2018 2019年数学高中学业水平测试课件专题八第30讲平面向量基本定理及坐标表示

专题八平面向量第30平面向量基本定理及坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示讲1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝22x1＋y1.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．→②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，→22|AB|＝（x2－x1）＋（y2－y1）.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0．1．平面向量基本定理的应用→→【例1】(1)在平行四边形ABCD中，AB＝e1，AC＝1→→1→→→e2，NC＝AC，BM＝MC，则MN＝________(用e1，e242表示)．→→→→(2)如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b→→表示AD，则AD＝________→→2→→→→MN＝CN－CM＝CN＋2BM＝CN＋(1)如图，解析：352211→2→→→BC＝－AC＋(AC－AB)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋1233434e2.1→→→→3→→3→→(2)AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝4443→3→1AB＋AC＝a＋b.4442513答案：(1)－e1＋e2(2)a＋b31244剖析：(1)应用平面向量．基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．2．平面向量的坐标运算【例2】(1)已知点A(－1，5)和向量a＝(2，AB→＝3a，则点B的坐标为()A．(7，4)B．(7，14)C．(5，4)D．(5，14)3)，若→→→(2)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是()A．m≠－2B．m≠12C．m≠1D．m≠－1解析：(1)设点B的坐标为(x，y)，则AB→＝(x＋1，－5)．?由AB→＝3a，得??x＋1＝6，??x＝5?解得?，?y－5＝9，??y＝14.y(2)若点A、B、C不能构成三角形，则只能三点共线．因→→→→→为AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC→－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A、B、C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以若A、B、C三点能构成三角形，则m≠1，故选C.答案：(1)D(2)C剖析：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．3．向量共线的坐标表示【例3】已知向量m＝(－x＋1，2)，n＝(3，2y－1)，若m⊥n，则?1?yx8＋?16?的最小值为(??)A．2B．4C．22D．42解析：由于向量m＝(－x＋1，2)，n＝(3，2y－1)，m⊥n，可知为3(1－x)＋2(2y－1)＝0，3x－4y＝1，又由于8x?1?y?1?4y3x＋?16?＝2＋?2?≥2????2×（2）3x－4y＝22，因此可知答案为C.答案：C剖析：利用向量垂直的充要条件，数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．→→→1→→1．在△ABC中，已知AD＝2DB，且CD＝CA＋λCB，3则λ＝()21A.B.3312C．－D．－33→→→→→→解析：因为AD＝2DB，所以AC＋CD＝(2DC＋CB)，即2→→→→1→2→3CD＝CA＋2CB，CD＝CA＋CB，所以λ＝，故选A.333答案：A2．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝()A．(－2，－1)B．(2，1)C．(3，－1)D．(－3，1)解析：根据题意，由于向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，那么可知有，2×(－2)－1×x＝0，解得x＝－4，故可知a＋b＝(－2，－1)，选A.答案：A3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则实数λ＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：因为平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，且λa－b与a垂直，所以(λa－b)，a＝0，即(λ－4，－3λ＋2)·(1，3)＝0，所以λ－4－3(3λ＋2)＝0，λ＝1，故选B.答案：B4．已知向量a＝(－3，1)，b＝(3，λ)，若a⊥b，则λ的值为()A．－9B．－1C．1D．9解析：因为向量a＝(－3，1)，b＝(3，λ)，且a⊥b，所以a·b＝(－3，1)·(3，λ)＝－3×3＋λ＝λ－9＝0，所以λ＝9，故选D.答案：D5．若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3解析：因为，向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，所以8a－b＝8(1，1)－(2，5)＝(6，3)，(8a－b)·c＝(6，3)·(3，x)＝18＋3x，故由18－3x＝30，得x＝4，故选C.答案：C6．已知a＝(cosx，2)，b＝(2sinx，3)，且a∥b，则??π??tan?x＋?＝________．4??解析：根据题意，由于a＝(cosx，2)，b＝(2sinx，?π?3??3)，那么可知3cosx－4sinx＝0，tanx＝，所以tan?x＋?44??tanx＋1＝＝7，故答案为7.1－tanx答案：77．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)，则cos〈a，b〉的值是________．解析：根据题意，由于平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，所以a＝a·b，那么a·b11可知cos〈a，b〉＝＝，故答案为.2|a|×|b|21答案：2－28．已知|a|＝1，|b|＝2且(a－b)⊥a，则a与b的夹角的大小为________．解析：因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|－a·b＝0，所以a·b＝1，a·b12所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b夹|a|×|b|22角的大小为45°.答案：45°29．在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量?12?p＝?1－sinA，7?，q＝(cos2A，2sinA)，且??p∥q.(1)求sinA的值；(2)若b＝2，S△ABC＝3，求a的值．12解：(1)因为p∥q，所以cos2A＝(1－sinA)·2sinA，73所以5sinA－7sinA－6＝0，所以sinA＝或－2，又sinA523∈(0，1]，所以sinA＝.513(2)S△ABC＝bcsinA＝3，b＝2，sinA＝，所以c＝5，254又cosA＝±，54当cosA＝时，由余弦定理得a＝13，当cosA＝－54时，由余弦定理得a＝35.5310．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.4(1)求|b|；1(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．43解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，43即a－b＝，422311所以|b|＝|a|－＝，所以|b|＝.44222(2)因为|a＋2b|＝(a＋2b)＝|a|＋4a·b＋|2b|＝1－1＋1＝1，所以|a＋2b|＝111又因为a·(a＋2b)＝|a|＋2a·b＝1－＝2222222a·（a＋2b）1所以cosθ＝＝，2|a||a＋2b|又0°≤θ≤180°所以θ＝60°.