导数在不等式中的应用ItwaslastrevisedonJanuary2,2021导数在不等式中的应用导数在不等式证明中的应用一、利用单调性证明不等式单调性本身就是体现了不等式关系，因而利用单调性来证明不等式便是顺理成章的事.在中，我们利用导数的符号就能判断函数的单调性。例1.设，证明．分析:证1:设，则，，当时，，故单调减小．从而，当时，，单调增加．，即，故不等式成立.注：有时需要多次使用导数符号判断单调性.证2分析:，，从而，，即：注：综合使用中值定理和单调性.例2证明.分析：证令则从而在单调减少，当时，即.二、利用中值定理证明不...
ItwaslastrevisedonJanuary2,2021导数在不等式中的应用导数在不等式证明中的应用一、利用单调性证明不等式单调性本身就是体现了不等式关系，因而利用单调性来证明不等式便是顺理成章的事.在中，我们利用导数的符号就能判断函数的单调性。例1.设，证明．分析:证1:设，则，，当时，，故单调减小．从而，当时，，单调增加．，即，故不等式成立.注：有时需要多次使用导数符号判断单调性.证2分析:，，从而，，即：注：综合使用中值定理和单调性.例2证明.分析：证令则从而在单调减少，当时，即.二、利用中值定理证明不等式1、利用Lagrange中值定理证明不等式设在上连续，在内可导，则有于是，我们依据关于的，得到不等式.如：（1）（2）单调，（3）如果例3证明：当时，分析：证注意到，故可将不等式组变形为对函数在上利用拉格朗日中值定理，于是，存在,使由于故，即2、利用柯西中值定理证明不等式设在上连续，在内可导，且则存在，使得如果，则可建立相应不等式.例4设当，证明：当，(4.7.1)分析：=>证当时，式(4.7.1)的等号成立.当时，有由柯西中值定理知，存在，使得考虑到故单调增加，有综上可知，当时，式(4.7.1)成立.3、利用泰勒中值定理证明不等式由泰勒公式或马克劳林公式可知，如果涉及具有二阶或更高阶导数，可考虑借助于函数的泰勒公式或马克劳林公式来证明，如果是已知最高阶导数的取值范围时，可用此条件来估计有关的量，从而可以证明某些不等式.例5设函数的二阶导数且证明解由于函数且具有一阶导数且故得，利用函数一阶马克劳林公式：其中ξ介于x与0之间，.所以例6设函数在上二阶可导，，且.试证证注意到条件中含有高阶导数，故我们对函数在点处用一阶泰勒公式：分别将代入上式,注意到,两式相减，整理得到因此，三、利用凹凸性证明不等式曲线的凹凸性反映的也是不等关系：或如果可以从的符号判断曲线是凹或者凸的，则对应上面的不等式就一定成立.例7证明当时，证设函数，则因此当的图形是凹的.根据定义，有例8证明当时，有证设，有则曲线在内是凸的.又,所以当时，点和所连的弦在曲线的下方，即，从而四、利用最值证明不等式最值关系本身也是不等关系，因此要证明或,则只需证明例9证明证令,显然在上连续，故在上有最大值，最小值.又由于令,得驻点，另有区间端点,比较得的最大值,最小值因此，当时，例10证明证令由得惟一驻点x=1.又，当时单调减少；当时，单调增加.因此，函数在点处取得最小值，最小值为,所以当时，有，即*组合恒等式与相关变化率
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