HessenwasrevisedinJanuary2021柯西不等式的应用技巧柯西不等式的应用技巧及练习柯西不等式的一般形式是：设，则当且仅当或时等号成立．其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强．一、巧配数组观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：，便是应用柯西不等式的一个主要技巧．例1 已知求的最小值．例２ 设，求证：．二、巧拆常数运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧．例３设、、为正数且各不相等，求证：.三、巧添项根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也是运用柯西不等式的解题技巧．例4求证：.四、巧变结构有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的．例６ 、为非负数，+=1，求证：例７ 设求证：例5.若a>b>c，求证：.练习题1.(2009年浙江省
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自选模块数学试题)已知实数满足设(1)求的最小值；(2)当时，求的取值范围2(2010年浙江省第二次五校联考)已知，。(1)求的最小值；(2)求证：3(2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数满足：，求的最大值．4(浙江省镇海中学高考模拟试题)已知是正数，且求的最小值；5(金华十校2009年高考模拟考试)若，求证：6(2010年宁波市高三模拟测试卷)已知为正实数，且．证明：，并求等号成立时的值．7(浙江省镇海中学高考模拟试题)若且，求证：。8(2010年金华十校高考模拟考试)设正数x，y，z满足求值．9(2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列的首项，(1)求的通项公式；证明：对任意的10已知实数满足,试求的最值.11求函数的最大值.12求函数的极值，其中是常数.13已知为常数，当时，求函数的最大值与最小值.14已知对于满足等式的任意数，对恒有，求实数a的取值范围.15设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径,证明：.16求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的倍，即,其中为三角形三边长，S为三角形的面积.
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