2019-2020年高中数学 3.1.3 两角和与差的正切教案 苏教版必修4

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。PAGE/NUMPAGES真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。2019-2020年高中数学3.1.3两角和与差的正切 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 苏教版必修4●三维目标1．知识与技能(1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角与差的正切公式；(2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；(3)揭示知识背景，引发学生学习兴趣；(4)创设问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识．2．过程与方法借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角的和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.●重点难点重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．难点：熟练地正用、逆用、变形应用两角和与差的正切公式．(教师用书独具)●教学建议1．关于公式T(α±β)推导的教学教学时，建议教师从回顾复习S(α±β)，C(α±β)和同角三角函数关系式入手，结合S(α±β)，C(α±β)的表达形式，提出问题：能否利用单角α，β的正切值表示复角α±β的正切值？在此基础上采用学生自主探究、互相讨论等方式推导出公式，通过推导公式的过程，让学生明确公式成立的条件和结构特点．2．关于公式T(α±β)应用的教学教学时，建议教师从公式T(α±β)的正用及其变形应用两个角度出发，通过例题及练习让学生熟练掌握与两角和与差的正切三角函数式相关的化简、求值和证明问题，切实树立解题中“tanα±tanβ”与“tanαtanβ”的整体意识，提高解题速度．●教学流程创设问题情境，结合Sα±β，Cα±β的表达形式，提出问题：能否利用单角α，β的正切值表示出角α±β的正切值？⇒eq\x(引导学生推导出两角和与差的正切公式，并探究公式成立的条件.)⇒eq\x(通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的正切公式进行化简求值的方法.)⇒eq\x(通过例2及其变式训练，使学生掌握条件求值角问题的求解策略和方法.)⇒eq\x(通过例3及其变式训练，使学生掌握在三角形中综合应用问题的解题思路和方法.)⇒eq\x(归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.)⇒eq\x(完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.)课标解读1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)两角和与差的正切公式【问题导思】　　已知tanα，tanβ的值，能否利用公式S(α±β)和C(α±β)推导出tan(α±β)?　【提示】　tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ)＝eq\f(\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ),\f(cosαcosβ－sinαsinβ,cosαcosβ))＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，tan(α－β)＝eq\f(tanα＋tan－β,1－tanαtan－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).　T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).化简求值　求下列各式的值：(1)tan15°；(2)eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)；(3)tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°.【思路探究】　解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．【自主解答】　(1)tan15°＝tan(45°－30°)＝eq\f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)＝eq\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝eq\f(3－\r(3),3＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,\r(3)＋1)＝2－eq\r(3).(2)eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝eq\f(\f(\r(3),3)－tan75°,1＋\f(\r(3),3)tan75°)＝eq\f(tan30°－tan75°,1＋tan30°tan75°)＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan60°＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)＝eq\r(3)，∴tan23°＋tan37°＝eq\r(3)(1－tan23°tan37°)，∴原式＝eq\r(3)(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．　求下列各式的值：(1)eq\f(1＋tan75°,1－tan75°)；(2)eq\f(cos15°－sin15°,cos15°＋sin15°)；(3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.【解】　(1)eq\f(1＋tan75°,1－tan75°)＝eq\f(tan45°＋tan75°,1－tan45°tan75°)＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－eq\r(3).(2)eq\f(cos15°－sin15°,cos15°＋sin15°)＝eq\f(1－tan15°,1＋tan15°)＝eq\f(tan45°－tan15°,1＋tan45°tan15°)＝tan(45°－15°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).(3)∵公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)，∴tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.条件求值(角)问题图3－1－1　(xx·鹤壁高一检测)如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．【思路探究】　解决本题可先由任意角的三角函数定义求出cosα，cosβ，再求sinα，sinβ，从而求出tanα，tanβ，然后利用T(α＋β)求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．【自主解答】　由条件得cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5)，∵α，β为锐角．∴sinα＝eq\f(7\r(2),10)，sinβ＝eq\f(\r(5),5).∴tanα＝7，tanβ＝eq\f(1,2).(1)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝eq\f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋β·tanβ)＝eq\f(－3＋\f(1,2),1－－3×\f(1,2))＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜eq\f(3π,2)，∴α＋2β＝eq\f(3π,4).1．通过先求角的某个三角函数值来求角．2．选取函数时，应遵照以下原则(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是(0，eq\f(π,2))，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，选正弦较好．3．给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．　已知α，β均为锐角，且tanα＝eq\f(1,7)，tanβ＝eq\f(1,3)，求α＋2β的值．【解】　tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,7)＋\f(1,3),1－\f(1,7)×\f(1,3))＝eq\f(1,2)，tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝eq\f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，∵α，β均为锐角，∴0＜α＋β＜π.又∵tan(α＋β)＝eq\f(1,2)＞0，∴0＜α＋β＜eq\f(π,2)，又∵β为锐角，∴0＜α＋2β＜π，∴α＋2β＝eq\f(π,4).综合应用　已知△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．【思路探究】　eq\x(化简条件)→eq\x(求出tanA，tanC)→eq\x(求出角A，C)→eq\x(判断形状).【自主解答】　由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,tanBtanC－1)＝eq\f(\r(3)－\r(3)tanBtanC,tanBtanC－1)＝－eq\r(3).而0＜∠A＜π，∴∠A＝eq\f(2,3)π.由tanC＝tan[π－(A＋B)]＝eq\f(tanA＋tanB,tanAtanB－1)＝eq\f(tanA＋tanB,\r(3)tanA＋\r(3)tanB)＝eq\f(\r(3),3)，而0＜∠A＜π，∴∠C＝eq\f(π,6)，∴∠B＝eq\f(π,6).∴△ABC是顶角为eq\f(2,3)π的等腰三角形．　利用和差角公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意对三角形内角和A＋B＋C＝π这一隐含条件的运用．　在非直角三角形ABC中，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.【解】　在非直角三角形ABC中，有A＋B＋C＝π，即A＋B＝π－C，且A，B，A＋B都不等于eq\f(π,2).∴有tan(A＋B)＝tan(π－C)，∴eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－tanC，∴tanA＋tanB＝－tanC(1－tanAtanB)＝－tanC＋tanAtanBtanC.∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.忽视题目中的隐含条件致误　已知sinα－sinβ＝－eq\f(2,3)①，cosα－cosβ＝eq\f(2,3)②，且α，β∈(0，eq\f(π,2))，试求tan(α－β)的值．【错解】　由①2＋②2，得cos(α－β)＝eq\f(5,9).∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2).∴sin(α－β)＝±eq\r(1－\f(5,9)2)＝±eq\f(2\r(14),9).∴tan(α－β)＝±eq\f(2\r(14),5).【错因分析】　以上解题过程似乎推理严谨，但只要仔细观察便可发现已知条件sinα－sinβ＝－eq\f(2,3)中隐含了α＜β这一条件，错解忽略了这一点．【防范措施】　由于隐含条件在题目中没有明确给出，容易被忽略，稍不留心便会导致错误，所以在解题时应养成认真审题、周密思考的良好习惯，充分挖掘题中的隐含条件．【正解】　∵sinα－sinβ＝－eq\f(2,3)＜0，且α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα＜sinβ.∴－eq\f(π,2)＜α－β＜0.由①2＋②2，得cos(α－β)＝eq\f(5,9)，∴sin(α－β)＝－eq\f(2\r(14),9).∴tan(α－β)＝－eq\f(2\r(14),5).1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T(α±β)的右侧为公式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．公式T(α±β)应用时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如taneq\f(π,4)＝1，taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,3)＝eq\r(3)等．特别要注意tan(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)，tan(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα).(3)公式的变形用只要见到tanα±tanβ，tanα·tanβ时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.1．(xx·沙市高一检测)已知tanα＝2，则tan(α＋eq\f(π,4))＝________.【解析】　tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝－3.【答案】　－32.eq\f(1＋tan105°,1－tan105°)＝________.【解析】　原式＝eq\f(tan45°＋tan105°,1－tan45°tan105°)＝tan(45°＋105°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).【答案】　－eq\f(\r(3),3)3．在△ABC中，tanA＝eq\f(1,4)，tanB＝eq\f(3,5)，则角C的大小为________．【解析】　∵C＝π－(A＋B)，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－eq\f(\f(1,4)＋\f(3,5),1－\f(1,4)×\f(3,5))＝－1.又0＜C＜π，∴C＝eq\f(3π,4).【答案】　eq\f(3,4)π4．(1)已知tanα＝eq\f(1,2)，tan(α－β)＝－eq\f(2,5)，求tan(β－2α)的值；(2)已知tanα＝eq\r(3)(1＋m)，tan(－β)＝eq\r(3)(tanαtanβ＋m)，求tan(α＋β)的值．【解】　(1)∵α＋(α－β)＝2α－β，∴tan(β－2α)＝tan[－(2α－β)]＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝eq\f(tanα＋tanα－β,tanαtanα－β－1)＝eq\f(\f(1,2)＋－\f(2,5),\f(1,2)×－\f(2,5)－1)＝－eq\f(1,12).(2)两式作差得tanα＋tanβ＝eq\r(3)(1－tanαtanβ)，即eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝tan(α＋β)＝eq\r(3).一、填空题1.eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)＝________.【解析】　原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).【答案】　eq\r(3)2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于________．【解析】　∵4＝tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2,1－tanαtanβ)，∴tanαtanβ＝eq\f(1,2).【答案】　eq\f(1,2)3．已知α＋β＝eq\f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)＝________.【解析】　tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝taneq\f(3π,4)＝－1，所以tanα＋tanβ＝－1＋tanαtanβ，从而(1－tanα)(1－tanβ)＝1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝1－(－1＋tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2.【答案】　24．tan18°＋tan42°＋eq\r(3)tan18°tan42°＝________.【解析】　tan60°＝tan(18°＋42°)＝eq\f(tan18°＋tan42°,1－tan18°tan42°)，所以tan18°＋tan42°＝tan60°(1－tan18°tan42°)，tan18°＋tan42°＋eq\r(3)tan18°tan42°＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋eq\r(3)tan18°tan42°＝eq\r(3).【答案】　eq\r(3)5．已知tanα，tanβ是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝________.【解析】　∵tanα，tanβ是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tanα＋tanβ＝－6，tanα·tanβ＝2.则eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(－6,1＋2)＝－2.【答案】　－26．已知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)的值等于________．【解析】　由已知tanα＝－3＋eq\r(2)，tanβ＝－3－eq\r(2)或tanα＝－3－eq\r(2)，tanβ＝－3＋eq\r(2)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝±eq\f(\r(2),4).【答案】　±eq\f(\r(2),4)7．设tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，则tan(α＋eq\f(π,4))的值是________．【解析】　∵α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－(β－eq\f(π,4))．∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq\f(\f(3,20),\f(22,20))＝eq\f(3,22).【答案】　eq\f(3,22)8．已知tan(α＋β)＝7，tanα＝eq\f(3,4)，且β∈(0，π)，则β的值为________．【解析】　tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(7－\f(3,4),1＋7×\f(3,4))＝1，又β∈(0，π)，所以β＝eq\f(π,4).【答案】　eq\f(π,4)二、解答题9．已知tan(eq\f(π,12)＋α)＝eq\r(2)，tan(β－eq\f(π,3))＝2eq\r(2)，(1)求tan(α＋β－eq\f(π,4))的值；(2)求tan(α＋β)的值．【解】　(1)tan(α＋β－eq\f(π,4))＝tan[(eq\f(π,12)＋α)＋(β－eq\f(π,3))]＝eq\f(tan\f(π,12)＋α＋tanβ－\f(π,3),1－tan\f(π,12)＋α·tanβ－\f(π,3))＝eq\f(\r(2)＋2\r(2),1－\r(2)·2\r(2))＝－eq\r(2).(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－eq\f(π,4))＋eq\f(π,4)]＝eq\f(tanα＋β－\f(π,4)＋tan\f(π,4),1－tanα＋β－\f(π,4)·tan\f(π,4))＝eq\f(－\r(2)＋1,1－－\r(2)×1)＝2eq\r(2)－3.10．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，求α＋β的值．【解】　由题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－3\r(3),tanαtanβ＝4))，tanα＜0且tanβ＜0.又因为α，β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，所以α，β∈(－eq\f(π,2)，0)，α＋β∈(－π，0)．又因为tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3).在(－π，0)内，正切值为eq\r(3)的角只有－eq\f(2π,3)，所以α＋β＝－eq\f(2π,3).11．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝eq\f(2π,3)和②taneq\f(α,2)·tanβ＝2－eq\r(3)同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．【解】　由①得eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,3)，∴tan(eq\f(α,2)＋β)＝eq\f(tan\f(α,2)＋tanβ,1－tan\f(α,2)·tanβ)＝eq\r(3).将②代入上式得taneq\f(α,2)＋tanβ＝3－eq\r(3).因此，taneq\f(α,2)与tanβ是一元二次方程x2－(3－eq\r(3))x＋2－eq\r(3)＝0的两根．解之，得x1＝1，x2＝2－eq\r(3).若taneq\f(α,2)＝1，由于0＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，∴这样的α不存在．故只能是taneq\f(α,2)＝2－eq\r(3)，tanβ＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,4).故存在锐角α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,4)使①②同时成立.(教师用书独具)　已知tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．【思路探究】　先利用两角和正切公式求tan(α＋β)的值，然后把所求式化弦为切，代入求值．【自主解答】　由已知有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝3，,tanα·tanβ＝－3.))∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(3,1－－3)＝eq\f(3,4).∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)＝eq\f(sin2α＋β－3sinα＋βcosα＋β－3cos2α＋β,sin2α＋β＋cos2α＋β)＝eq\f(tan2α＋β－3tanα＋β－3,tan2α＋β＋1)＝eq\f(\f(3,4)2－3×\f(3,4)－3,\f(3,4)2＋1)＝－3.　本题巧妙地利用了“1”的代换，解答本题并不需求sin(α＋β)，cos(α＋β)的值，而是采用了整体 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 ．　已知tanα，tanβ是x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两根，－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜β＜eq\f(π,2)，求α＋β.【解】　∵tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)＜0，tanαtanβ＝4＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0.∵－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜β＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)＜α＜0，－eq\f(π,2)＜β＜0.∴－π＜α＋β＜0，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3)，∴α＋β＝－eq\f(2,3)π.