不定积分公式

Ch4、不宝企分§1、不定积分的概念与性质1、原函数与不定积分定义1：若F\x)=f{x),则称F(x)为/(x)的原函数。连续函数一定有原函数；若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)+C也为f(x)的原函数；事实上，(F(x)+C)=F(x)=f(x)/(x)的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由[仟(x)-仟(x)]=F/(x)-F2(x)=/(a)-/(x)=0,得F[(x)-F2(x)=C故F(x)+C表示了/(x)的所有原函数，其中F(x)为/(x)的一个原函数。定义2：/(x)的所有原函数称为/(x)的不定积分，记为jf(x)dx,J-积分号，/(a)-被积函数，x-积分变量。显然Jf(x)d.x=F(x)+Cjkclx=kx+CpH-1"=一1丄严+c“+1Inx+C2、基本积分表(共24个基本积分 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 )3、不定积分的性质J[/(x)土g(x)0x=Jf{x}dx±jg(x)dxJkj\x}dx=kJf(x)dx(k工0)⑤Jcscx(csex-cotx\lx=|csc2xdv-JcscxcotxtAr=-cotx+cscx+C⑥Jsinxcos"xrsin'x+cos2x=isnr.vcos-.vdx|esc2xdx+jsec2xdx=-cotx+tanx+Ccot2xdx=f(csc2x-l)r/A=-cotx-x+C§2、不定积分的换元法一、第一类换元法(凑微分法)1、jf(ax+b)clx=丄J/(俶+b)cl(ax+b\即〃x=—d(cix+b)例1、求不定积分x=u\fsinudu=-^-cos(5x)+C1Jsin5xMx=£Jsin5xd(5x§J(1一2x)7必=一弓(1一2x)7〃(1一2x)=一£•右(1-2x)7+1+C=一*(1一2x)s+CC(20)(23)dx1rd(x；ci)1一一———_tv=—arctaJ1+(珈)-a訂严⑷=arcs』冷」J-(如\a)2、jf{xn=丄jf{xn)dxn,即兀"怙=dxn例2、求不定积分®jx>J\-x2dx=-1j(1-x2)''J(1-x2)=-1•y-1—(1-x2)2+1+C=_1(l_，F+cTOC\o"1-5"\h\z22+13SV〕)②Jx2e~A'dx=--je~A'd(-x3)=+Cf-^rcos—dx=-fcos—t/j—I=-sinl—+CJ对XJX\xJ\x)=2\cos\lxdy[x=2sin>/x+C3>—dx=dInx,exdx=dex.sinxdx=-dcosx,cosxtAr=Jsinx,sec2xdx=dtanx,xsecxtanxJx=dsccx.dx=t/arctanx,■tdx=t/arcsinx,,「-dx=±dJ土X、、…a/«2±X2①[tanxdx=fS*nAdx=-fCOSA=-lncosx+C=Insecx+C」JcosxJcosxcosxffJsinx,._y-dx==Insinx+C=—Incosx+Csinx」sinx(•frsec.v(secx+tanx)f(•i/(secx+tanx)、(、小③secxav=dx==Iii(secx+tanx)+CJJwar*v4-tnnvJ"“…②JcOtAZ/.V=secx+tanxJsecx+tanxerfrcscxicscx-cotx)fr〃(cscx-cotx)、(、小④cscxdx=dx==hi(csex一cotx)+CJJf'cnr—r*cfyJ_一…；3：f—!—dx=fJxlnx」cscx-cotx如i(lnx)+CInxcscx-cotx(17)(18)(19)dxcos2x(l+tanx)『〃(tanx+1)Jtanx+1=ln(tanx+1)+C⑦hS心J欝工s(i+“')+c⑧訂畔片=i(—)+C⑨J=arctane1+C例4、求不定积分\x-ax+ad(x-a)cd(x+a)x-a」x+a丄山口+c2ax+a(21)(22)②J"訂唱i1+JC丿③j/~4dx=-A2-2x4-52兀-2-6如打2J2心一2卄5d{x~—2a*+5)3a2一2x+5/•>\3x—\=—lnlx"-2x+5)——arctan+C'722dx(x-1)2+4④Jsin2xdx=J-_c；s2.\b_*Jcos2x〃(2x)~~^x~扌血+C严」JInsinxJsinInsinx品2加+J1+sinx」cosr」dxdx——=f「JCOSX+smxJy/2sin(x+龙/4)x+-d\x+-4丿7t⑤Jsin5acos3azZv=gJ(sin8x+sin2x)clx=一吕cos8x一扌cos2x+CTOC\o"1-5"\h\zffcosxdxrdsh\xr(1Insinx….—dx====Inliismx+CJc；nincmrJsinxlnsinxJInsinxdcosx1_；—=tanx+Ccos~xcosx二、第二类换元法1、三角代换例1、jyja'-x7・X1/—'*72=_cTarcsin—+—x讥广一xa2dx解：令兀=asint(或acosr),贝ljyja1—x1=acost.dx=acostdt原式=J“cos/・acostdt=a2f例2.=arcsin—+C00??I91cr.宀cr.xcrx7a__厂—=—1+—sin2/+C=—arcsin—+—・2—・+C242a4aa解：令x=6/sinZ原式二「(“()'"〃_(jt=t+C=arcsin—+CJacost」adx>!a2+x2解：令x=r/tanr(sK^cotr),贝ljyja2+X1=asset,dx=asec1tdt原式=f"sec上〃=rsec/〃f=in(sec/+tanf)+C=InJdJasect=111(x+厶-2+/)+Cclx解：令x=i/tanr(sHacott),则+4=2sec/,dx=2sec2tdt原式二r"心”〃=rsec/d/=In(sec/+tan/)+C=InJasectJylx2+a2X+—aaz解：令x=asect(或acscf),则ylx1-a1=6/tan/,dx=aseettantdt原式=f"'cd】=fscctdt=In(sec/+tan/)+C=InJ//tonfJ"tan/Xy/x2-a2-+aaX=hilx+y/x1-a2)+C(25)例6、J解：令x=asect,则\lx2-9=3tan/,dx=3sectiantdt・3secttantdt=3Jtan2tdt=3j(sec2/一1)=3(tanf一/)+C3一arccos—x原式訂沁J3secr3+C=y/x2-9-3arccos—+Cx小结:中含有yla2-x2J，+“2可考虑用代换＜y/x2-a2x=asintx=atantx=ascct2、无理代换dx解：令Vx+1=r,贝吐=/'一1,dx=3rdt原式可兽"了/2广：；ld/=3jp_]+£”=3£_/+ln(l+J+C12=—y(x+l)‘-3么+1+3In(1+\lx+\)+C2例8、原式可岸沟呵原式讹叫-尚=呵七山=-4(1+右”=-*+如是-21^-lny/\+XyfxJl+X+fC解：令”7=人贝＞Jx=t(\dx=6r\/r；dt=6(/-arctan/)+C+，＞s人11+x...1fltdt解：令J1+/=f，贝ljA=hi(/2-1}dx=原式=J1.-2L^=2『£=2丄ln=+C=ln^i£^+CJ厂一12t+\4>倒代换解：则“冲5一耐例11、Jdxx(x6+4)1x(xb+1)r71+4严原式皿ln(x6+4)+C—IllX-—424§3、分部积分法分部积分公式：(uv)=uv+uv\uvf=(uv)-UVJUVfdx=j(UV)dx-juvdx,故JUdV=UV-^VdU(前后相乘)(前后交换)例1.Jxcosxz/x=Jaz/sinx=xsinx-JsiiixtAY=xsiiix+cosx+C或解：令lnx=f,x=R例2、jxexdx原式==te!-J(?7/Z=tel-R+C=x\r\x-x+C例4.IarcsinAz/xJxdarcsinx=xarcsinx-=xarcsinx-或解：令arcsinx=^x=sint例5.Jexsillxdx=Jsinxdex=exsinx-cosxdx=exsincosxdex=exsinx-^'cosx+Jfdcosx=ex(sinx-cosx)-jexsinxdx故Jexsinxdx=—ex(siii.r—cosA)+C2-^-dxCOS'Xtanx=xtanx-j*tanxdx=xtanx-Insecx+C例7、|In(y+y]\+x2\ix=无In(x+a/1+A-2)-[x•-_'[-dx=xIn(x+V1+x2)-f:',dxX+\\+X~yj\+X~=xIn(r+Vl+x2)-\/l+x2+C§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数R(x)=竺=•幻仝Ii「+f已+幺可用待定系数法化为部分分QMhinxm+b心严+…+业+%式，然后积分。例I、将产轧化为部分分式，并计算丿占才“解:x+3_x+3_AB_(A+B)x-(3A+2B)x2-5x+6(x-2Xx-3)x-2x-3(x-2\x一3)"+3=13A+2B=—3>=-5B=6rdxJ7^3=-5ln(x一2)+61n(x—3)+C2x—5+11x2-5x+6d(x2-5x+6)11x2-5x+6dx—5x+6=ilnCr-5x+6)+Hj|_l__丄nZ+6)+i!4+C2'72x-2例2、佶T冷T1UCV-I)(—I)?(%-i)2rv=ln沖石5A"例“、J島勺x+—X一丄2X"+1+v2x；•丿11x-—X)1x-—arctan—+C1Q+h+1一、01V-2二、三角函数有理式的积分J土-X一1+—JC1arctanx+l-V2开X+—+y[2X丿对三角函数有理式积分/=JR(sinx.cosx)clx,人％令u=tan—,2则x=2arctan«,.2w1—w~sinx=.cosx=1+M21+M21-心21+W2；1+M2数有理式积分即变成了有理函数积分。例5.cdx」3+5cosx]——1(■解：令"=km—,贝ijx=2arctanz/,cosx=-21+Wdu,三角函CI1o.\2+tan-TOC\o"1-5"\h\zm卡(•12frdu1.2+u1,7原丄弋=du==In+C=—In+CJo,1-w21+w2J4-m22-22-h40fx+52-tan—1+/2dx2sinx-cosx+55人xhlllr.2u1-zr2斡^u=tan—,贝Ox=zarctanz/,sinx=,cosx=,dx=du1+1广1+1广1+H"du例人113“3厂1=—・arctan—+C=1丫+?3、你V5+9T3arctan—+1arctanit+—3r1+sinxfdx=J1-cosx2\+irdu=J1+/+2“z/2(w2+1)-cot—+2liisin—+C22=-—+2hiw-ln(l+zr)+C=u