§2•4抛物线2.4.1抛物线的标准方程课时目标1•掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形2会利用定义求抛物线方程.知识梳理•豐鑿藹豎鑿籃豎驚鶯鶯鑒豎蠶蹩1•抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线1(F不在I上)距离的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的,直线I叫做抛物线的.抛物线的标准方程⑴方程y匚’2px,x2=i2pv(p>0)叫做抛物线的方程.⑵抛物线y匚2px(p>0)的焦点坐标是,准线方程是,开口方向⑶抛物线于二-2px(p>0)的焦点坐标是,准线方程是,开口方向⑷抛物线才二2py(p>0)的焦点坐标是,准线方程是,开口方向⑸抛物线^二-2py(p>0)的焦点坐标是,准线方程是,开口方向作业
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・一、填空题抛物线犷二ax(aA0)的焦点到其准线的距离是.22已知抛物线的顶点在禎点，对称轴为x轴，焦点在曲线专J专［上，则抛物线方程为■21与抛物线〃x关于直线x—y二0对称的抛物线的焦点坐标是4过点M(2,4)作与TOC\o"1-5"\h\z抛物线y-8x只有一个公共点的直线I有条.设抛物线y-2x的焦点为F,过点M(.3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线相交于点C,BF二2,则厶BCF与厶ACF的面积之比5为0ACF抛物线x'+12y二0的准线方程是.已知抛物线y-2px(p〉0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为.&已知抛物线£二y+1上一定点人(—1,0)和两动点P,Q,当PA丄PQ时，点Q的横坐标的取值范围是•二、解答题9.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(-3,ni)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和ni的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.10•求焦点在x轴上且截直线2x—y+1二0所得弦长为.15的抛物线的标准方程.能力提升已知抛物线y"二2px(p>0)的准线与圆(x—3)2+产16相切，则p的值为求与圆(x—3)2+犷二9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程.趣反思感悟1四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定•当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.2焦点在y轴上的抛物线的标准方程2py通常又可以写成y二ax2,这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y二ax'来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.§2•4抛物线2.4.1抛物线的标准方程知识梳理1•相等焦点准线2.(1)标准P(2)(20)x卩向右⑶(一2,0)x=p2向左(4)(0,p))PZ=—o向上P⑸(0,-2)pyo向下作业设计1回2解析因为2y二ax,所以P二邸，即该抛物线的焦点到其准线的距离为2.y二±Jx所以抛解析由题意知抛物线的焦点为双曲线42=1的顶点，即为(一2,0)或(2,0)物线的方程为y匚8x或y-—8x.1(0,16)21解析y二4x关于直线x—y二0对称的8〈上，这样I过M点且与x轴平行时,9I与抛物解析如图所示，设过点MC3,0)的直线方程为y二k(x—3),代入y匚2x并整理，2玄+2得k2x2-(23k2+2)x+3k2=0,则禺+X2=因为BF二2,所以BB'二2.不妨设X2二2-2=345是方程的一个根，可得心一,所以X1=2.1BCGacf2ACddg3解析抛物线7.x=—1BC二BB'二二二4AC二丁二1=5・2rX2+12y=0,即X=—12y,故其准线方程是y=3.解析•••/=2px的焦点坐标为（:•••过焦点且斜率为1的直线方程为7nny二x—%即x二y+卩，将其代入y222、yi),B(X2,y?),贝Vyi+y2=2p,A"+P，即卩y—2py-p二0•设人帥也物线的方程为y，二4x,其准线方程为x二一1.&(—S,—3]U[1,+s)解析由题意知，设P(X1,XI—1),Q(X2,X2—1),992px得y2py二P二2,又A(-l,0),PA—PQ,「PAPQ二0,即(一1—X11—Xl)(X2—X1,X2—XI)=0,也就是(一1—Xi)(X2—Xi)+(1—X2)(X2—X?)二0.VX1丰X2,且Xi工一1,11•I上式化简得X2二一Xi=+(1—Xi)—1,1—Xi1—Xi由基本不等式可得X2>1或X2〈一3.29.解设抛物线方程为曲题-2px（p>0）,则焦布1隹部夕得P二4,或m二一2.6.m二2.6,故所求的抛物线方程为产一8x,nF6.抛物线的焦点坐标为（一2,0）,准线方程为x二2.10.解设所求抛物线方程为y=ax（』0）.①直线方程变形为y二2x+1,②设抛物线截直线所得弦为AB.②代入①，整理得4X*（4—a）x+1二0,12或a=—4.1+22•所求抛物线方程为y-12x或y-—4x.2解析方法一由抛物线的标准方程得准线方程为X-P.22•••准线与圆相切，圆的方程为(X—3)+y二16,•'3+p二4,「.p二2.方法二作图可知，抛物线b二2px(p>0)的准线与圆(x—3)2+犷二16相切于点(—1,0),所以"p-—1,P~2.解设定圆圆心M(3,0),半径r二3,动圆圆心P(x,y),半径为R,则由已知得下列等式PM二R+3丫,APM二凶+3.x二R当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x二一3的距离相等，••点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0),准线x二一3,•■p=6,抛物线方程为12x.当x<0时，PM二3—x,动点P到定点M的距离等于动点P到直线x二3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，当x二0时，不符合题意，舍去.2••所求轨迹方程为y二12x(x>0)或y二0(x<0).玉枕纱厨，半夜凉初透。帘卷西风，人比黄花瘦。薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。佳节又重阳,东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。莫道不消魂,•••焦点为o,右.2解析容易发现点M(2,4)在抛物线y-线有一个公共点，或者I在M点上与抛物线相切.4
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