弹性力学平面应力问题和平面应变问题

关于弹性力学平面应力问题和平面应变问题第一页，共一百七十一页，2022年，8月28日第一节平面应力问题和平面应变问题第二节平衡微分方程第三节平面问题中一点的应力状态第四节几何方程刚体位移第五节物理方程第六节边界条件第二章平面问题的基本理论第二页，共一百七十一页，2022年，8月28日第二章平面问题的基本理论第七节圣维南原理及其应用第八节按位移求解平面问题第九节按应力求解平面问题相容方程第十节常应力情况下的简化应力函数第三页，共一百七十一页，2022年，8月28日弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。§2-1　平面应力问题和平面应变问题弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为；平面应力第四页，共一百七十一页，2022年，8月28日==第五页，共一百七十一页，2022年，8月28日==第六页，共一百七十一页，2022年，8月28日两类特殊问题1、平面应力问题yxyzt/2t/2第七页，共一百七十一页，2022年，8月28日（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；条件是：第一种：平面应力问题平面应力（1）等厚度的薄板；第八页，共一百七十一页，2022年，8月28日坐标系如图选择。平面应力第九页，共一百七十一页，2022年，8月28日简化为平面应力问题：故只有平面应力　存在。由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：平面应力（1）两板面上无面力和约束作用，故第十页，共一百七十一页，2022年，8月28日所以归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为。平面应力（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力　仅为。第十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日如：弧形闸门闸墩计算简图：平面应力深梁计算简图：F第十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日因 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面无任何面力，平面应力AB例题1：试 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 AB薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故表面上，有：在近表面很薄一层内：第十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日第二种：平面应变问题纵向轴压力管道纵向轴水坝第十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；平面应变第二种：平面应变问题条件是：（1）很长的常截面柱体；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。第十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日坐标系选择如图：平面应变对称面第十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日故任何z面（截面）均为对称面。平面应变（1）截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长；简化为平面应变问题：第十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿向均不变，故应力、应变和位移均为。平面应变第十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日所以归纳为平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量存在；b.且仅为。平面应变第十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日例如：平面应变隧道挡土墙oyxyox第二十页，共一百七十一页，2022年，8月28日且仅为。故只有，本题中：平面应变oxyz例题2：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。第二十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日§2－2　平衡微分方程定义平衡微分方程--表示物体内任一点的微分体的平衡条件。第二十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体,作用于微分体上的力：体力：。定义应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量。第二十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日应用的基本假定：连续性假定─应力用连续函数来表示。小变形假定─用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。第二十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日列出平衡条件：合力=应力×面积，体力×体积；以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。平衡条件第二十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日其中一阶微量抵消，并除以得：，同理可得：平衡条件第二十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日当时，得切应力互等定理,得平衡条件第二十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑵适用的条件--连续性，小变形； 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 对平衡微分方程的说明：⑴代表A中所有点的平衡条件，因位（，）∈A；⑶应力不能直接求出；⑷对两类平面问题的方程相同。第二十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日理论力学考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。说明⑸比较:材料力学考虑有限体的平衡（近似）。弹性力学考虑微分体的平衡（精确）。第二十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日当均平衡时，保证，平衡；反之则不然。说明所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。第三十页，共一百七十一页，2022年，8月28日理力（V）材力（）弹力（）hVdxdydx第三十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日思考题1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件,改为对某一角点的，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？第三十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日已知坐标面上应力，求斜面上的应力。问题的提出：§2－3　平面问题中一点的应力状态问题第三十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日求解：取出一个三角形微分体（包含面，面，面），边长问题斜面应力表示：第三十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日yxPAPBppxpyτNσNn2、平面问题中一点的应力状态几何参数：设AB面面积=ds，PB面积=lds，PA面积=mds。斜面上应力分解为：由∑Y=0得：（2-3）第三十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求（,）(a)斜面应力其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。第三十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日2、平面问题中一点的应力状态yxPAPBppxpy斜面上应力分解为：τNσN（2-4）（2-5）已知P点应力σxσyτxy可求出过P点任意斜面上的正应力和剪应力（σNτN）利用（2-4）（2-5）应力在x，y轴上的投影（px，py）利用（2-3）n第三十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日(2)求（）将向法向，切向投影，得斜面应力第三十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平主平面上的应力叫主应力。σpxpyyxAPBnσ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0第三十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日设某一斜面为主面，则只有由此建立方程，求出:(3)求主应力斜面应力(c)第四十页，共一百七十一页，2022年，8月28日主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面，主平面上的应力叫主应力。σpxpyyxAPBn注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在两个主应力。二者方向互相垂直。②σ1+σ2=σx+σy③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。④最大剪应力所在平面与主平面相交45°，其值为⑤主平面上剪应力等于零，但τmax作用面上正应力一般不为零。而是：第四十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日将x，y放在方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设）(4)求最大，最小应力最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 导出。(d)第四十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日几何方程─表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。§2－4　几何方程　刚体位移定义第四十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日变形前位置：变形后位置：－－各点的位置如图。通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段定义第四十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日应用基本假定：⑴连续性；⑵小变形。当很小时，假定第四十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日几何方程刚体位移yxPABP´A´B´uvPA=dx,PB=dyPA正应变:PB正应变:αβ………（2-8）几何方程：对两种平面问题都适用。第四十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日假定由位移求形变：PA线应变PA转角PB线应变PB转角同理，第四十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑴适用于区域内任何点，因为（x,y）A；对几何方程的说明：所以平面问题的几何方程为：说明⑶适用条件：a.连续性；b.小变形。⑵应用小变形假定，略去了高阶小量线性的几何方程；第四十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑷几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。⑸形变和位移之间的关系：位移确定形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。说明从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。第四十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日从物理概念看，，确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看，，确定，求位移是积分运算，出现待定函数。形变确定，位移不完全确定：形变与位移的关系第五十页，共一百七十一页，2022年，8月28日由,两边对y积分，由,两边对x积分，例：若,求位移：形变与位移的关系代入第三式第五十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日分开变量，因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数，由此解出。可得形变与位移的关系第五十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日物理意义：　形变与位移的关系－－表示物体绕原点的刚体转动。－－表示x，y向的刚体平移，第五十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日结论形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移则未定。－－须通过边界上的约束条件来确定。第五十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日思考题1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是2.当应变为常量时，试求出对应的位移分量。第五十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日物理方程－－表示（微分体上）应力和形变之间的物理关系。定义即为广义胡克定律：§2－5　物理方程第五十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日物理方程的说明：说明⑷正应力只与线应变有关；切应力只与切应变有关。⑶是线性的代数方程；⑵是总结实验规律得出的；⑴适用条件─理想弹性体；第五十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日物理方程的两种形式：－－应变用应力表示，用于按应力求解；－－应力用应变（再用位移表示）表示，用于按位移求解。说明第五十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日平面应力问题的物理方程：代入，得：在z方向平面应力第五十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日代入得平面应变问题的物理方程平面应变在z方向，第六十页，共一百七十一页，2022年，8月28日平面应力物理方程→平面应变物理方程：变换关系：平面应变物理方程→平面应力物理方程：第六十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日思考题1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。2.试证：3个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的变形大。第六十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日位移边界条件－－设在部分边界上给定位移分量和,则有（在上)。（a）定义边界条件－－表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。位移边界条件§2－6　边界条件第六十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑵若为简单的固定边，则有位移边界条件的说明：（在上）。（b）⑶它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。⑴它是函数方程，要求在上每一点，位移与对应的约束位移相等。第六十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日在§2－3中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件－－设在上给定了面力分量（在A中）。（c）应力边界条件第六十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:　第六十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑴它是边界上微分体的静力平衡条件；说明应力边界条件的说明：⑶式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界s上成立；⑵它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；第六十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑹所有边界均应满足，无面力的边界（自由边）也必须满足。⑷式（d）中，－－按应力符号规定，，－－按面力符号规定；⑸位移,应力边界条件均为每个边界两个，分别表示，向的条件；说明第六十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日若x=a为正x面，l=1,m=0,则式(d)成为当边界面为坐标面时，坐标面第六十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日若x=-b为负x面，l=-1,m=0,则式(d)成为第七十页，共一百七十一页，2022年，8月28日应力边界条件的两种表达式：两种表达式⑵在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相等，方向一致）。即在同一边界面上,应力数值应等于面力数值(给定),应力方向应同面力方向(给定)。⑴在边界点取出微分体，考虑其平衡条件，得式（d）或（e），（f）；第七十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日在斜面上，在±坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（e），（f）有区别。例如：两种表达式第七十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日例1列出边界条件：第七十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日第七十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日例2列出边界条件：第七十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日显然，边界条件要求在上，也成抛物线分布。第七十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑴部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；混合边界条件混合边界条件：⑵同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。第七十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日例3列出的边界条件：第七十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。§2－7　圣维南原理及其应用圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。第七十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。圣维南原理圣维南原理：第八十页，共一百七十一页，2022年，8月28日圣维南原理1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：4.远处─指“近处”之外。3.近处─指面力变换范围的一，二倍的局部区域；2.静力等效─指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；第八十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日圣维南原理圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。第八十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日例1比较下列问题的应力解答：b第八十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日例2比较下列问题的应力解答：推广第八十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日圣维南原理的应用：1.推广解答的应用；2.简化小边界上的边界条件。应用第八十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日圣维南原理在小边界上的应用：⑴精确的应力边界条件如图，考虑小边界，第八十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。(a)在边界上，第八十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界x=l上，应力的主矢量=面力的主矢量（给定);应力的主矩(M)=面力的主矩（给定）.数值相等,方向一致.(b)⑵圣维南原理的应用─积分的应力边界条件第八十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。第八十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日具体列出3个积分的条件：第九十页，共一百七十一页，2022年，8月28日即：应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量，主矩的数值；应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。式中应力主矢量，主矩的正方向,正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即（正应力）×（正的矩臂）的方向。第九十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日讨论：1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩；2.在负x面，，由于应力，面力的符号规定不同，应在式(c)中右端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。第九十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日精确的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数23方程性质函数方程（难满足）代数方程（易满足）精确性精确近似适用边界大，小边界小边界比较：第九十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日思考题1、为什么在大边界（主要边界）上，不能应用圣维南原理？2、试列出负面上积分的应力边界条件，设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。第九十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑴平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将进行变换。以下讨论平面应力问题。1.平面问题的基本方程及边界条件平面问题§2－8　按位移求解平面问题第九十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑵平面应力问题平面域A内的基本方程:平衡微分方程（在A内）第九十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日几何方程物理方程（在A内）（在A内）第九十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日应力边界条件位移边界条件（在上）（在上）S上边界条件:8个未知函数必须满足上述方程和边界条件。第九十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日按位移求解（位移法）─取，为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含，的方程和边界条件，从而求出，；再求形变和应力。2.解法─消元法解法第九十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日按应力求解（应力法）－－取为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。这是弹力问题的两种基本解法。第一百页，共一百七十一页，2022年，8月28日3.按位移求解⑵将其他未知函数用，表示：形变用，表示─几何方程;应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用，表示:⑴取，为基本未知函数；按位移求解第一百零一页，共一百七十一页，2022年，8月28日第一百零二页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑶在A中导出求，的基本方程─将式(a)代入平衡微分方程，上式是用，表示的平衡微分方程。第一百零三页，共一百七十一页，2022年，8月28日位移边界条件（在上）(d)（在上）(c)应力边界条件─将式(a)代入应力边界条件，⑷在S上的边界条件第一百零四页，共一百七十一页，2022年，8月28日按位移求解时，，必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)，(d)。归纳：式(b)，(c)，(d)－－是求解，的条件;也是校核，是否正确的全部条件。第一百零五页，共一百七十一页，2022年，8月28日按位移求解（位移法）的优缺点：求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。适用性广─可适用于任何边界条件。第一百零六页，共一百七十一页，2022年，8月28日例1考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。(a)(b)第一百零七页，共一百七十一页，2022年，8月28日解：为了简化，设位移按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为(a)(b)第一百零八页，共一百七十一页，2022年，8月28日均属于位移边界条件，代入，得得解出第一百零九页，共一百七十一页，2022年，8月28日在处，代入，并求出形变和应力，第一百一十页，共一百七十一页，2022年，8月28日思考题试用位移法求解图(b)的位移和应力。第一百一十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日（1）取为基本未知函数；基本方程§2－9按应力求解平面问题相容方程1.按应力求解平面应力问题（2）其他未知函数用应力来表示:第一百一十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日位移用形变─应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题,即。形变用应力表示（物理方程）。按应力求解第一百一十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑶在A内求解应力的方程(b)从几何方程中消去位移，，得相容方程（形变协调条件）：补充方程─从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出:平衡微分方程（2个）。(a)第一百一十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得用应力表示的相容方程：其中(4)应力边界条件－－假定全部边界上均为应力边界条件。第一百一十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界上的应力边界条件；（4）对于多连体，还须满足位移的单值条件（见第四章）。归纳：（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。按应力求解平面应力问题，应力必须满足下列条件：第一百一十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日2.形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调→对应的位移存在→位移必然连续；形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。⑵形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。⑴形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。第一百一十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日点共点（连续），变形后三连杆在点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。例1三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在D第一百一十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的方法，并与结构力学中的位移法和力法作比较。2.若是否可能成为弹性体中的形变？3.若　　　　　　　　　　　是否可能为弹性体中的应力？思考题第一百一十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑴相容方程(A)(a)1.常体力情况下按应力求解的条件(A)(b)⑵平衡微分方程按应力函数求解§2－10　常体力情况下的简化应力函数第一百二十页，共一百七十一页，2022年，8月28日⑶应力边界条件(S)(c)⑷多连体中的位移单值条件。(d)第一百二十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日在⑴-⑶条件下求解的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数，故与弹性常数无关。2.在⑴常体力,⑵单连体,⑶全部为应力边界条件（）下的应力特征：第一百二十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日结论：①不同材料的应力()的理论解相同，用试验方法求应力时，也可以用不同的材料来代替。②两类平面问题的应力解相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应变的模型。第一百二十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日3.常体力下按应力求解的简化对应的齐次微分方程的通解，艾里已求出为非齐次微分方程(b)的任一特解，如取（1）常体力下平衡微分方程的通解是：非齐次特解+齐次通解。第一百二十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日所以满足平衡微分方程的通解为:(g)为艾里应力函数。第一百二十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日如果，则A，B均可用一个函数表示，即　　说明：a.导出艾里（Airy）应力函数，是应用偏导数的相容性，即第一百二十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日d.由再去求应力（式（g））,必然满足平衡微分方程，故不必再进行校核。c.仍然是未知的。但已将按应力求解转变为按应力函数求解，从3个未知函数减少至1个未知函数。b.导出应力函数的过程，也就证明了的存在性，故可以用各种方法去求解。第一百二十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日（2）应力应满足相容方程（a），将式（g）代入（a），得（3）若全部为应力边界条件（），则应力边界条件也可用表示。第一百二十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日归纳：（1）A内相容方程（h）；（2）上的应力边界条件；（3）多连体中的位移单值条件连体。求出后，可由式（g）求得应力。在常体力下求解平面问题，可转变为按应力函数求解，应满足:第一百二十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日1，在常体力，单连体和全部为应力边界条件条件下，对于不同材料和两类平面问题的　，和　均相同。试问其余的应力分量，应变和位移是否相同？思考题第一百三十页，共一百七十一页，2022年，8月28日2，对于按位移(u,v)求解，按应力（，，）求解和按应力函数求解的方法，试比较其未知函数，应满足的方程和条件，求解的难易程度及局限性。第一百三十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日第二章例题1例题2例题3例题4例题7例题5例题6例题第一百三十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日例1试列出图中的边界条件。MFyxlh/2h/2q(a)第一百三十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日解:(a)在主要边界应精确满足下列边界条件：第一百三十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚时，第一百三十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。第一百三十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日(b)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：FOxyqh(b)b/2b/2第一百三十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日在小边界y=0，列出3个积分的边界条件，当板厚时，第一百三十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日注意在列力矩的条件时两边均是对原点o的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核。第一百三十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日例2厚度悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是图示问题的解答。第一百四十页，共一百七十一页，2022年，8月28日h/2h/2AxylFO第一百四十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:(1)区域内用位移表示的平衡微分方程( 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中式2－18）;第一百四十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日（2）应力边界条件（书中式2－19），在所有受面力的边界上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。（3）位移边界条件（书中式2－14）。本题在x=l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。第一百四十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：A点（x=l及y=0），读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。第一百四十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日例3试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在第一百四十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即（a）相容；（b）须满足B=0,2A=C；（c）不相容。只有C=0，则第一百四十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日例4在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：第一百四十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（当）。第一百四十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日（a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F,D=-E.此外，还应满足应力边界条件。（b）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0。为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。第一百四十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日例5若是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程试证明函数都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数使用。第一百五十页，共一百七十一页，2022年，8月28日解：上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重调和方程），第一百五十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日(a)例6图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，第一百五十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日xyloqqlh/2h/2第一百五十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程;（3）应力边界条件（在上）。将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。第一百五十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日再校核边界条件，在主要边界上，第一百五十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日第一百五十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日再将式（b）表达式代入次要边界条件，其主矢量为而主矩为第一百五十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日其主矢量为其主矢量为0，而主矩为第一百五十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。第一百五十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日q(x)xyloh/2h/2例7在材料力学中，当矩形截面梁（度）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为第一百六十页，共一百七十一页，2022年，8月28日（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力和挤压应力的公式。（提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）第一百六十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日（b）当q为常数时，试检验应力分量是否满足相容方程，试在中加上一项对平衡没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定f(y),并校核梁的左右边界条件。第一百六十二页，共一百七十一页，2022年，8月28日解：本题引用材料力学的弯应力的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（在上）。第一百六十三页，共一百七十一页，2022年，8月28日（a）不计体力，将代入平衡微分方程第一式，得:两边对y积分，得第一百六十四页，共一百七十一页，2022年，8月28日再由上下的边界条件将代入平衡微分方程的第二式,第一百六十五页，共一百七十一页，2022年，8月28日对y积分，得得由上下的边界条件，第一百六十六页，共一百七十一页，2022年，8月28日上述解答及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。由此得第一百六十七页，共一百七十一页，2022年，8月28日（b）若q为常数，则，得代入相容方程，为了满足相容方程，第一百六十八页，共一百七十一页，2022年，8月28日此式和式（c），（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得积分得第一百六十九页，共一百七十一页，2022年，8月28日由次要边界条件由此得第一百七十页，共一百七十一页，2022年，8月28日感谢大家观看第一百七十一页，共一百七十一页，2022年，8月28日