§8.2　空间点、线、面的位置关系

　空间点、线、面的位置(wèizhi)关系高考(ɡāokǎo)文数(课标Ⅱ专用)第一页，共37页。考点　空间点、线、面的位置(wèizhi)关系1.(2018课标全国Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为 (　　)A. 　    B. 　    C. 　    D. 五年高考A组统一(tǒngyī)命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ·课标卷题组第二页，共37页。答案    C　本题主要(zhǔyào)考查异面直线所成的角.因为CD∥AB,所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角.设正方体的棱长为2,则BE= .因为AB⊥平面BB1C1C,所以AB⊥BE.在Rt△ABE中,tan∠BAE= = .故选C. 解题关键　找到异面直线(zhíxiàn)所成的角是求解关键.第三页，共37页。2.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点(dǐngdiǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 (　　)A. 　    B. 　    C. 　    D. 答案    A　设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.将正方体ABCD-A1B1C1D1补成棱长为2a的正方EFGPQR所在(suǒzài)的平面即为平面α.点A为这个大正方体的中心,直线GR为m,直线EP为n.显然m与n所成的角为60°.所以m,n所成角的正弦值为 .故选A. 第四页，共37页。思路 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 　将原正方体向前、向左、向上拓展(tuòzhǎn)为一个棱长为2a的大正方体,则直线m,n均可以在新正方体中找到,所成角也就找出来了.评析　本题考查了直线与平面的平行和平面与平面的平行的判定(pàndìng)和性质,考查了空间想象能力.第五页，共37页。3.(2015课标Ⅱ,19,12分,0.235)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1FE,F的平面α与此长方体的面相交(xiāngjiāo),交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.第六页，共37页。解析(jiěxī)　(1)交线围成的正方形EHGF如图: (2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH= =6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为  .思路分析　(1)由于AE= = <10,而EB>10,知H不在AA1或BB1上,分别在AB,CD上取点H,G,使AH=DG=10,连接EH、FG,则四边形EFGH即为所求.(2)作EM⊥AB于M点,易得MH= =6,则AH=10.所求两个几何体的体积(tǐjī)之比即为两等高梯形的面积之比.第七页，共37页。考点　空间点、线、面的位置关系1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直(chuízhí)的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则 (　　)A.m∥l　    B.m∥n　    C.n⊥l　    D.m⊥nB组自主(zìzhǔ)命题·省（区、市）卷题组答案(dáàn)    C　∵α∩β=l,∴l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.思路分析　利用直线与平面垂直的性质及平面交线的性质,判断C正确.第八页，共37页。2.(2014辽宁,4,5分)已知m,n 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示(biǎoshì)两条不同直线,α (　　)m∥α,n∥α,则m∥nm⊥α,n⊂α,则m⊥nm⊥α,m⊥n,则n∥αm∥α,m⊥n,则n⊥α答案(dáàn)    B　若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n⊂α,故D错误.因此选B.第九页，共37页。3.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面(píngmiàn)α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面(píngmiàn)β相交”的 (　　)答案    A　因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别(fēnbié)在平面α,β内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选A.解题思路　根据两平面(píngmiàn)相交的定义证明充分性.评析　本题考查了线面的位置关系和充要条件的判断.第十页，共37页。4.(2015广东(guǎngdōng),6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是 (　　)A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案    D　解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D. 解法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少(zhìshǎo)与l1,l2l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,从而l1∥l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少(zhìshǎo)与l1,l2中的一条相交,选D.第十一页，共37页。5.(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别(fēnbié)交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.      第十二页，共37页。解析(jiěxī)　(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V= × ×2×2×1= .(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.第十三页，共37页。考点　空间点、线、面的位置关系(guānxì)1.(2015浙江,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β (　　)l⊥β,则α⊥βα⊥β,则l⊥ml∥β,则α∥βα∥β,则l∥mC组教师(jiàoshī)专用题组答案    A　对于选项A,由面面垂直(chuízhí)的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于α与β的交线时,l∥β,但此时α与β相交,所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A.第十四页，共37页。2.(2013广东(guǎngdōng),8,5分)设l为直线,α,β (　　)l∥α,l∥β,则α∥βl⊥α,l⊥β,则α∥βl⊥α,l∥β,则α∥βα⊥β,l∥α,则l⊥β答案    B    l∥α,l∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故A项错;由面面平行的判定(pàndìng)可知B项正确;由l⊥α,l∥β可知α⊥β,故C项错;由α⊥β,l∥α可知l与β可能平行,也可能l⊂β,也可能相交,故D项错.故选B.第十五页，共37页。3.(2014广东,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确(zhèngquè)的是 (　　)A.l1⊥l4　   B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行　    D.l1与l4的位置关系不确定答案(dáàn)    D     ⇒ ⇒l1∥l4或l1与l4相交或l1与l4l1与l4为D.评析　本题考查空间两条直线的位置关系,考查空间想象能力(nénglì)及推理能力(nénglì).第十六页，共37页。考点　空间点、线、面的位置关系1.(2018宁夏银川一中二模)已知P是△ABC所在平面外的一点,M、N分别是AB、PC的中点,若MN=BC=4,PA=4 ,则异面直线(zhíxiàn)PA与MN所成角的大小是 (　　)°°°°三年模拟A组2016—2018年高考模拟(mónǐ)·基础题组第十七页，共37页。答案    A　如图,取AC中点(zhōnɡdiǎn)D,连接DN,DM, 由已知条件可得DN=2 ,DM=2,在△MND中,∠DNM(或其补角)为异面直线PA与MN所成的角,则cos∠DNM= = ,∴∠DNM=30°,故选A.第十八页，共37页。2.(2017陕西黄陵中学4月二模)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面(píngmiàn),下列命题中正确的是 (　　)m⊥α,n⊥α,则m∥nm∥α,m∥β,则α∥βα⊥γ,β⊥γ,则α∥βm∥α,n∥α,则m∥n答案(dáàn)    A　若m⊥α,n⊥α,则m∥n,所以A对;若m∥α,m∥β,则α,β可能相交,B错;若α⊥γ,β⊥γ,则α,β可能相交,C错;m∥α,n∥α,则m,n可能相交或异面,D错,故选A.第十九页，共37页。3.(2017黑龙江哈尔滨三中二模)对于平面α和不重合的两条直线m,n,下列选项中正确的是 (　　)m⊂α,n∥α,m,n共面,那么(nàme)m∥nm⊂α,n与α相交,那么(nàme)m,n是异面直线m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么(nàme)n∥αm⊥α,n⊥m,那么(nàme)n∥α答案    A　由线面平行的性质定理,可知A正确;B选项中,n可以与m相交;C选项中,直线n可以与平面α相交;D选项中,n可能(kěnéng)包含于平面α.故选A.第二十页，共37页。4.(2017内蒙古包头十校联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线(zhíxiàn)CP与BA1所成角θ的取值范围是 (　　)A.0<θ< 　    B.0<θ≤ ≤θ≤ 　    D.0<θ≤ 答案(dáàn)    D　如图,因为A1B∥CD1,所以∠D1CP(或其补角)即为异面直线CP与BA1所成的角,由题意知点P不能与D1重合,当点P无限与D1靠近时,∠D1CP无限接近于0,当点P由点D1向点A移动时,∠D1CP变大,当点P与点A重合时,∠D1CP最大,为 ,故∠D1CP的取值范围是 ,所以异面直线CP与BA1所成角θ的取值范围是 ,选D. 第二十一页，共37页。5.(2018吉林第三次调研)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题(mìngtí):①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若m⊂α,n⊄α,且m,n是异面直线,则n与α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.其中正确的命题(mìngtí)是　　　    (只填序号).答案(dáàn)　①④解析　对于①,由面面垂直的判定定理可得α⊥β,故①正确.对于②,由题意知,满足条件的平面α,β的位置关系(guānxì)为α∥β或α,β相交,故②不正确.对于③,由题意知,当满足条件时有n与α相交或n∥α,故③不正确.对于④,由线面平行的判定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 可得n∥α且n∥β,故④正确.综上可得①④正确.第二十二页，共37页。6.(2017辽宁大连3月测试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1的截面面积(miànjī)为S,则S的取值范围是　　　    .答案(dáàn)     解析　如图所示,易知当M、N分别为AA1、CC1的中点时,截面MBND1的面积最小,此时,截面MBND1为菱形(línɡxínɡ),所以最小面积为 ×MN×BD1= × × = ;当截面为ABC1D1时,截面面积最大,最大面积为1× = .∴S的取值范围是 . 第二十三页，共37页。B组    2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:30分钟　　分值:50分)选择题(每题5分,共50分)1.(2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面(píngmiàn),则下列命题中正确的是 (　　)α⊥β,m⊥β,则m∥αα内有不共线的三点到平面(píngmiàn)β的距离相等,则α∥βm⊥α,m⊥n,则n∥αm∥n,n⊥α,则m⊥α答案    D　对于A,若α⊥β,m⊥β,则除了m∥α,还可以(kěyǐ)m⊂α,故错误;对于B,若三点不在平面β的同侧,则α与β相交,故错误;对于C,若m⊥α,m⊥n,则有可能n⊂α,故错误;对于D,两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于平面,故正确.故选D.第二十四页，共37页。2.(2018辽宁辽南协作校一模)若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则以上(yǐshàng)说法中正确的有 (　　)①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β;④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β.答案    B　对于①,因为m∥n,m⊥α,所以n⊥α,故①正确;对于②,α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n平行或异面,故②错误;对于③,α∥β,m∥n,m⊥α,由线面垂直(chuízhí)的判定得n⊥β,故③正确;对于④,若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α与β相交或平行,故④错误.故选B.第二十五页，共37页。3.(2018宁夏银川4月质量检测(jiǎncè))α,β是两个平面,m,n是两条直线,则下列命题中错误的是 (　　)m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥βm⊂α,α∥β,那么m∥βα∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥lm⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β答案    D　对于A,如果m⊥n,m⊥α,,则n∥α或n⊂α,因为n⊥β,那么(nàme)α⊥β,故正确;对于B,如果m⊂α,α∥β,则m∥β,故正确;对于C,如果α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l,故正确;对于D,如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么(nàme)α与β的关系不确定,故错误.故选D.第二十六页，共37页。4.(2018陕西榆林(yúlín)二模)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是 (　　) A.B,C,A1　    B.B1,C1,A　    C.A1,B1,C　    D.A1,B,C1答案    D　当α为平面A1BC1时,因为(yīnwèi)平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1BC1∩平面ABC=l,平面A1BC1∩平面A1B1C1=A1C1,所以l∥A1C1,故选D.第二十七页，共37页。5.(2018内蒙古包头一模)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,G是EF的中点,沿DE,EF,FD将正方形折起,使A,B,C重合于点P,构成四面体,则在四面体P-DEF中,给出下列结论:①PD⊥平面(píngmiàn)PEF;②PD⊥EF;③DG⊥平面(píngmiàn)PEF;④DF⊥PE;⑤平面(píngmiàn)PDE⊥平面(píngmiàn)PDF.其中正确结论的序号是 (　　)      A.①②③⑤　    B.②③④⑤C.①②④⑤　    D.②④⑤第二十八页，共37页。答案    C　因为E,F分别为AB,BC的中点,所以BD⊥EF,因为DA⊥AE,DC⊥CF,所以折叠后DP⊥PE,DP⊥PF,所以DP⊥平面PEF,所以①正确;∵DP⊥平面PEF,EF⊂平面PEF,所以DP⊥EF,所以②正确;∵DP⊥平面PEF,且过一点有且只有一条直线垂直于一个(yīɡè)平面,∴DG⊥平面PEF是不正确的,所以③不正确;由PE⊥PF,PE⊥DP,可得PE⊥平面DPF,又DF⊂平面DPF,所以PE⊥DF,所以④正确;由PE⊥平面DPF,PE⊂平面PDE,得平面PDE⊥平面DPF,所以⑤正确,综上可知,正确的结论序号为①②④⑤,故选C.第二十九页，共37页。6.(2017青海西宁一模)已知α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列(xiàliè)命题:①若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ;②若l上两点到α的距离相等,则l∥α;③若l⊥α,l∥β,则α⊥β;④若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题是 (　　)A.①②　    B.②③　    C.②④　    D.③④答案    D　若α⊥β,β⊥γ,则α与γ可能相交,也可能平行,故①错误;若l上两点到α的距离相等,则l与α可能相交,也可能平行,故②错误;若l∥β,则存在(cúnzài)直线a⊂β,使l∥a,又l⊥α,∴a⊥α,则α⊥β,故③正确;若α∥β,且l∥α,则l⊂β或l∥β,又l⊄β,∴l∥β,故④正确,故选D.第三十页，共37页。7.(2017吉林梅河口五中(wǔzhōng)一模)已知直线m和平面α,β,则下列四个命题中正确的是 (　　)α⊥β,m⊂β,则m⊥αα∥β,m∥α,则m∥βα∥β,m⊥α,则m⊥βm∥α,m∥β,则α∥β答案    C    A错误,因为两个平面垂直(chuízhí),在一个平面内的直线不一定和另一个平面垂直(chuízhí).B错误,因为m可能包含于平面β.C选项显然正确.D选项错误,因为两平面有可能相交.第三十一页，共37页。8.(2017重庆(zhònɡqìnɡ)八中月考(七))四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,且AB=2,BC=1,AC=2,记平面PAD与平面PBC的交线为m,平面PAB与平面PDC的交线为n,则m与n所成的角的余弦值为 (　　)A. 　    B. C. 　    D. 答案    B　分别过顶点P作MP∥BC,NP∥AB,则直线MP为平面(píngmiàn)PAD与平面(píngmiàn)PBC的交线,即为m,直线NP为平面(píngmiàn)PAB与平面(píngmiàn)PDC的交线,即为n,所以AB与BC所成的角即为m与n所成的角,在△ABC中,cos∠ABC= = ,所以m与n所成的角的余弦值为 ,选B.第三十二页，共37页。9.(2017辽宁五市八校第二次联考)设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角(duìjiǎo)面BDD1B1(含边界)内的点,若点P到平面ABC,平面ABA1,平面ADA1的距离相等,则符合条件的点P (　　)答案    A　与平面ABC,平面ABA1距离相等的点位于平面ABC1D1上;与平面ABC,平面ADA1距离相等的点位于平面AB1C1D上;与平面ABA1,平面ADA1距离相等的点位于平面ACC1A1上.据此可知,满足题意的点位于平面ABC1D1,平面AB1C1D,平面ACC1A1的公共(gōnggòng)点处,满足题意的点仅有一个,为正方体的中心.选A.第三十三页，共37页。10.(2016陕西校级模拟(mónǐ))用一个平面去截一个所有棱长均为1的正五棱锥,其截面图形不可能是 (　　)C.平行四边形　    D.正五边形第三十四页，共37页。答案    C　用一个平面去截一个所有棱长均为1的正五棱锥P-ABCDE,①若截面过棱PB、PE,则截面△PBE与△ABE是全等三角形,且∠BAE=108°,∴截面△PBE是钝角三角形,如图1所示. 图1②在平面PAB内作MN∥AB,交PA、PB于点M、N,连接(liánjiē)CE,则CE∥AB,∴MN∥CE,且MN≠CE,∴四边形CEMN是等腰梯形,如图2所示. 图2第三十五页，共37页。③用平行于底面的平面截该五棱锥,则截面图形(túxíng)是正五边形,如图3所示. 图3综上,截面图形(túxíng)不可能是平行四边形.故选C.第三十六页，共37页。内容(nèiróng)总结空间点、线、面的位置关系。5.(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别(fēnbié)交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.。答案    A　如图,取AC中点D,连接DN,DM,。A.B,C,A1　    B.B1,C1,A　    C.A1,B1,C　    D.A1,B,C1第三十七页，共37页。