第4章贪心算法学习要点理解贪心算法的概念。掌握贪心算法的基本要素（１）最优子结构性质（２)贪心选择性质理解贪心算法与动态规划算法的差异理解贪心算法的一般理论通过应用范例学习贪心设计策略。（1）活动安排问题；(２)最优装载问题;（3）哈夫曼编码;（4)单源最短路径；(5）最小生成树;(6）多机调度问题。ﻩ顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑,它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解,但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下,即使贪心算法不能得到整体最优解,其最终结果却是最优解的很好近似。4.1 活动安排问题ﻫ活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的很好例子。该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源的活动。贪心算法提供了一个简单、漂亮的
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使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。4．1 活动安排问题设有ｎ个活动的集合E＝｛1,2，…,ｎ},其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等,而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间ｓi和一个结束时间fi，且si＜fi 。如果选择了活动i,则它在半开时间区间[si，ｆi)内占用资源。若区间[si, fi)与区间［sｊ, ｆｊ)不相交，则称活动i与活动ｊ是相容的。也就是说,当sｉ≥fj或sｊ≥ｆi时，活动i与活动j相容。4.1活动安排问题tｅmpｌate
voidＧreeｄySelector(intｎ, Tyｐe ｓ[］, Type f[]，boolA[］）{ Ａ[1]=true; inｔ j＝1； ｆor(ｉntｉ=2；i<=n;ｉ++)｛ if (ｓ［i]>＝f［j]) {Ａ[i］=true；j＝i;}eｌｓｅA［i]=fａlse; }｝下面给出解活动安排问题的贪心算法GreｅdyＳelector：各活动的起始时间和结束时间存储于数组s和f中且按结束时间的非减序排列4.1 活动安排问题由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所以算法ｇreedySｅlecｔoｒ每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说,该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化,以便安排尽可能多的相容活动。 ﻩ算法greｅdｙSeｌector的效率极高。当输入的活动已按结束时间的非减序排列,算法只需O(ｎ)的时间安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。如果所给出的活动未按非减序排列,可以用O(ｎｌoｇn)的时间重排。４.1活动安排问题 例：设待安排的１1个活动的开始时间和结束时间按结束时间的非减序排列如下：i12３45678９1011Ｓ[i]13053568８212f[i］456７89101112131４4．1活动安排问题算法ｇreedySeleｃtor的计算过程如左图所示。图中每行相应于算法的一次迭代。阴影长条
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示的活动是已选入集合A的活动,而空白长条表示的活动是当前正在检查相容性的活动。4.１ 活动安排问题若被检查的活动ｉ的开始时间Si小于最近选择的活动j的结束时间fi，则不选择活动i,否则选择活动i加入集合A中。 贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对于活动安排问题,贪心算法greｅdyＳelector却总能求得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。4.2贪心算法的基本要素本节着重讨论可以用贪心算法求解的问题的一般特征。ﻩ 对于一个具体的问题，怎么知道是否可用贪心算法解此问题,以及能否得到问题的最优解呢？这个问题很难给予肯定的回答。 但是,从许多可以用贪心算法求解的问题中看到这类问题一般具有2个重要的性质:贪心选择性质和最优子结构性质。4.２贪心算法的基本要素1、贪心选择性质 所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素,也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。 动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题,而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。 对于一个具体问题,要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。4．2贪心算法的基本要素ﻩ 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。2、最优子结构性质4.2贪心算法的基本要素ﻩ贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性质，这是2类算法的一个共同点。但是,对于具有最优子结构的问题应该选用贪心算法还是动态规划算法求解？是否能用动态规划算法求解的问题也能用贪心算法求解?下面研究2个经典的组合优化问题，并以此说明贪心算法与动态规划算法的主要差别。3、贪心算法与动态规划算法的差异４.２贪心算法的基本要素0－1背包问题: 给定n种物品和一个背包。物品ｉ的重量是Wi，其价值为Vｉ,背包的容量为Ｃ。应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时,对每种物品i只有2种选择,即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次,也不能只装入部分的物品i。4.2 贪心算法的基本要素背包问题： 与0－1背包问题类似，所不同的是在选择物品ｉ装入背包时,可以选择物品i的一部分,而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。这２类问题都具有最优子结构性质,极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而０-1背包问题却不能用贪心算法求解。 4．２贪心算法的基本要素 首先计算每种物品单位重量的价值Ｖi/Wi,然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后,背包内的物品总重量未超过C,则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去,直到背包装满为止。ﻩ具体算法可描述如下页:用贪心算法解背包问题的基本步骤：4.2贪心算法的基本要素ｖoiｄKｎａｐsack（ｉntn,ｆlｏatM，float v[］,floａtw[],floaｔx[］)｛ Sｏrt（n,v,w);inti;ｆor（i=1；ｉ＜=n；i+＋)x［i]=0; flｏaｔ ｃ=M； for(i=1;ｉ＜=ｎ;ｉ++) { iｆ（w[i］>ｃ) bｒｅａk; x[ｉ]＝1； c-=w［ｉ］; } if(i<=n)ｘ[ｉ]=ｃ/w[i]；｝算法knaｐｓack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为Ｏ（ｎlogn)。为了证明算法的正确性,还必须证明背包问题具有贪心选择性质。4．２ 贪心算法的基本要素对于0-1背包问题,贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下,它无法保证最终能将背包装满,部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。事实上，在考虑0－1背包问题时,应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终
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，然后再作出最好选择。由此就导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态规划算法求解的另一重要特征。ﻩﻩ实际上也是如此,动态规划算法的确可以有效地解０-1背包问题。4.3最优装载 ﻩ有一批集装箱要装上一艘载重量为ｃ的轮船。其中集装箱i的重量为Wi。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下,将尽可能多的集装箱装上轮船。1、算法描述最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解。具体算法描述如下页。4．3最优装载temｐｌaｔevoiｄＬoadinｇ(intx[]，Typew[］,Tｙpec, ｉｎｔn){int *t＝newiｎt[n+1];Sort(w,t,n); for(ｉnti=1;i <＝ｎ;ｉ++)x[i]=0; ｆor (inti=１;ｉ＜=n&&ｗ［t［ｉ］］<＝ｃ；i+＋){ｘ[ｔ[ｉ]]=1；ｃ-=w[t[i]］;}｝4.3最优装载2、贪心选择性质ﻩ可以证明最优装载问题具有贪心选择性质。 3、最优子结构性质ﻩ最优装载问题具有最优子结构性质。ﻩ由最优装载问题的贪心选择性质和最优子结构性质，容易证明算法ｌoadinｇ的正确性。ﻩ算法loａdinｇ的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序,故算法所需的计算时间为O(nlｏｇｎ)。 4.4哈夫曼编码ﻩﻩ哈夫曼编码是广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在2０%~90%之间。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率表来建立一个用０，１串表示各字符的最优表示方式。ﻩ给出现频率高的字符较短的编码，出现频率较低的字符以较长的编码，可以大大缩短总码长。1、前缀码ﻩ对每一个字符规定一个0,1串作为其代码,并要求任一字符的代码都不是其它字符代码的前缀。这种编码称为前缀码。４．4哈夫曼编码编码的前缀性质可以使译码方法非常简单。表示最优前缀码的二叉树总是一棵完全二叉树，即树中任一结点都有2个儿子结点。ﻩ平均码长定义为：ﻩ使平均码长达到最小的前缀码编码方案称为给定编码字符集C的最优前缀码。4．4哈夫曼编码2、构造哈夫曼编码哈夫曼提出构造最优前缀码的贪心算法，由此产生的编码方案称为哈夫曼编码。ﻩﻩ哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。算法以|C|个叶结点开始,执行|C|－1次的“合并”运算后产生最终所要求的树Ｔ。ﻩﻩ4.4哈夫曼编码 在
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上给出的算法hｕffmanＴree中，编码字符集中每一字符c的频率是f(ｃ)。以f为键值的优先队列Ｑ用在贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小频率的树。一旦2棵具有最小频率的树合并后，产生一棵新的树，其频率为合并的2棵树的频率之和,并将新树插入优先队列Q。经过n－1次的合并后,优先队列中只剩下一棵树，即所要求的树Ｔ。ﻩ算法hｕfｆmanTreｅ用最小堆实现优先队列Q。初始化优先队列需要Ｏ(n)计算时间，由于最小堆的ｒemoveMin和puｔ运算均需Ｏ(ｌogn)时间，ｎ-1次的合并总共需要O(nlogn)计算时间。因此,关于n个字符的哈夫曼算法的计算时间为Ｏ(ｎｌogn) 。4.4 哈夫曼编码3、哈夫曼算法的正确性ﻩﻩ要证明哈夫曼算法的正确性,只要证明最优前缀码问题具有贪心选择性质和最优子结构性质。ﻩ(1)贪心选择性质ﻩ(2）最优子结构性质4．５单源最短路径ﻩﻩ给定带权有向图G =(V，E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点,称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。1、算法基本思想ﻩDｉjksｔra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。４.5单源最短路径ﻩ其基本思想是,设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。ﻩﻩ初始时,S中仅含有源。设u是Ｇ的某一个顶点，把从源到ｕ且中间只经过Ｓ中顶点的路称为从源到u的特殊路径,并用数组dｉst记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dｉjｋstra算法每次从Ｖ－S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到Ｓ中，同时对数组dｉst作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点,dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。4.５单源最短路径ﻩ例如,对右图中的有向图,应用Dijkstrａ算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下页的表中。４．5单源最短路径迭代Ｓudist[2]diｓt[３]dist［4]dist[５]初始{1｝-1０mａxint3０１０01{1,２}210６03０１002{１,２，4｝41050309０3{1,2,4,３}310503０６04{１,２,4,３,5｝510５03０60Dijkstra算法的迭代过程:4．5单源最短路径2、算法的正确性和计算复杂性（１)贪心选择性质（2)最优子结构性质（3)计算复杂性ﻩﻩ对于具有n个顶点和e条边的带权有向图,如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dｉjkstｒa算法的主循环体需要 时间。这个循环需要执行n-1次,所以完成循环需要时间。算法的其余部分所需要时间不超过 。4.6最小生成树ﻩﻩ设G =(V,E)是无向连通带权图,即一个网络。E中每条边(v，ｗ)的权为ｃ[ｖ][w]。如果Ｇ的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树,则称G’为Ｇ的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中,耗费最小的生成树称为G的最小生成树。ﻩ网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如,在设计通信网络时,用图的顶点表示城市,用边(ｖ,w）的权c[ｖ][w]表示建立城市ｖ和城市w之间的通信线路所需的费用,则最小生成树就给出了建立通信网络的最经济的方案。4．６ 最小生成树１、最小生成树性质用贪心算法设计策略可以设计出构造最小生成树的有效算法。本节介绍的构造最小生成树的Prim算法和Krｕｓkal算法都可以看作是应用贪心算法设计策略的例子。尽管这2个算法做贪心选择的方式不同,它们都利用了下面的最小生成树性质：ﻩﻩ设G＝(V,Ｅ)是连通带权图,Ｕ是Ｖ的真子集。如果(ｕ,ｖ）E，且uU,vＶ－U,且在所有这样的边中,（u，v)的权ｃ[u][v]最小,那么一定存在G的一棵最小生成树,它以（u,ｖ）为其中一条边。这个性质有时也称为ＭST性质。4.6 最小生成树2、Ｐrim算法ﻩ设G=（V,E)是连通带权图,V={１，2，…,n}。ﻩ构造G的最小生成树的Priｍ算法的基本思想是：首先置S={1}，然后,只要Ｓ是V的真子集,就作如下的贪心选择:选取满足条件iＳ，jＶ－S，且c[i］[j］最小的边，将顶点ｊ添加到S中。这个过程一直进行到S=V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成Ｇ的一棵最小生成树。4.6最小生成树利用最小生成树性质和数学归纳法容易证明,上述算法中的边集合T始终包含G的某棵最小生成树中的边。因此，在算法结束时,T中的所有边构成Ｇ的一棵最小生成树。 ﻩ例如,对于右图中的带权图,按Priｍ算法选取边的过程如下页图所示。4.6最小生成树4．６最小生成树ﻩ在上述Ｐrim算法中，还应当考虑如何有效地找出满足条件iS,jV－Ｓ,且权c［i]［j]最小的边(i，j)。实现这个目的的较简单的办法是设置2个数组ｃloseｓt和lｏwｃost。ﻩ在Prim算法执行过程中，先找出Ｖ-S中使lowcｏｓt值最小的顶点j,然后根据数组cｌoｓｅｓt选取边(j,clｏsest[j］),最后将ｊ添加到S中，并对closｅst和lｏwcｏst作必要的修改。ﻩ用这个办法实现的Prｉm算法所需的计算时间为4.6最小生成树3、Krｕskaｌ算法ﻩﻩKrusｋａｌ算法构造Ｇ的最小生成树的基本思想是,首先将G的ｎ个顶点看成ｎ个孤立的连通分支。将所有的边按权从小到大排序。然后从第一条边开始,依边权递增的顺序查看每一条边,并按下述方法连接２个不同的连通分支:当查看到第ｋ条边（v，w)时，如果端点v和w分别是当前2个不同的连通分支T1和T２中的顶点时，就用边(v,w)将T1和Ｔ２连接成一个连通分支,然后继续查看第ｋ＋1条边;如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看第k+１条边。这个过程一直进行到只剩下一个连通分支时为止。4.６最小生成树ﻩ例如,对前面的连通带权图，按Krusｋal算法顺序得到的最小生成树上的边如下图所示。4.6最小生成树ﻩ关于集合的一些基本运算可用于实现Kruｓｋａl算法。ﻩ按权的递增顺序查看等价于对优先队列执行rｅmｏｖeＭin运算。可以用堆实现这个优先队列。ﻩ对一个由连通分支组成的集合不断进行修改，需要用到抽象数据类型并查集UｎioｎFｉnd所支持的基本运算。ﻩ当图的边数为ｅ时,Kruskal算法所需的计算时间是 。当 时,Krｕskal算法比Prim算法差，但当 时，Ｋruskａｌ算法却比Prｉm算法好得多。4.7多机调度问题ﻩ多机调度问题要求给出一种作业调度方案,使所给的ｎ个作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。这个问题是NP完全问题,到目前为止还没有有效的解法。对于这一类问题，用贪心选择策略有时可以设计出较好的近似算法。约定,每个作业均可在任何一台机器上加工处理，但未完工前不允许中断处理。作业不能拆分成更小的子作业。4．７多机调度问题ﻩ采用最长处理时间作业优先的贪心选择策略可以设计出解多机调度问题的较好的近似算法。按此策略，当 时,只要将机器i的[０， ti]时间区间分配给作业i即可，算法只需要O(１)时间。ﻩﻩ当 时,首先将n个作业依其所需的处理时间从大到小排序。然后依此顺序将作业分配给空闲的处理机。算法所需的计算时间为O（nlｏgn)。4.7 多机调度问题例如，设7个独立作业｛1,２，3,４,５,6，7｝由3台机器Ｍ1，M2和M3加工处理。各作业所需的处理时间分别为{2,14,４,1６,6,5,3｝。按算法greｅdｙ产生的作业调度如下图所示，所需的加工时间为１7。4.8贪心算法的理论基础借助于拟阵工具,可建立关于贪心算法的较一般的理论。这个理论对确定何时使用贪心算法可以得到问题的整体最优解十分有用。１、拟阵拟阵M定义为满足下面3个条件的有序对(S,I)：(1）S是非空有限集。ﻩ(2)I是Ｓ的一类具有遗传性质的独立子集族,即若BI，则B是Ｓ的独立子集,且B的任意子集也都是S的独立子集。空集必为I的成员。(３）Ｉ满足交换性质,即若AI,BＩ且|A|<|B｜，则存在某一元素xＢ－A,使得A∪{ｘ}I。4.8贪心算法的理论基础ﻩ例如，设S是一给定矩阵中行向量的集合,I是Ｓ的线性独立子集族,则由线性空间理论容易证明(S,I)是一拟阵。拟阵的另一个例子是无向图G＝（V,Ｅ)的图拟阵 。ﻩ给定拟阵M=(S,I)，对于I中的独立子集A I，若S有一元素x Ａ，使得将x加入A后仍保持独立性,即Ａ∪{x}Ｉ，则称ｘ为A的可扩展元素。当拟阵M中的独立子集Ａ没有可扩展元素时，称A为极大独立子集。4．8 贪心算法的理论基础ﻩ下面的关于极大独立子集的性质是很有用的。ﻩ定理4.1：拟阵M中所有极大独立子集大小相同。ﻩ这个定理可以用反证法证明。ﻩ若对拟阵Ｍ=(Ｓ,I)中的S指定权函数W，使得对于任意xS,有Ｗ（x)>0，则称拟阵M为带权拟阵。依此权函数，Ｓ的任一子集Ａ的权定义为 。2、关于带权拟阵的贪心算法ﻩ许多可以用贪心算法求解的问题可以表示为求带权拟阵的最大权独立子集问题。4.８ 贪心算法的理论基础ﻩﻩ给定带权拟阵M=(S,I),确定S的独立子集ＡI使得W(A)达到最大。这种使W（A）最大的独立子集A称为拟阵Ｍ的最优子集。由于Ｓ中任一元素x的权Ｗ(x）是正的，因此，最优子集也一定是极大独立子集。ﻩ例如，在最小生成树问题可以表示为确定带权拟阵 的最优子集问题。求带权拟阵的最优子集A的算法可用于解最小生成树问题。ﻩﻩ下面给出求带权拟阵最优子集的贪心算法。该算法以具有正权函数W的带权拟阵M＝(Ｓ，Ｉ)作为输入,经计算后输出Ｍ的最优子集Ａ。4．8 贪心算法的理论基础Setｇreedｙ(M,W）｛Ａ＝； 将S中元素依权值W(大者优先）组成优先队列; ｗhile（S!＝){S.remｏｖｅMａx（ｘ); if（A∪{x}Ｉ) A＝A∪{x｝; }ｒｅtuｒnＡ}4.8贪心算法的理论基础ﻩ算法greedy的计算时间复杂性为 。引理4．2(拟阵的贪心选择性质)ﻩ设Ｍ=(S,I）是具有权函数W的带权拟阵，且Ｓ中元素依权值从大到小排列。又设ｘS是S中第一个使得{x}是独立子集的元素,则存在S的最优子集A使得xA。ﻩﻩ算法gｒｅedy在以贪心选择构造最优子集A时，首次选入集合A中的元素x是
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素独立集中具有最大权的元素。此时可能已经舍弃了S中部分元素。可以证明这些被舍弃的元素不可能用于构造最优子集。4．8贪心算法的理论基础ﻩ引理４.3:设Ｍ＝(S,I)是拟阵。若S中元素x不是空集的可扩展元素，则ｘ也不可能是Ｓ中任一独立子集A的可扩展元素。ﻩ引理4.４(拟阵的最优子结构性质)ﻩﻩ设ｘ是求带权拟阵M＝(S,Ｉ）的最优子集的贪心算法greedy所选择的S中的第一个元素。那么，原问题可简化为求带权拟阵Ｍ’=(S’，I’）的最优子集问题,其中：ﻩﻩS’=｛y|y S且{ｘ,y} I}ﻩﻩI’＝{B｜BS-｛x}且Ｂ∪{x}I｝ﻩＭ’的权函数是M的权函数在S’上的限制(称M’为M关于元素ｘ的收缩）。4.8贪心算法的理论基础ﻩ定理4.５(带权拟阵贪心算法的正确性)ﻩﻩ设M＝(S,I)是具有权函数W的带权拟阵,算法greedｙ返回Ｍ的最优子集。3、任务时间表问题ﻩﻩ给定一个单位时间任务的有限集S。关于Ｓ的一个时间表用于描述S中单位时间任务的执行次序。时间表中第1个任务从时间0开始执行直至时间1结束,第2个任务从时间1开始执行至时间2结束,…，第n个任务从时间n-１开始执行直至时间n结束。4.8贪心算法的理论基础ﻩ具有截止时间和误时惩罚的单位时间任务时间表问题可描述如下。ﻩ(1) n个单位时间任务的集合S＝{1,2,…,n};ﻩﻩ（２）任务i的截止时间 ,1≤i≤ｎ,1≤≤n，即要求任务ｉ在时间之前结束;ﻩﻩ(3）任务ｉ的误时惩罚 ,1≤i≤n,即任务ｉ未在时间之前结束将招致的惩罚;若按时完成则无惩罚。ﻩ任务时间表问题要求确定S的一个时间表(最优时间表）使得总误时惩罚达到最小。4.８贪心算法的理论基础ﻩ这个问题看上去很复杂,然而借助于拟阵,可以用带权拟阵的贪心算法有效求解。对于一个给定的S的时间表,在截止时间之前完成的任务称为及时任务，在截止时间之后完成的任务称为误时任务。ﻩS的任一时间表可以调整成及时优先形式,即其中所有及时任务先于误时任务,而不影响原时间表中各任务的及时或误时性质。ﻩ类似地,还可将S的任一时间表调整成为规范形式，其中及时任务先于误时任务,且及时任务依其截止时间的非减序排列。4.8 贪心算法的理论基础ﻩ首先可将时间表调整为及时优先形式,然后再进一步调整及时任务的次序。ﻩﻩ任务时间表问题等价于确定最优时间表中及时任务子集Ａ的问题。一旦确定了及时任务子集A，将Ａ中各任务依其截止时间的非减序列出,然后再以任意次序列出误时任务,即S-A中各任务,由此产生S的一个规范的最优时间表。ﻩﻩ对时间t=1,2，…,ｎ，设（A)是任务子集A中所有截止时间是t或更早的任务数。考察任务子集A的独立性。4．8 贪心算法的理论基础ﻩ引理４.6：对于S的任一任务子集Ａ,下面的各命题是等价的。(1)任务子集A是独立子集。(２)对于ｔ=1,2,…,n，(A)≤t。（3) 若Ａ中任务依其截止时间非减序排列，则A中所有任务都是及时的。ﻩﻩ任务时间表问题要求使总误时惩罚达到最小,这等价于使任务时间表中的及时任务的惩罚值之和达到最大。下面的定理表明可用带权拟阵的贪心算法解任务时间表问题。4.8贪心算法的理论基础ﻩ定理４.7:设Ｓ是带有截止时间的单位时间任务集,I是Ｓ的所有独立任务子集构成的集合。则有序对(S,I)是拟阵。ﻩ由定理４.5可知，用带权拟阵的贪心算法可以求得最大权（惩罚）独立任务子集A,以Ａ作为最优时间表中的及时任务子集，容易构造最优时间表。ﻩ任务时间表问题的贪心算法的计算时间复杂性是 。其中f(ｎ)是用于检测任务子集Ａ的独立性所需的时间。用引理4.6中性质（2）容易设计一个 时间算法来检测任务子集的独立性。因此,整个算法的计算时间为 。具体算法gｒeｅdyJｏb可描述如P１30。４.8贪心算法的理论基础ﻩ用抽象数据类型并查集UｎionFｉｎd可对上述算法作进一步改进。如果不计预处理的时间,改进后的算法fasｔerＪoｂ所需的计算时间为 。作业算法分析题：ﻫ 4－１,４-2算法设计题：ﻫ 4-5,4-9, ４-12
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