》单元测试卷时间：70分钟满分：100分一、选择题（每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（　　）A．﹣x=9B．x3﹣x2+40=0C．=3D．3x3﹣2xy+y2=02．（3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（　　）A．（x+2）2=3B．（x﹣2）2=3C．（x﹣2）2=5D．（x+2）2=53．（3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（　　）A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=04．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解是（　　）A．2B．﹣2，1C．﹣1D．2，﹣15．（3分）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）A．13B．11或13C．11D．126．（3分）长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2013年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为x，根据题意可列方程（　　）A．2100（1+x）=2541B．2541（1﹣x）2=2100C．2100（1+x）2=2541D．2541（1﹣x2）=2100二、填空题（每小题3分，共15分）7．（3分）一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是　　．8．（3分）方程（x﹣3）2﹣9=0的解为　　．9．（3分）若方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2﹣x1=　　．10．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　．11．（3分）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　　．　三、解答题（共67分）12．用适当方法解方程．（1）x2﹣2x=2x+1（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8（3）x2﹣2x=5（4）2（x﹣3）=3x（x﹣3）13．若方程（m﹣1）+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程，求m的值．14．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．15．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式（ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？16．如图①：要 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？如图②：用含x的代数式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示：AB=　　cm；AD=　　cm；矩形ABCD的面积为　　cm2；列出方程并完成本题解答．17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？　参考答案与试题解析　一、选择题（每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（　　）A．﹣x=9B．x3﹣x2+40=0C．=3D．3x3﹣2xy+y2=0【解答】解：A、﹣x=9为一元二次方程；B、x3﹣x2+40=0为一元三次方程；C、=3为分式方程；D、3x3﹣2xy+y2=0为二元二次方程．故选A．　2．（3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（　　）A．（x+2）2=3B．（x﹣2）2=3C．（x﹣2）2=5D．（x+2）2=5【解答】解：方程移项得：x2+4x=﹣1，配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．故选A．　3．（3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（　　）A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0【解答】解：A、x2+2x﹣4=0，∵a=1，b=2，c=﹣4，∴b2﹣4ac=4+16=20＞0，设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=﹣=﹣2，本选项不合题意；B、x2﹣4x+4=0，∵a=1，b=﹣4，c=4，∴b2﹣4ac=16﹣16=0，设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=﹣=4，本选项不合题意；C、x2+4x+10=0，∵a=1，b=4，c=10，∴b2﹣4ac=16﹣40=﹣24＜0，即原方程无解，本选项不合题意；D、x2+4x﹣5=0，∵a=1，b=4，c=﹣5，∴b2﹣4ac=16+20=36＞0，设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=﹣=﹣4，本选项符合题意，故选D　4．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解是（　　）A．2B．﹣2，1C．﹣1D．2，﹣1【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2=0，（x﹣2）（x+1）=0，所以，x﹣2=0，x+1=0，解得x1=2，x2=﹣1．故选：D．　5．（3分）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）A．13B．11或13C．11D．12【解答】解：∵x2﹣8x+15=0，∴（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，即x1=3，x2=5，∵一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴当底边长和腰长分别为3和5时，3+3＞5，∴△ABC的周长为：3+3+5=11；∴当底边长和腰长分别为5和3时，3+5＞5，∴△ABC的周长为：3+5+5=13；∴△ABC的周长为：11或13．故选B．　6．（3分）长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2013年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为x，根据题意可列方程（　　）A．2100（1+x）=2541B．2541（1﹣x）2=2100C．2100（1+x）2=2541D．2541（1﹣x2）=2100【解答】解：设这两年平均增长率为x，根据题意得：2100（1+x）2=2541，故选：C．　二、填空题（每小题3分，共18分）7．（3分）一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是　2　．【解答】解：一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是：2．故答案为：2．　8．（3分）方程（x﹣3）2﹣9=0的解为　x1=6，x2=0　．【解答】解：由原方程移项，得（x﹣3）2=9，开平方，得x﹣3=±3，所以x=3±3，解得x1=6，x2=0．故答案是：x1=6，x2=0．　9．（3分）若方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2﹣x1=　1　．【解答】解：∵x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，∵x1＜x2，∴解得：x1=0，x2=1，则x2﹣x1=1﹣0=1．故答案为：1．　10．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜且k≠0　．【解答】解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．　11．（3分）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　a≥﹣1　．【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．　12．（3分）某种传染性牛疾在牛群中传播迅猛，平均一头牛每隔6小时能传染m头牛，现知一养牛场有a头牛染有此病，那么12小时后共有　am2+2am+a　头牛染上此病（用含a、m的代数式表示）．【解答】解：∵平均一头羊每隔6小时能传染a头羊，∴12小时能传染两轮，根据题意得：a+ma+m（a+ma）=am2+2am+a，故答案为：am2+2am+a．　三、解答题（每小题0分，共64分）13．用适当方法解方程．（1）x2﹣2x=2x+1（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8（3）x2﹣2x=5（4）2（x﹣3）=3x（x﹣3）【解答】解：（1）x2﹣4x=1，x2﹣4x+4=5，（x﹣2）2=5，x﹣2=±，所以x1=2+，x2=2﹣；（2）x2+2x﹣3=0，（x+3）（x﹣1）=0，x+3=0或x﹣1=0，所以x1=﹣3，x2=1；（3）x2﹣2x+1=6，（x﹣1）2=6，x﹣1=±，所以x1=1+，x2=1﹣；（4）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，所以x1=3，x2=．　14．若方程（m﹣1）+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程，求m的值．【解答】解：∵方程（m﹣1）+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程，∴m2+1=2，m﹣1≠0，解得：m=±1，m≠1，则m=﹣1．　15．已知a是方程x2﹣2013x+1=0的一个根，求代数式a2﹣2012a+的值．【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1=0的一个根，∴a2﹣2013a+1=0，∴a2=2013a﹣1，∴原式=2013a﹣1﹣2012a+=a+﹣1=﹣1=﹣1=2013﹣1=2012．　16．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．　17．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式（答案只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式．（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x=2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．　18．如图①：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？如图②：用含x的代数式表示：AB=　（20﹣6x）　cm；AD=　（30﹣4x）　cm；矩形ABCD的面积为　（24x2﹣260x+600）　cm2；列出方程并完成本题解答．【解答】解：可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．则AB=（20﹣6x）cm，AD=（30﹣4x）cm，矩形的面积=（20﹣6x）（30﹣4x）=24x2﹣260x+600；故答案是：（20﹣6x），（30﹣4x），（24x2﹣260x+600）；根据题意，得24x2﹣260x+600=（1﹣）×20×30，整理，得6x2﹣65x+50=0，解方程，得x1=，x2=10（不合题意，舍去），则2x=，3x=，答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm，cm．　19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理得2x2﹣60x+400=0解得x1=20，x2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]=﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．　20．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=，t2=．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．