概率论与数理统计公式大全

仅供个人参照第1章随机事件及其概率联合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C（6）事件分派率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)的关系与运算AiAi德摩根率：i1i1ABAB，ABAB设为 样本 保单样本pdf木马病毒样本下载上虞风机样本下载直线导轨样本下载电脑病毒样本下载 空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1°0≤P(A)≤1，（7）概率2°P(Ω)=1PAiP(Ai)3°对于两两互不相容的事件A1，A2，,的公义化i1i1有定义常称为可列（完全）可加性。10）加法 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 11）减法公式12）条件概率13）乘法公式14）独立性则称P(A)为事件A的概率。P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)A=Ω时，P(B)=1-P(B)定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)件B发生的条件概率，记为P(B/A)P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。比如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)更一般地，对事件A1，A2，,An，若P(A1A2,An-1)>0，则有P(A1A2,An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2),,P(An|A1A2,An1)。①两个事件的独立性设事件A、B知足P(AB)P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有P(AB)P(A)P(B)P(B|A)P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可获得A与B、A与B、A与B也都相互独立。必定事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。②多个事件的独立性ABC是三个事件，如果知足两两独立的条件，不得用于商业用途仅供个人参照P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时知足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件近似。15）全概公式16）贝叶斯公式设事件B1,B2,,Bn知足)0(i1,2,,n)1°B,B,,Bn两两互不相容，P(B，12inABi2°i1，则有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。设事件B1，B2，,，Bn及A知足1°B1，B2，,，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i1，2，,，n，nABi2°i1，P(A)0，则P(Bi/A)P(Bi)P(A/Bi)n，i=1，2，,n。P(Bj)P(A/Bj)j117）伯努利概型此公式即为贝叶斯公式。P(Bi)，（i1，2，,，n），往常叫先验概率。P(Bi/A)，（i1，2，,，），往常称为后验概率。贝叶斯公式反应了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了n次试验，且知足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均同样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。n重伯努利试验。这种试验称为伯努利概型，或称为用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pnq，用P(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率，kk，k0,1,2,Pn(k)Cnpkqn,n。不得用于商业用途仅供个人参照第二章随机变量及其散布（1）离散设离散型随机变量kk)的概率X的可能取值为X(k=1,2,,)且取各个值的概率，即事件(X=X型随机变为量的散布P(X=xk)=pk，k=1,2,,，X的概率散布或散布律。有时也用散布列的形式给出：律则称上式为离散型随机变量X|x1,x2,,xk,P(Xxk)p1,p2,,pk,。显然散布律应知足下列条件：（1）pk0，k1,2,，pk1。（2）k1（2）连续设F(x)是随机变量X的散布函数，若存在非负函数f(x)，对随意实数x，有型随机变F(x)xf(x)dx量的散布，密度则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数拥有下面4个性质：1°f(x)0。2°f(x)dx1。（3）离散P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx与连续型随机变量积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离散型随机变量理的关系论中所起的作用相近似。不得用于商业用途仅供个人参照（4）散布设X为随机变量，x是随意实数，则函数函数F(x)P(Xx)称为随机变量X的散布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F(b)F(a)能够获得X落入区间(a,b]的概率。散布函数F(x)表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。散布函数拥有如下性质：1°0F(x)1,x；2°F(x)是单一不减的函数，即12时，有12；xxF(x)F(x)°F()limF(x)0，F()lim()1；3xxFx4°F(x0)F(x)，即F(x)是右连续的；5°P(Xx)F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)pk；xkxx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx。（5）八大0-1P(X=1)=p,P(X=0)=q散布散布二项在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设散布为X，则X可能取值为0,1,2,,n。P(Xk)Pn(k)Cnkpkqnk，其中q1p,0p1,k0,1,2,,n，则称随机变量X听从参数为n，p的二项散布。记为X~B(n,p)。当n1时，P(Xk)pkq1k，k0.1，这就是（0-1）散布，所以（0-1）散布是二项散布的特例。泊松设随机变量X的散布律为散布kP(Xk)k!e，0，k0,1,2，则称随机变量X听从参数为的泊松散布，记为X~()或许P()。泊松散布为二项散布的极限散布（np=λ，n→∞）。不得用于商业用途仅供个人参照几何qk1p,k1,2,3,，其中p≥0，q=1-p。P(Xk)散布随机变量X听从参数为p的几何散布，记为G(p)。平均X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数1，即设随机变量散布ba1f(x)ba0,,a≤x≤b其他，则称随机变量X在[a，b]上听从平均散布，记为X~U(a，b)。散布函数为0，xb。当a≤x1 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态散布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为1x2(x)e22，x，散布函数为1xt2(x)。2e2dt(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)1。且Φ(0)＝如果X~N(,2)，则X2~N(0,1)。P(x1Xx2)x2x1。离散X的散布列为已知型Xx1,x2,L,xn,L，P(XYxi)p1,p2,L,pn,Lyig(xi)互不相等）如下：g(x1),g(x2),L,g(xn),L，P(Yyi)p1,p2,L,pn,L若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。连续(x)写出Y的散布函数F(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积先利用X的概率密度f型XY分的求导公式求出fY(y)。不得用于商业用途仅供个人参照第三章二维随机变量及其散布（1）联合离散型（X，Y）的所有可能取值为至多可列散布如果二维随机向量个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j1,2,)，且事件{=(xi,yj)}的概率为pij,,称P{(X,Y)(xi,yj)}pij(i,j1,2,)为=（X，Y）的散布律或称为X和Y的联合散布律。联合分布有时也用下面的概率散布表来表示：Yy1y2,yj,Xx1p11p12,p1j,x2pp,p,21222jxii1,,ppij这里pij拥有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,,）；（2）pij1.ij连续型对于二维随机向量(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(x,y)，使对随意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形地区D，即D={(X,Y)|ax1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0);（4）F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.（5）对于x1x2，y1y2，F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，y1)0.（4）离散P(Xx，Yy)P(xXxdx，yYydy)f(x，y)dxdy型与连续型的关系（5）边缘离散型X的边缘散布为散布PiP(Xxi)pij(i,j1,2,)；j的边缘散布为PjP(Yyj)pij(i,j1,2,)。i连续型X的边缘散布密度为fX(x)f(x,y)dy；的边缘散布密度为fY(y)f(x,y)dx.不得用于商业用途仅供个人参照6）条件离散型散布连续型（7）独立一般型性离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件散布为P(Yyj|Xxi)pij；pi在已知Y=yj的条件下，X取值的条件散布为pijP(Xxi|Yyj),pj在已知Y=y的条件下，X的条件散布密度为f(x|y)f(x,y)；fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件散布密度为f(x,y)f(y|x)fX(x)F(X,Y)=FX(x)FY(y)pijpipj连续型二维正态分布有零不独立f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分别变量②正概率密度区间为矩形x122)112(x1)(yy2(12)112f(x,y)e222,21212随机变量的函数0X1,X2,,Xm,Xm+1,,Xn相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1，X2,,Xm）和g（Xm+1,,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。比如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。不得用于商业用途仅供个人参照（8）二维设随机向量（X，Y）的散布密度函数为平均散布1(x,y)DSDf(x,y)0,其他其中DX，Y）～S为地区D的面积，则称（X，Y）听从D上的平均散布，记为（U（D）。比如图3.1、图3.2和图3.3。y1D1O1x3.1y1D2O2x13.2ydD3cOabx3.3不得用于商业用途仅供个人参照（9）二维设随机向量（X，Y）的散布密度函数为正态散布x122112(x1)(y2)y2f(x,y)e2(12)11222,2112其中1,2,10,20,||1是5个参数，则称（X，Y）听从二维正态分布，记为（X，Y）～N（1,2,12,22,).由边缘密度的计算公式，能够推出二维正态散布的两个边缘散布仍为正态散布，即X～N（1,12),Y~N(2,22).可是若X～N（1,12),Y~N(2,22)，(X，Y)未必是二维正态散布。（10）函数Z=X+Y根据定义计算：FZ(z)P(Zz)P(XYz)散布对于连续型，fZ(z)＝fxzxdx(,)Z=max,min(X1,X2,,Xn)两个独立的正态散布的和仍为正态散布（,22）。1212个相互独立的正态散布的线性组合，仍听从正态散布。Cii，222Ciiii若X1,X2Xn相互独立，其散布函数分别为Fx1(x)，Fx2(x)Fxn(x)，则Z=max,min(X1,X2,,Xn)的散布函数为：Fmax(x)Fx1(x)Fx2(x)Fxn(x)Fmin(x)1[1Fx1(x)][1Fx2(x)][1Fxn(x)]不得用于商业用途仅供个人参照2散布t散布设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且听从标准正态分布，能够证明它们的平方和nXi21的散布密度为1nuu21u0,ne2f(u)22n20,u0.我们称随机变量W听从自由度为n的2散布，记为W～2(n)，其中nx2exdx.201所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量散布中的一个重要参数。散布知足可加性：设Yi2(ni),则k2(n1n2ZYi~nk).1X，Y是两个相互独立的随机变量，且X~N(0,1),Y~2(n),能够证明函数XTY/n的概率密度为n12n12t2f(t)(t).n1nn2我们称随机变量T听从自由度为n的t散布，记为T～t(n)。t1(n)t(n)不得用于商业用途仅供个人参照F散布设X~2(n1),Y~2(n2)，且X与Y独立，能够证明X/n1的概率密度函数为Y/n2n1n2n1n11n1n2221n1y2f(y)n1n1y2,y0n2n2n2220,y0我们称随机变量F听从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2F散布，记为F～f(n1,n2).1F1(n1,n2)F(n2,n1)第四章随机变量的数字特点（1）离散型连续型一维希望设X是离散型随机变量，其散布设X是连续型随机变量，其概率密随机希望就是平均值律为P(Xxk)＝pk，度为f(x)，变量的数k=1,2,,,n，E(X)xf(x)dx字特n征E(X)xkpk（要求绝对收敛）k1（要求绝对收敛）函数的希望Y=g(X)Y=g(X)n方差D(X)=E[X-E(X)]2，标准差E(Y)g(xk)pkE(Y)g(x)f(x)dxk1D(X)[xkE(X)]2pkD(X)[xE(X)]2f(x)dxk(X)D(X)，不得用于商业用途仅供个人参照矩①对于正整数k，称随机变量的k次幂的数学希望为X的阶原点矩，记为vk,即①对于正整数k，称随机变量X的kk次幂的数学希望为X的k阶原点矩，记为vk,即k)=kνk=E(X)=xkf(x)dx,νk=E(Xxipi,kik=1,2,,.k=1,2,,.②对于正整数k，称随机变量X②对于正整数k，称随机变量X与与E（X）差的k次幂的数学期E（X）差的k次幂的数学希望为X望为X的k阶中心矩，记为k，的k阶中心矩，记为k，即即E(XE(X))kE(X))kkkE(X..=(xE(X))kf(x)dx,=(xiE(X))kpi，,.ik=1,2,k=1,2,,.切比雪夫不等式设随机变量X拥有数学希望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于随意正数ε，有下列切比雪夫不等式2P(X)2切比雪夫不等式给出了在未知X的散布的情况下，对概率P(X)的一种估计，它在理论上有重要意义。2）（1）E(C)=C期望（2）E(CX)=CE(X)的性nn质（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(CiXi)CiE(Xi)i1i1（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不有关。3）（1）D(C)=0；E(C)=C方差（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)的性（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b质（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不有关。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）希望方差常有0-1散布B(1,p)pp(1p)散布不得用于商业用途仅供个人参照的期二项散布B(n,p)望和方差泊松散布P()几何散布G(p)超几何散布H(n,M,N)平均散布U(a,b)指数散布e()正态散布N(,2)2散布t散布（5）希望二维随机变量的数字特征函数的希望方差np1pnMNb21n0nE(X)xipii1nE(Y)yjpjj1E[G(X,Y)]＝G(xi,yj)pijijD(X)[xiE(X)]2piiD(Y)[xjE(Y)]2pjjnp(1p)pp2nMMNn1NNN1(ba)2121222nn(n>2)n2E(X)xfX(x)dxE(Y)yfY(y)dyE[G(X,Y)]＝G(x,y)f(x,y)dxdy－－D(X)[xE(X)]2fX(x)dxD(Y)[yE(Y)]2fY(y)dy不得用于商业用途仅供个人参照协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混淆中心矩11为X与Y的协方差或有关矩，记为XY或cov(X,Y)，即XY11E[(XE(X))(YE(Y))].与记号XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为XX与YY。有关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，则称XYD(X)D(Y)为X与Y的有关系数，记作XY（有时可简记为）。||≤1，当||=1时，称X与Y完全有关：P(XaYb)1正有关，当时0)，完全有关1(a负有关，当时(a，10)而当0时，称X与Y不有关。以下五个命题是等价的：XY0；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵XXXYYXYY混淆矩对于随机变量X与Y，如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混淆原点矩，记为kl；k+l阶混淆中心矩记为：uklE[(XE(X))k(YE(Y))l].（6）(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);协方(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);差的(iii)cov(X+X,Y)=cov(X,Y)+cov(X,Y);1212性质(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).不得用于商业用途仅供个人参照7）（i）独立和不（ii）有关（1）大数定律X若随机变量X与Y相互独立，则XY0；反之不真。若（X，Y）～N（1,2,12,22,），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不有关。第五章大数定律和中心极限定理切比雪设随机变量X1，X2，,相互独立，均拥有有限方差，且被同一夫大数常数C所界：D（Xi）