高中数学必修四章末检测

Lastrevisiondate:13December2020.高中数学必修四章末检测第一章　三角函数(A)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．sin600°＋tan240°的值是(　　)A．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)＋eq\r(3)\f(1,2)＋eq\r(3)2．已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3,4)π，cos\f(3,4)π))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)\f(π,4)\f(3π,4)\f(5π,4)\f(7π,4)3．已知tanα＝eq\f(3,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，则cosα的值是(　　)A．±eq\f(4,5)\f(4,5)C．－eq\f(4,5)\f(3,5)4．已知sin(2π－α)＝eq\f(4,5)，α∈(eq\f(3π,2)，2π)，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)等于(　　)\f(1,7)B．－eq\f(1,7)C．－7D．75．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝eq\f(π,8)对称，则φ可能取值是(　　)\f(π,2)B．－eq\f(π,4)\f(π,4)\f(3π,4)6．若点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是(　　)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是(　　)8．为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝cos2x的图象(　　)A．向右平移eq\f(π,6)个单位长度B．向右平移eq\f(π,3)个单位长度C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度D．向左平移eq\f(π,3)个单位长度9．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的图象如右图所示，则当t＝eq\f(1,100)秒时，电流强度是(　　)A．－5AB．5AC．5eq\r(3)AD．10A10．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则(　　)A．ω＝2，θ＝eq\f(π,2)B．ω＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,2)C．ω＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,4)D．ω＝2，θ＝eq\f(π,4)11．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋eq\f(π,3))＋2的图象向右平移eq\f(4π,3)个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)\f(2,3)\f(4,3)\f(3,2)D．312．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(eq\f(4π,3)，0)中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)\f(π,6)\f(π,4)\f(π,3)\f(π,2)题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为________．14．方程sinπx＝eq\f(1,4)x的解的个数是________．15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(eq\f(7π,12))＝________.16．已知函数y＝sineq\f(πx,3)在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求函数y＝3－4sinx－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．18．(12分)已知函数y＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋3，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最大值为4，求实数a的值．19.(12分)如右图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0,0≤θ≤eq\f(π,2))的图象与y轴交于点(0，eq\r(3))，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A(eq\f(π,2)，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝eq\f(\r(3),2)，x0∈[eq\f(π,2)，π]时，求x0的值．20．(12分)已知α是第三象限角，f(α)＝eq\f(sinπ－α·cos2π－α·tan－α－π,tan－α·sin－π－α).(1)化简f(α)；(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3,2)π))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)若α＝－1860°，求f(α)的值．21．(12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq\f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，求f(x)的值域．22．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0且ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的部分图象，如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,3)))上有两个不同的实根，试求a的取值范围．第一章　三角函数(A)答案1．B　　4．A　[sin(2π－α)＝－sinα＝eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(4,5).又α∈(eq\f(3π,2)，2π)，∴cosα＝eq\f(3,5).∴eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,7)，故选A.]5．C　[检验feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))是否取到最值即可．]6．B　[sinα－cosα>0且tanα>0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5,4)π)).]7．D　[当a＝0时f(x)＝1，C符合，当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，当|a|>1时T<2π，B符合．排除A、B、C，故选D.]8．B　[y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2,3)π))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))).]9．A　[由图象知A＝10，eq\f(T,2)＝eq\f(4,300)－eq\f(1,300)＝eq\f(1,100)，∴T＝eq\f(1,50)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．(eq\f(1,300)，10)为五点中的第二个点，∴100π×eq\f(1,300)＋φ＝eq\f(π,2).∴φ＝eq\f(π,6).∴I＝10sin(100πt＋eq\f(π,6))，当t＝eq\f(1,100)秒时，I＝－5A，故选A.]10．A　[∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝eq\f(π,2).∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，|x2－x1|min＝π，即Tmin＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，ω＝2，故选A.]11．C　[由函数向右平移eq\f(4,3)π个单位后与原图象重合，得eq\f(4,3)π是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴eq\f(2π,ω)·k＝eq\f(4,3)π，∴ω＝eq\f(3,2)k(k∈Z)，∴ωmin＝eq\f(3,2).]12．A　[∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(eq\f(4π,3)，0)中心对称，即3cos(2×eq\f(4π,3)＋φ)＝0，∴eq\f(8π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.∴φ＝－eq\f(13π,6)＋kπ.∴当k＝2时，|φ|有最小值eq\f(π,6).]13．(6π＋40)cm解析　∵圆心角α＝54°＝eq\f(3π,10)，∴l＝|α|·r＝6π.∴周长为(6π＋40)cm.14．7解析　在同一坐标系中作出y＝sinπx与y＝eq\f(1,4)x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解．15．0解析　方法一　由图可知，eq\f(3,2)T＝eq\f(5π,4)－eq\f(π,4)＝π，即T＝eq\f(2π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，将(eq\f(π,4)，0)代入上式sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝0.∴eq\f(3π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－eq\f(3π,4).∴f(eq\f(7π,12))＝2sin(eq\f(7π,4)＋kπ－eq\f(3π,4))＝0.方法二　由图可知，eq\f(3,2)T＝eq\f(5π,4)－eq\f(π,4)＝π，即T＝eq\f(2π,3).又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝f(x0＋eq\f(T,2))＝0，∴f(eq\f(7π,12))＝f(eq\f(π,4)＋eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,4))＝0.16．8解析　T＝6，则eq\f(5T,4)≤t，∴t≥eq\f(15,2)，∴tmin＝8.17．解　y＝3－4sinx－4cos2x＝4sin2x－4sinx－1＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2－2，令t＝sinx，则－1≤t≤1，∴y＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2－2(－1≤t≤1)．∴当t＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(π,6)＋2kπ或x＝eq\f(5π,6)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－2；当t＝－1，即x＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝7.18．解　∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，∴－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤eq\f(1,2).当a>0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)时，y取得最大值eq\f(1,2)a＋3，∴eq\f(1,2)a＋3＝4，∴a＝2.当a<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝－1时，y取得最大值－a＋3，∴－a＋3＝4，∴a＝－1，综上可知，实数a的值为2或－1.19．解　(1)将x＝0，y＝eq\r(3)代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cosθ＝eq\f(\r(3),2)，因为0≤θ≤eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,6).由已知T＝π，且ω>0，得ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.(2)因为点A(eq\f(π,2)，0)，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝eq\f(\r(3),2)，所以点P的坐标为(2x0－eq\f(π,2)，eq\r(3))．又因为点P在y＝2cos(2x＋eq\f(π,6))的图象上，且eq\f(π,2)≤x0≤π，所以cos(4x0－eq\f(5π,6))＝eq\f(\r(3),2)，且eq\f(7π,6)≤4x0－eq\f(5π,6)≤eq\f(19π,6)，从而得4x0－eq\f(5π,6)＝eq\f(11π,6)，或4x0－eq\f(5π,6)＝eq\f(13π,6)，即x0＝eq\f(2π,3)，或x0＝eq\f(3π,4).20．解　(1)f(α)＝eq\f(sinα·cos－α·[－tanπ＋α],－tanα[－sinπ＋α])＝eq\f(－sinα·cosα·tanα,－tanα·sinα)＝cosα.(2)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3,2)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))＝－sinα，又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3,2)π))＝eq\f(1,5)，∴sinα＝－eq\f(1,5).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝－eq\f(2\r(6),5).(3)f(α)＝f(－1860°)＝cos(－1860°)＝cos1860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).21．解　(1)由最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))得A＝2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为eq\f(π,2)，得eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))在图象上得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6)，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,2)))，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)时，f(x)取得最大值2；当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)，即x＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．22．解　(1)由图象易知函数f(x)的周期为T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)－\f(2π,3)))＝2π，A＝1，所以ω＝1.方法一　由图可知此函数的图象是由y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,3)个单位得到的，故φ＝eq\f(π,3)，所以函数解析式为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).方法二　由图象知f(x)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋φ))＝0，∴－eq\f(π,3)＋φ＝kπ，k∈Z.∴φ＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，又∵φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)方程f(x)＝a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,3)))上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,3)))上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,3)))上的图象，当x＝0时，f(x)＝eq\f(\r(3),2)，当x＝eq\f(5π,3)时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))∪(－1,0)．