风险厌恶度量

*风险厌恶(yànwù)度量第一页，共35页。一、关于(guānyú)预期效用的悖论与争议关于不确定条件下的选择问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，上一讲建立的预期效用和主观概率理论似乎是完美的和合乎实际的，让我们完全有理由相信人们在不确定的环境(风险环境或无常环境)中是根据不确定性行动的预期效用大小来进行评判和选择的。然而阿莱和艾斯勃格分别(fēnbié)对预期效用和主观概率进行了实际考察，发现了理论与实际不符的两个现象：AllaisParadox和EllsbergParadox，引起了人们对预期效用和主观概率理论的质疑和争议。有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的理论来解释不确定条件下的选择行为。另一些人则认为，出现这两个悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时发生了“视觉错误”。比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新发明一种距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。下面，我们介绍这两个悖论。第二页，共35页。(一)AllaisParadox这是一个关于预期效用的悖论(bèilùn)。现有四种彩票A、B、C、D，其奖励等级、获奖概率分布以及预期收入情况见下表所示。彩票ABCD奖金(万元)100110100010001100获奖概率100%10%89%1%11%89%10%90%预期收入(万元)1001001111调查(diàochá)发现，很多人都认为AB且DC。A与B相比，虽然预期收入都为100万元，但A是稳当地得到100万元，B则有1%的可能一无所获，而多得10万元的概率才仅仅不过10%：概率小，多得的数额也相对较小。这样，A明显比B好。C与D相比，虽然预期收入都为11万元，但购买D仅以少1%的可能性就要比购买C多得10万元，因而D比C好。第三页，共35页。计算预期(yùqī)效用设消费者的预期效用函数为u。计算(jìsuàn)一下预期效用，则有：u(A)=u(100)u(B)=u(110)10%+u(100)89%+u(0)1%u(C)=u(100)11%+u(0)89%u(D)=u(110)10%+u(0)90%根据调查结果AB，应有u(A)>u(B)。由此可知：u(100)11%>u(110)10%+u(0)1%在此式两边加上u(0)89%可得：u(100)11%+u(0)89%>u(110)10%+u(0)90%即u(C)>u(D)，这与实际调查结果DC相矛盾：通过预期效用函数得到的评价与消费者的实际评价相悖。那么这个悖论是否说明预期效用理论有着不切实际的地方？其实，这个悖论中消费者评价的“视觉错误”是明显存在的。第四页，共35页。(二)EllsbergParadox这是一个关于主观概率的悖论。情景：袋中有红球、蓝球和绿球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博A、B、C、D：A：从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元。B：从袋中摸出一球，如果为篮球，可得1000元。C：从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。D：从袋中摸出一球，若不是篮球，可得1000元。面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。通过调查发现，大多数人基本上都认为AB且CD。作出这种评价的原因可能在于A的确定性比B高，C的确定性比D高。用P表示赌博者的主观概率测度(cèduó)，u表示在这个概率测度(cèduó)下的预期效用函数。用F表示摸出红球这一事件，G表示摸出蓝球这一事件。则表示摸出的球不是红球，表示摸出的球不是蓝球。第五页，共35页。计算预期(yùqī)效用从AB知：(p-q)u(1000)>(p-q)u(0)。从CD知：(p-q)u(1000)<(p-q)u(0)。这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可能让AB和CD同时成立。然而，调查得到的事实却是如此。因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。其实，出现这个悖论(bèilùn)，很大的原因还在于评价判断上出现的错觉。是调查中消费者评价错了，而不是理论错了。令p=P(F)，q=P(G)。则。计算这四种赌博(dǔbó)的效用，可得到：第六页，共35页。二、对待风险(fēngxiǎn)的态度从赌博事例可得到这样的启示：一个人对待风险的态度完全反映在他的偏好关系上。对此，可用预期效用理论加以严格表述。设消费者的确定性选择集合X是商品空间的凸闭子集，消费者所处的风险环境为(,F)，风险选择集合为X(或用D)，风险偏好为。假定风险偏好满足阿基米德公理和独立性公理。于是，存在的预期效用函数(hánshù)u:XR。对任何,X，f,gD及p[0,1]，有我们把和u在确定性选择集合X上的限制分别叫做结果偏好和结果效用函数(hánshù)。当f是X的分布函数(hánshù)时，E=Ef=Xxdf(x)X叫做的预期收益。通过比较与E，方可判断消费者对待风险的态度。第七页，共35页。(一)对待风险的热衷(rèzhōnɡ)态度风险(fēngxiǎn)爱好者对任何非退化风险(fēngxiǎn)行为X，都有E。风险(fēngxiǎn)爱好者的结果效用函数U:XR(U(x)=u(x))是严格凸函数。当一种风险(fēngxiǎn)行动X与一种确定性行动xX具有相同的预期收益(E=x)时，如果消费者认为比x好(x)，那么这足以说明消费者是热衷于冒险的：不冒险，就没有取得高收益的可能；为了高收益，值得去冒险。这种热衷于冒险的消费者，叫做风险(fēngxiǎn)爱好者。U=px(1p)yE=px+(1p)y事实上，对任何x,yX及p[0,1]，有u(y)这就说明，U(x)是严格凸函数。Xu(x)xyEu(E)u()第八页，共35页。(二)对待风险(fēngxiǎn)的冷淡态度风险冷淡(lěngdàn)者对任何X，都有E。风险冷淡(lěngdàn)者的结果效用函数是凹函数，从而结果偏好是凸偏好。在风险行动X与确定性行动xX的预期收益相同(E=x)的情况下，如果消费者认为不比(bùbǐ)x好(x)，则说明消费者不热衷于冒险，对风险持冷淡态度：不愿意冒险追求高收益。这种对冒险不热衷的消费者，叫做风险冷淡者。xy=px(1p)yyEy事实上，对任何x,yX及p[0,1],有这就说明，U(x)是凹函数，从而是拟凹的，即结果偏好是凸偏好。XxyE=px+(1p)y结果偏好是凸偏好第九页，共35页。1.风险(fēngxiǎn)厌恶者风险厌恶者对任何非退化风险行为X，都有E。风险厌恶者的结果效用函数严格(yángé)凹，从而结果偏好严格(yángé)凸。在风险行动X与确定性行动xX的预期收益相同(xiānɡtónɡ)(E=x)的情况下，如果消费者认为比x差(x)，则说明消费者讨厌冒险，根本不会冒险追求高收益。这种对冒险行动持讨厌态度的消费者，叫做风险厌恶者，也叫做风险规避者。U=px(1p)yE=px+(1p)y事实上，对任何x,yX及p[0,1],有u(y)这就说明，U(x)是严格凹函数，从而严格拟凹，即结果偏好是严格凸。Xu(x)xyEu(E)u()第十页，共35页。2.风险(fēngxiǎn)中立者风险中立者对任何(rènhé)X，都有~E。风险中立者的结果效用函数是线性的，结果无差异曲线为直线。在与确定性行动xX的预期收益相同的风险行动X(E=x)面前，如果消费者既不更倾向于选择，又不更倾向于选择x，即认为~x，则说明消费者对风险持中立态度，既不热衷(rèzhōnɡ)，也不讨厌。这种对风险持中立态度的消费者，叫做风险中立者。U=px(1p)yE=px+(1p)yu(y)Xu(x)xyEu(E)u()XxyE=px+(1p)yx~y=px(1p)y~yE~~y结果无差异曲线第十一页，共35页。(三)结果效用函数的基数(jīshù)意义一般情况下，经济活动者要么是一个风险爱好者，要么是一个风险冷淡者。应该说，绝大多部分人都是风险冷淡者，具有风险规避(guībì)倾向。这样一来，在预期效用函数下，绝大多数人的结果效用函数都是凹函数，结果偏好是凸偏好，而只有少数人的结果效用函数是凸函数。无论如何，风险选择理论让我们进一步看到了确定性条件下对消费者偏好作出凸性假设的合理性，也看到了确定性偏好的必然凸性。更重要的是，我们看到了每个人在确定性选择集合上都存在着凹或凸的效用函数。效用函数的凹性是说消费者的边际效用递减，凸性是说边际效用递增。而边际效用是基数意义下的效用，也就是说，只有在基数效用意义下，才能谈论效用增加多少。因此，凹或凸的结果效用函数的存在，意味着基数效用函数存在。因此，预期效用函数存在定理顺便回答了基数效用函数的存在性问题，而且是肯定的回答。第十二页，共35页。三、赌博显示(xiǎnshì)的风险厌恶程度指标以上对于消费者对待风险的态度的研究表明，没有风险规避倾向(qīngxiàng)的风险爱好者，其结果效用函数是严格凸的；而对风险持中立态度的消费者，其结果效用函数既不严格凸，也不严格凹；一旦消费者具有了风险规避倾向(qīngxiàng)，其结果效用函数就成为严格凹的。这种现象让我们自然产生这样一种感觉：效用函数越凹，风险规避倾向(qīngxiàng)越强。那么，这种感觉是否正确？我们还是以为赌博为例，来对这个问题进行说明。设经济人的财富收入效用函数为u(r)，，并设财富以元为单位来计。假定经济人当前有w元。设F是随机事件，其发生的概率为p。通过事件F，可以设计赌博g(x,y)：若事件F发生，则赢x元，经济人的财富变为w+x元；若事件F未发生，则赢y元，经济人的财富变为w+y元。第十三页，共35页。平面上每一点(x,y)都代表一个赌博g(x,y)。这样，平面代表通过(tōngguò)事件F设计的赌博的全体G：，称为赌博平面。(一)赌博(dǔbó)平面盈利性赌博(dǔbó)px+(1p)y>0亏损性赌博px+(1p)y<0xyo公平赌博原点(0,0)代表不赌。赌博平面G=R²第十四页，共35页。对于赌博(x,y)，消费者是否接受，要看赌博的预期(yùqī)效用是否不低于不赌的效用：(二)接受(jiēshòu)集GAxy公平赌博GA={(x,y):pu(w+x)+(1p)u(w+y)u(w)}接受(jiēshòu)集边界GA接受集边界在原点的切线oGA在原点(0,0)处的切线方程：px+(1p)y=0接受集边界GA在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线！接受集GA是指由一切为消费者所接受的赌博(x,y)组成的集合。第十五页，共35页。对任何(rènhé)(x,y),(x,y)GA及实数t[0,1]，令(x,y)=t(x,y)+(1t)(x,y)则有：1.接受(jiēshòu)集的凸性故(x,y)=t(x,y)+(1t)(x,y)GA。这就 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 (zhèngmíng)了GA是凸集。第十六页，共35页。(0)正是GA在原点处的切线的斜率。这样，就得到了接受集边界GA在原点(0,0)处的切线方程：px+(1p)y=0可见，接受集的边界GA在原点(0,0)处的切线正是公平(gōngpíng)赌博直线！接受集的边界(biānjiè)GA：GA={(x,y)R²:pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)}边界(biānjiè)方程pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)隐含着y=(x)。求导可得：pu(w+x)+(1p)u(w+y)(x)=0令x=0，即得到y=(x)在x=0处的导数：2.接受集边界(biānjiè)在原点的切线第十七页，共35页。由此可见，(0)与u(w)u(w)成正比，从而(cóngér)接受集边界GA在原点(0,0)处的曲率大小与u(w)u(w)成正比！3.接受集边界(biānjiè)在原点的曲率接受集边界GA在原点处的曲率(qūlǜ)大小与(0)成正比。为此，进行如下求导计算：第十八页，共35页。(三)原点附近赌博(dǔbó)的意义原点(0,0)附近的赌博具有特殊(tèshū)的意义：原点附近的赌博都是(赌金)数量较小的赌博：小赌博。如果一个人连小赌博都不愿意接受，那么就表明这个人对风险的厌恶程度较大，足见他具有较强的风险规避倾向。一个人不愿意接受的小赌博越多，他的风险厌恶度越大，风险规避倾向越强。(0)越大，接受集边界GA在原点(0,0)处越弯曲，不接受的小赌博便越多，从而风险厌恶度越大，风险规避倾向越强。u(w)u(w)越大，(0)越大。Animportantfact：u(w)u(w)衡量着经济(jīngjì)人的风险厌恶度！Arrow&Pratt’smeasureAP(w)ofriskaversion：第十九页，共35页。1.阿罗(āluó)-普拉特风险厌恶度小赌博(dǔbó)接受(jiēshòu)不接受第二十页，共35页。2.风险厌恶(yànwù)度AP与风险加价RPU=v(r)U=u(r)第二十一页，共35页。四、风险规避倾向(qīngxiàng)与风险厌恶度赌博显示的风险厌恶程度指标AP(w)，适用于在任何风险环境中去测量人们的风险规避倾向的程度强弱。为了证实这一结论，设经济人所处的风险环境为(,F,P)，确定性选择集合X为实数集合R，即X=R，也就是说，经济人选择的任何结果都可以用实数加以表示，从而经济人的风险选择集合X是风险环境(,F,P)中的随机变量的全体。再设u:XR是经济人的VNM效用函数。注意下述事实：第一，风险爱好者的VNM效用函数u是严格凸函数；第二，风险厌恶者的VNM效用函数u是严格凹函数；第三，风险中立者的VNM效用函数u是线性函数；第四，风险冷淡者的VNM效用函数u是凹函数。按照行为变化是绝对量变还是相对(xiāngduì)量变，风险规避倾向分为绝对风险规避倾向(通常省略“绝对”二字)和相对(xiāngduì)风险规避倾向。第二十二页，共35页。(一)绝对(juéduì)风险规避倾向风险厌恶度量函数(阿罗-普拉特度量函数)：函数AP:XR的作用在于度量经济人的绝对风险规避倾向的程度强弱，其函数值就叫做(jiàozuò)经济人的绝对风险规避倾向或绝对风险厌恶度。一般来说，表达经济人风险规避倾向强弱的方式有三种：第一种是比较不同VNM效用函数下的风险厌恶度量函数。风险厌恶度量函数的值越大，表示风险规避倾向越强。第二种是比较不同VNM效用函数的凹性强度。VNM效用函数越凹(指在递增凹变换下把一个效用函数变成另一个效用函数)，风险规避倾向越强。第三种是比较不同VNM效用函数下的风险加价大小。风险加价越大，风险规避倾向越强。第二十三页，共35页。1.普拉特定理(dìnglǐ)定理(Pratt)设确定性选择(xuǎnzé)集合X=R，风险环境为(,F,P)。再设uA:XR和uB:XR都是二阶可微、递增、凹的VNM效用函数。则下面三个条件相互等价：对任何wX，都有；存在递增的凹函数g，使得uA(w)=g(uB(w))对一切wX成立；对一切X，都有RPA()RPA()。普拉特研究了上述(shàngshù)三种表达方式之后指出，它们相互等价。这样一来，函数AP:XR便很好地度量着经济人的风险规避倾向。这里，风险行为的风险加价RP()的定义为：RP()=Ec()其中的c()是这样确定的：c()X&u(c())=u()。第二十四页，共35页。2.普拉特定理(dìnglǐ)的严格形式定理(Pratt)设确定性选择集合X=R，风险环境为(,F,P)。再设uA:XR和uB:XR都是二阶可微、递增、凹的VNM效用函数。则下面三个条件(tiáojiàn)相互等价：对任何wX，都有；存在递增的严格凹函数g使得uA(w)=g(uB(w))对一切wX成立；对一切非退化的风险行动X，都有RPA()>RPA()。普拉特定理中的那些(nàxiē)不等式还可以换成严格不等式，从而得到普拉特定理的严格形式。第二十五页，共35页。(二)相对风险规避(guībì)倾向风险厌恶度AP(w)测量的是在行为的绝对量变中，经济人对风险的厌恶程度强弱，因而才叫做绝对风险厌恶度。但实际中，人们也常常使用相对量变，即用比例来表达数量变化。采用相对量变的好处在于消除了量纲影响，从而能更好地把握经济变量的变化。这样，我们(wǒmen)也需要测量经济人在行为的相对量变中对风险的厌恶程度大小，这就是所谓的相对风险厌恶度及相对风险规避倾向。为此，我们(wǒmen)给出如下定义。设u:XR是经济人的VNM效用函数，X=R。对任何wS，定义RAP(w)为：函数RAP:XR叫做经济人的相对风险厌恶度量函数，或阿罗-普拉特相对风险度量，或相对风险规避倾向。函数值RAP(w)叫做经济人在w处的相对风险厌恶度或在w处的相对风险规避倾向。第二十六页，共35页。1.赌博揭示的相对风险规避(guībì)倾向设经济人的财富收入效用函数为u(r)且(rX)(u(r)>0),并设财富以元为单位来计。假定经济人当前拥有w元财富。设F是一个随机事件，其发生的概率为p。通过事件F，可以设计相对赌博：对任何x,yR，平面上的点(x,y)代表这样的赌博：如果事件F发生，则赢xw元，经济人的财富变为(1+x)w元；若事件F未发生，则赢得yw元，经济人的财富变为(1+y)w元。这样，通过事件F设计的相对赌博的全体G正是(zhènɡshì)平面R²：G=R²。原点(0,0)代表不赌，其余点(x,y)((0,0))都代表真正的赌博。赌博(x,y)的预期效用为EU(x,y)=pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)。赌博(x,y)被接受当且仅当pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)u(w)。(x,y)是公平赌博当且仅当px+(1p)y=0。第二十七页，共35页。接受集的边界在原点(0,0)处的切线(qiēxiàn)正是公平赌博直线！2.相对(xiāngduì)接受集GA公平(gōngpíng)的赌博相对接受集边界GA在原点(0,0)处的切线方程：凸集第二十八页，共35页。对任何(rènhé)(x,y),(x,y)GA及实数t[0,1]，令(x,y)=t(x,y)+(1t)(x,y)则有：(1)相对(xiāngduì)接受集的凸性故(x,y)=t(x,y)+(1t)(x,y)GA。这就证明(zhèngmíng)了GA是凸集。第二十九页，共35页。(0)正是GA在原点处的切线的斜率。这样(zhèyàng)，就得到了相对接受集的边界GA在原点(0,0)处的切线方程：px+(1p)y=0相对接受集的边界GA在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线！相对接受集的边界(biānjiè)GA：GA={(x,y)R²:pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)=u(w)}边界(biānjiè)方程pu(w+xw)+(1p)u(w+yw)=u(w)隐含着y=(x)。求导：pu(w+xw)w+(1p)u(w+yw)w(x)=0令x=0，即得到y=(x)在x=0处的导数：(2)相对(xiāngduì)接受集的边界在原点的切线第三十页，共35页。由此可见，(0)与u(w)wu(w)成正比，从而接受集边界GA在原点(0,0)处的曲率(qūlǜ)大小与RAP(w)=u(w)wu(w)成正比！(3)相对接受集的边界(biānjiè)在原点的曲率接受集边界GA在原点处的曲率大小与(0)成正比。为此(wéicǐ)，进行如下求导计算：第三十一页，共35页。3.阿罗-普拉特相对(xiāngduì)风险厌恶度相对(xiāngduì)小赌博接受(jiēshòu)不接受第三十二页，共35页。4.原点附近(fùjìn)赌博的意义原点(0,0)附近(fùjìn)的相对赌博具有特殊的意义：原点附近(fùjìn)的相对赌博都是数量相对较小的赌博：相对小赌博。如果一个人连相对较小的赌博都不愿意接受，那么就表明这个人对风险的厌恶程度较大，足见他具有较强的相对风险规避倾向。一个人不愿意接受的相对小赌博越多，他的风险厌恶度越大，相对风险规避倾向越强。(0)越大，相对接受集边界GA在原点(0,0)处越弯曲，不接受的相对小赌博便越多，风险厌恶度越大，相对风险规避倾向越强。u(w)wu(w)越大，(0)越大。Animportantfact：u(w)wu(w)衡量(héngliáng)着相对风险厌恶度！Arrow&Pratt’srelativemeasureRAP(w)ofriskaversion：第三十三页，共35页。五、风险规避(guībì)倾向的变化规律经济人的风险规避倾向如何随财富数量的变化而变化？在什么情况下适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向，又在什么情况下适合使用相对风险厌恶度来测定？对于这些问题，下述回答似乎是合理(hélǐ)的。第一，绝对风险厌恶度AP(w)随财富量w的增加而递减。第二，相对风险厌恶度RAP(w)不随财富量w的变化而变化。第三十四页，共35页。(一)绝对(juéduì)风险厌恶度的变化规律对于一个用绝对数量表示的较小赌博来说，当经济人的财富较少时，这个赌博可能不被接受；但当财富较多时，接受这个赌博的可能性就大大增加了：赌一下也不是(bùshi)什么大不了的事情。这表明，随着经济人拥有的财富的增多，一个较小赌博被接受的可能性是上升的，从而绝对风险厌恶度下降，绝对风险规避倾向变弱。另外，如果考虑的是短期行为，那么经济人是否能够接受一个赌博，恐怕主要还要看财富数量的绝对变化。因此可以说，当进行短期分析的时期，适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向。第三十五页，共35页。