圆心角一知识讲解(提高)责编：康红梅【学习目标】了解圆心角的概念；掌握弧、弦和圆心角定理及其推论，并能解决有矢问题；掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆心角与弧的定义•圆心角定义：顶点在心的角叫做圆心角•如图所示，/AOB就是个圆心角要点诠释：(D一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征;(2)圆心角/AOB所对的弦为线段AB所对的弧为弧AB.2.广的弧的定义1。的圆心角所对的弧叫做要点诠释：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等•注意不是角与弧相等。即不能写成圆心角/AOB=在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等(即弯曲程度相等)要点二、圆心角定理及推论1・圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.要点诠释：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距•在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互矢联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）.★如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等【典型例题】类型一、圆心角定理及推论如图所示，已知AB是OO的直径,M、N分别是AO、BO的中点，CM丄AB,DN±AB.求证：AC=BD.【答案与解析】证法一：如图所示，连0C、0D，贝U0C=0D,11…0A=OB，且OMOA,ONOB,22OM=0N，而CM丄AB,DN±AB,RtACOM也RtADON,/COM=ZDON,AC=BD证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD.•/M是AO的中点，且CM丄AB,AC=OC,同理BD=OD，又0C=OD.…AC=BD,AC二BD\MONi【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理•本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的矢系，要证AD=BC，只需证AD二BC或证/AOD=ZBOC即可.【答案】120°举一反三：【变式】如图，弦AB把OO分成1：2的两部分，则圆心角/AOB的大小为类型二、圆心角定理与其他综合C2.（2016?厦门校级模拟）如图，/AOB=90°,CD是亦的三等分点，连接AB分别交于点巳F.OC,OD求证：AE=BF=CD.【思路点拨】连接AC,BD，根据/AOB=90得出/AOC的度数，由等腰三角形的性质求出/度数.根据SASOFE的定理得出厶ACO©ADCO，故可得出/ACO=/OCD，根据等角对等边可得出同理可得BF=BD，由此可得出AC=AE,结论.【答案与解析】
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：连接AC,BD,・••在OO中，半径OA丄OB,C、D为弧AB的三等分点，.•./AOC=J-/AOB=J-X90°=30°.33•/OA=OB,•••/OAB=/OBA=45°•••/AOC=/BOD=30°•••/OEF=/OAB+ZAOC=45°+30°=75°同理/OFE=75°•••C,D是：|的三等分点，•••AC=CD=BD,在厶ACO与厶DCO中，f0A=0D.ZA0C=ZB0D,t9C=0C・△ACO©ADCO（SAS）,•••/ACO=/OCD.・・・/OEF=/OAE+/AOE=45°3075°/OCD==75°•••/OEF=/OCD,CD//AB,•••/AEC=/OCD,•••/ACO=/AEC.AC=AE,同理，BF=BD.又・・・AC=CD=BD【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的尖系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，对的弦也相等是解答此题的矢键.举一反三：MD=ME.【变式】如图，M为OO上一点，弧MA=^MB,MD丄OA于D,ME丄OB于E,求证：【答案】证明：连接MO,•/I1.-,!•••/MOD=/MOE,又・・・MD丄OA于D,ME丄OB于E・MD=ME.3/•如图，扇形AOB的圆心角/AOB=90。半径为5,正方形CDEF内接于该扇形，则正方形CDEF的边长为【思路点拨】过0作0G丄EF,交CD于点H，连接0E.设DH=a，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得0G=3a，在RtAOEG中，根据勾股定理可得a的值，进一步得到正方形CDEF的边长为【答案】.不【解析】解：过0作0G丄EF，交CD于点H,连接0E,设DH=a,・・・四边形CDEF是正方形，•••0H丄CD,AOCD是等腰直角三角形，•••CH=DH=a,・・・/AOC=90°・CH=0H,0G=3a,在RtA0EG中，222222OE=GE+0G，即5=a4-（3a）,解得a=-*,2・CF=2a=i.故正方形CDEF的边长为故答案为：.〒•【总结升华】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的矢键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再逬行解答.举一反三：【变式】在oo中AB为弦，/AOB=90，点0到AB的距离为5,则OO的半径为【答案】5^24.如图，在OO中，AD=BC.（1）比较4与丨的长度，并证明你的结论;（2）求证：DE=BE.【思路点拨】（1）由AD=BC可得出匸二进而可得到-1=H;（2）由（1）的结论可得出AB=CD,根据全等三角形的判定定理可得出AADE©ACBE，故DE=BE，进而可求出答案.【答案与解析】证明：（1）TAD=BC,•“=H;（2）-H=11,AB=CD,在AADE与ACBE中，•••/DAB=/BCD,AD=BC，/ADC=/ABC,・△ADECBE,DE=BE,/AB=CD,DE=BE.【总结升华】本题考查的是圆心角、弧、弦的矢系及全等三角形的判定与性质、圆周角定理，涉及面较广.
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