赣马高级中学2010级高一数学函数的奇偶性（2）导学案函数奇偶性奇偶性定义奇偶性与函数图像奇偶性的证明单调区间定义【学习导航】知识网络学习目标1．熟练掌握判断函数奇偶性的
方法
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；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问
题
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．【基础回顾】1．偶函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数．注意：（１）“任意”、“都有”等关键词；（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；2．奇函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数．3．函数图像与奇偶性：奇函数的图像关于对称；偶函数的图像关于轴对称．4．函数奇偶性证明的步骤：（1）__________________________（2）__________________________【互动探究】一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论二．利用函数奇偶性求函数解析式：例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．例3：定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，求实数m的取值范围．【迁移应用】设是定义在R上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－)与f(a2－a+1)（）的大小关系是2.定义在上的奇函数，则常数，；3．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)=－15，则f(5)=．5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。（1）求证；（2）求证：是偶函数。6.函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。
答案
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例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维
分析
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：根据函数单调性的定义，可以设x1
－x2>0因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)f(x1)>0于是F(x1)－F(x2)=－所以F(x)=在(－∞，0)上是减函数。【证明】设，则，∵在上是增函数，∴，∵是奇函数，∴，，∴，∴，∴在上也是增函数．说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．解：设x<0，则－x>0且满足
表
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达式f(x)=x|x－2|所以f(－x)=－x|－x－2|=－x|x+2|又f(x)是奇函数，有f(－x)=－f(x)所以－f(x)=－x|x+2|所以f(x)=x|x+2|故当x<0时F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.3：定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，求实数m的取值范围．解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0所以f(m－1)>－f(2m－1)因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数所以f(m－1)>f(1－2m)所以所以f(a2－a+1)D．与a的取值无关2.定义在上的奇函数，则常数０，０；3.函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。解：定义域是即又是奇函数在上是增函数即解之得故a的取值范围是 若函数是偶函数，则该函数在关于＂０＂对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于＂０＂对称区间上的点调性是相同的．追踪训练1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 （C）420不能确定2.定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)bC.|a|<|b|D.0≤ab≥03.是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（D）A.是减函数且有最大值B.是减函数且有最小值C.是增函数且有最小值D.是增函数且有最大值4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)=－15，则f(5)=31．5．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。（1）求证；（2）求证：是偶函数。解（1）令，则有（2）令，则有这说明是偶函数
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