任意角的概念与弧度制任意角的的三角函数 PPT

任意角的概念与弧度制任意角的的三角函数1、角的有关概念射线旋转象限角正角负角零角α+k·360o,k∈Z2、弧度的定义与公式(1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心角为1弧度的角,它的单位符号是____,读作_____、角α的弧度数公式|α|=(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°=rad②1rad=()°弧长公式弧长l=扇形面积公式S==单位长度rad弧度r|α|(2)公式:3、任意角的三角函数(1)定义:在平面直角坐标系中,设角α的终边与单位圆交于点P(u,v),则sinα=__,cosα=__,tanα=、(2)几何表示:三角函数线能够看作是三角函数的几何表示、正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0)、vu如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的_______,角α的_______与角α的_______、正弦线余弦线正切线4、特别角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0πsinα______cosα________tanα______010100-110判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)、(1)小于90°的角是锐角、()(2)锐角是第一象限角,反之亦然、()(3)与45°角终边相同的角可表示为k×360°+45°,k∈Z或2kπ+45°,k∈Z、()(4)将分针拨快10分钟,则分针转过的角度是60°、()(5)终边相同的角的同一三角函数值相等、()(6)点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α终边在第二象限、()【解析】(1)错误、负角小于90°但它不是锐角、(2)错误、第一象限角不一定是锐角,如-350°是第一象限角,但它不是锐角、(3)错误、不能表示成2kπ+45°,k∈Z,即角度与弧度不能混用、(4)错误、拨快分针时,分针顺时针旋转,应为-60°、(5)正确、由诱导公式(一)可知或由三角函数的定义可得、(6)正确、由已知得tanα＜0,cosα＜0,因此α为第二象限角、 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√1、终边落在第二象限的角可表示为()(A){α|90°+2kπ＜α＜180°+2kπ,k∈Z}(B){α|+2kπ＜α＜π+2kπ,k∈Z}(C){α|90°+k×180°＜α＜180°+k×180°,k∈Z}(D){α|+kπ＜α＜π+kπ,k∈Z}【解析】选B、A错,角度与弧度不能混用、C,D错,当k为奇数时不成立,故选B、2、已知sinθ＜0,tanθ＞0,那么角θ是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角【解析】选C、由sinθ＜0,则θ的终边在三、四象限,或y轴负半轴、由tanθ＞0,则θ的终边在一、三象限,故θ是第三象限角、3、已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为()(A)2(B)4(C)6(D)8【解析】选C、设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,则解得r=1,故l=|α|r=4×1=4,因此扇形周长为2r+l=2×1+4=6、4、已知角α终边上一点A(2,2),则tanα=______、【解析】答案:1考向1终边相同的角的表示【典例1】(1)若α是第三象限的角,则π-α是()(A)第一或第二象限的角(B)第一或第三象限的角(C)第二或第三象限的角(D)第二或第四象限的角(2)已知角α是第一象限角,确定2α,的终边所在的象限位置、【思路点拨】(1)由α为第三象限角求得π-α的范围,通过对k的奇偶性讨论可得解、(2)由α所在的象限写出角α的范围,从而得2α,的范围,最后确定终边所在的位置、【规范解答】(1)选B、由得故当k为偶数时π-α在第一象限,当k取奇数时π-在第三象限,故选B、(2)∵α是第一象限角,①k·4π＜2α＜k·4π+π,k∈Z,即2k·2π＜2α＜2k·2π+π,k∈Z,∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上、当k=2n(n∈Z)时,∴的终边在第一象限、当k=2n+1(n∈Z)时,即∴的终边在第三象限、综上可得的终边在第一象限或第三象限、【拓展提升】强化对终边相同角的表示与应用(1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k×360°,k∈Z的形式、(2)依照与α终边相同的角的表达式,能够写出一定范围内的角;也能够依照α的终边所在的象限,判断α的倍数角所在的象限或范围、(3)与α终边相同的角的表达式中一定是k×360°或k·2π,两种单位不能混用、【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上,则α与β的关系是________________、【解析】当α,β的终边重合时,β=α+k·2π,k∈Z、当α,β的终边互为反向延长线时,β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z、答案:β=α+k·2π,k∈Z或β=α+(2k+1)π,k∈Z考向2弧度制的应用【典例2】(1)已知扇形OAB的圆心角α为120°,半径r=6,求的长及扇形面积、(2)已知扇形周长为20,当扇形的圆心角为多大时,它有最大面积,最大面积是多少？【思路点拨】(1)将圆心角化为弧度,再利用弧度制下的弧长、面积公式求解、(2)利用扇形周长得半径与弧长的关系,将面积化为关于半径r的二次函数后求最值、【规范解答】(1)(2)由已知得l+2r=20,=10r-r2=-(r-5)2+25,因此r=5时,面积有最大值,且Smax=25,此时l=10,因此即当圆心角为2弧度时,面积有最大值25、【互动探究】本例题(1)中若求扇形的弧所在的弓形面积,又将如何求解？【解析】由题(1)解析得故弓形的面积为【拓展提升】弧度制应用的关注点(1)弧度制下,弧长l=|α|·r,扇形面积此时α为弧度、在角度制下,弧长扇形面积此时n为角度、(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形进行求解、【变式备选】已知半径为10的圆O中,弦|AB|的长为10、(1)求弦|AB|所对的圆心角α的大小、(2)求角α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S、【解析】(1)由⊙O的半径r=10=|AB|,知△AOB是等边三角形,(2)由(1)可知∴弧长l而考向3三角函数的定义【典例3】(1)(2013·安庆模拟)已知函数y=loga(x-1)+3(a>0且a≠1)的图像恒过点P,若角α的终边经过点P,则sin2α-2sinαcosα的值等于()(A)(B)(C)(D)(2)已知角α的终边上一点P(,m),m≠0,且求cosα,tanα的值、【思路点拨】(1)先确定点P的坐标,然后利用定义求出sinα,cosα即可、(2)先由并结合三角函数的定义建立关于参数m的方程,求出m的值,再依照定义求cosα,tanα、【规范解答】(1)选C、由题意知点P坐标为(2,3),故因此因此(2)由题设知∴r2=|OP|2=(-)2+m2(O为原点),从而因此3+m2=8,解得当时,当时,【互动探究】将本例题(2)中改为如何求sinα,cosα？【解析】由已知得,又得m=-1,【拓展提升】1、三角函数定义的推广在直角坐标系xOy中,设P(x,y)是角α终边上任意一点,且点P到原点O的距离|PO|＝r,则2、定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标时,可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义的推广求解、(2)已知角α的终边所在的直线方程时,可分两种情况先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题、若直线的倾斜角为特别角,也可直截了当写出角α的三角函数值、【变式备选】已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值、【解析】∵角α的终边在直线3x+4y=0上,∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则x=4t,y=-3t,当t＞0时,r=5t,当t＜0时,综上或【易错误区】三角函数定义中忽略分类讨论致误【典例】(2013·天津模拟)已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0),则sinθ=_______、【误区警示】本题易出现的错误是:由终边上一点求三角函数时,由于没有考虑参数的取值情况,即没有对a的取值进行分类讨论,而求出r=5a,从而导致结果错误、【规范解答】∵x=3a,y=4a,(1)当a＞0时,r=5a,(2)当a＜0时,r=-5a,答案:【考虑点评】1、任意角的三角函数的定义关于三角函数的定义,假如不是在单位圆中,设角α的终边经过点P(x,y),从而|OP|=r=则sinα=2、分类讨论思想的应用关于利用三角函数定义解题的题目中,假如含有参数,一定要考虑运用分类讨论解题、在分类讨论时要对参数的所有情况逐类讨论,最后要进行归纳总结、1、(2013·铜川模拟)假如点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那么角θ的终边所在象限是(　　)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选B、由点P在第三象限知因此故角θ的终边在第二象限、2、(2013·汉中模拟)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是()(A)2(B)(C)2sin1(D)sin2【解析】选B、过圆心作弦的垂线l,设半径为r,则故因此弧长l3、(2013·吉安模拟)P(3,y)为α终边上一点,则tanα=()(A)(B)(C)(D)【解析】选D、由题意知解得y=±4、当y=4时,当y=-4时,故选D、4、(2013·南昌模拟)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且则y=_______、【解析】由P(4,y)是角θ终边上一点,且可知y＜0,依照任意角的三角函数的定义得化简得y2=64,解得y=-8、答案:-81、2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)、假如小正方形的面积为大正方形的面积为1,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sin2θ-cos2θ的值为()(A)1(B)(C)(D)感谢您的聆听！