离散型随机变量的期望

2.3.1离散型随机变量的期望教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望.过程与方法：理解公式"E(aE+b)=aEE+b”，以及"若|-|B(n,p)，贝UEE=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母E、n等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序列出，而连续性随机变量的结果不可以列出若卩是随机变量，是常数，则0也是随机变量円并且不改变其属性(离散型、连续型)分布列：设离散型随机变量E可能取得值为Xi,X2,…，X3,…,E取每一个值Xi(i=1,2,…)的概率为L—I，则称表EX1X2XiPP1P2P为随机变量E的概率分布，简称E的分布列分布列的两个性质：⑴P>0,i=1,2,…;⑵R+R+…=1.离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数E是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是,(k=0,1,2,…，n,|k~])于是得到随机变量E的概率分布如下:E01「K~l…IxI称这样的随机变量E服从二项分布，记作E〜B(n,p)，其中n,p为参数，并记I=b(k；n,p).离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数E也是一个正整数的离散型随机变量.“LJ”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生•如果把k次试验时事件A发生记为＞］、事件A不发生记为目,p(凶)=p,p(目)=q(q=i-p)，那么0,1,2,…，㈢)•于是得到随机变量E的概率分布如下:E123…kP1a凹E称这样的随机变量E服从几何分布记作g(k,p)=凹，其中k=0,1,2,,.、讲解新课:根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此,例如：已知某射手射击所得环数E的分布列如下E45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数•这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数E的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预计大约有次得4环;次得5环;次得10环.故在n次射击的总环数大约为r—■I-—■■I11一11—1从而，预计n次射击的平均环数约为r1—11■—1这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平.对于任一射手，若已知其射击所得环数E的分布列，即已知各个【=|(i=0,1,2,…,10)，我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数1•均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量E的概率分布为EX1X2XnPP1P2Pn则称国上I三I…H…为E的均值或数学期望，简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平E的概率分布中，令叵3-，所以E的数学期望又2•均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,均水平平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量凶，则有因E…|乂|,[*JLdS称为平均数、均值均值或期望的一个性质：若U(a、b是常数)，E是随机变量，则n也是随机变量，它们的分布列为EX1X2xnnLO「叵1]□□PP1P2Pn于是Lsl[[xII乂I……)IE…[吋…)由此，我们得到了期望的一个性质：若E11•B(n,p)，贝UEE=np证明如下：1^10xIkI+1xIT+2xIT+•••+kx+•••+nx又•••回区]IKI+[=1+…+I+…+故若E〜B(n,p)，贝U|np.三、讲解范例：例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分E的期望解：因为所以例2.一次单元测验由20个选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是Z］，则卫~B(20,0.9)由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5口和5寸卜所以,他们在测验中的成绩的期望分别是:例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元•为保护设备，有以下3种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ：方案1:运走设备，搬运费为3800元.方案2:建保护围墙，建设费为2000元•但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施，希望不发生洪水.试比较哪一种方案好.解：用X1、X2和X3分别表示三种方案的损失.采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即X1=3800.采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元；没有大洪水时，损失2000元，即同样，采用第3种方案，有于是，EXi=3800,EX2=62000XP(X2=62000)+200000XP(X2=2000)=62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600,EX3=60000XP(X3=60000)+10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0)=60000X0.01+10000X0.25=3100.采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的•一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.例4•随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数2J的期望TOC\o"1-5"\h\z解:°••厂,BZM=3.5例5•有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件,如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数日的期望(结果保留三个有效数字)解：抽查次数取1K10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前丄I次取出正品而第匸次(=1,2,…，10)取出次品的概率：LJ(目=1,2,…，10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：L一I由此可得勺的概率分布如下：|12345678910凶0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316根据以上的概率分布，可得日的期望E的数学期望.例6•随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数解：抛掷骰子所得点数E的概率分布为E123456pI日勺勺勺］所以MJ1X^+23XT+4XT+5XT+6Xn=(1+2+3+4+5+6)X孑=3.5.抛掷骰子所得点数E的数学期望，就是E的所有可能取值的平均值.例7•某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km,则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按Ikm计)•从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km•某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程E是一个随机变量•设他所收租车费为n(I)求租车费n关于行车路程E的关系式;(n)若随机变量E的分布列为E15161718P0.10.50.30.1求所收租车费n的数学期望.15km，问出租车在途(川)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了中因故停车累计最多几分钟？解：(I)依题意得n=2(H)十10，即r=2吁2;r=2廿2：•,I2EE+2=34.8(元)故所收租车费n的数学期望为34.8元.(川)由38=2丁2，得E=18,5(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3球，以四表示取出球的最大号码，则上J()A.4;B.5;C.4.5;D.4.75答案：C篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分E的数学期望；⑵他罚球2次的得分n的数学期望;⑶他罚球3次的得分E的数学期望.解：⑴因为I—■,.亠I，所以I*I1X「X、+0X[⑵n的概率分布为n012P回I—I上J所以|*||0X|h]+1X|鼻]+2X]=1.4.⑶E的概率分布为所以回0X3+1XE+2X®=2.1.设有m升水，其中含有大肠杆菌n个.今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为E,求E的数学期望. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是冃，事件“E=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A(在此升水中含一个大肠杆菌)恰好发生k次的概率计算方法可求出P(E=k),进而可求EE.解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=冈.•-P(E=k)=R(k)=Ci凶)k(1—冈)n_k(k=0,1,2,….，n)E〜B(n，百)，故EE=nX®=冃五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平;E可能取的全部值;EE公式E2个，则其中含红球(2)求离散型随机变量E的期望的基本步骤：①理解E的意义，写出②求E取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出(aE+b)=aEE+b,以及服从二项分布的随机变量的期望EE=np六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4P69A组1,2,3一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出个数的数学期望是(用数字作答)解：令取取黄球个数3(=0、1、2)则H的要布列为9012p00于是E(Qj)=0X凶+1X弓+2X因=0.8故知红球个数的数学期望为1.2袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分,每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用卫表示得分数①求卫的概率分布列②求卫的数学期望解：①依题意的取值为0、1、2、3、411=0时，取2黑p(U=0)=匡]目=1时，取1黑1白p(0=1)=SI目=2时，取2白或1红1黑p(■=2)=E+凹目=3时，取1白1红，概率p(■=3)=目=4时，取2红，概率p(&=4)=E301234pa00(2)期望E•=0X勺+1X0+2X目+3X勺+4X学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为P1、P2、P3,求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设匸表示产生故障的仪器数，A表示第i台仪器出现故障(i=1、2、3)目表示第i台仪器不出现故障，则：p(2]=1)=p(a1•列•因)+p(E)・A2•冋)+p(El•列・A3)=P1(1—P2)(1—P3)+P2(1—P1)(1—P3)+P3(1—P1)(1—P2)=P计P2+p3—2p1p2—2p2p3—2卩3卩计3pp2p3p(』=2)=p(Ai•A2.凶)+p(A1•回•列)+P(El'A2•A3)=P1P2(1—P3)+P1P3(1—P2)+P2P3(1—Pl)=P1P2+P1P3+P2卩3—3pP2P3p(J]=3)=P(A1•A2•A3)=P1P2P3因=1Xp(R=1)+2Xp(団=2)+3Xp(四=3)=p计p2+p3w注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是1.2解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为3012P回回5.勺、目两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，J队队员是1*1，弓队队员是［乂］，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下:对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率A对B1I3A对B21A对B3I3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，冋|队最后所得分分别为，（1）求』，£的概率分布；（2）求L1I,11解：（I）的可能取值分别为3,2,1,0根据题意知』I，所以(n)七、板书设计(略)八、教学反思：离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；求离散型随机变量E的期望的基本步骤：理解E的意义，写出E可能取的全部值；求E取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出EE公式E(aE+b)=aEE+b,以及服从二项分布的随机变量的期望EE=np。