2019-2020年高考数学大一轮总复习 第7篇 第7节 立体几何的向量方法课时训练 理 新人教A版

PAGE/NUMPAGES2019-2020年高考数学大一轮总复习第7篇第7节立体几何的向量方法课时训练理新人教A版一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，有可能使l∥α的是(　　)A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：若l∥α，则a·n＝0.而选项A中a·n＝－2.选项B中a·n＝1＋5＝6.选项C中a·n＝－1，选项D中a·n＝－3＋3＝0，故选D.答案：D2．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为(　　)A．－2　　　　　　　　B．－eq\r(2)C．eq\r(2)D．±eq\r(2)解析：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±eq\r(2).答案：D3．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，则(　　)A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，－\f(1,3)))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.答案：B4．如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF.当A1、E、F、C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为(　　)A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5)D．eq\f(2\r(6),5)解析：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6，3,0)、F(3，6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DE,\s\up6(→))＝6a＋3b＝0，,n1·\o(DA1,\s\up6(→))＝6a＋6c＝0，))可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1，1)，故平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为eq\f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)＝eq\f(1,2).故选B.答案：B5．在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为(　　)A．eq\f(\r(6),4)B．－eq\f(\r(6),4)C．eq\f(\r(10),4)D．－eq\f(\r(10),4)解析：取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，如图所示，建立空间直角坐标系B－xyz，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，D(0,0,1)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，1)).∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，∴BE⊥平面AA1C1C，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))为平面AA1C1C的一个法向量，∴cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝－eq\f(\r(6),4)，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα＝|cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(\r(6),4).故选A.答案：A6．(xx年高考大纲卷)已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是(　　)A．eq\f(2,3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(1,3)解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DC1,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋2z＝0，))令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(DC,\s\up6(→))〉|＝eq\f(n·\o(DC,\s\up6(→)),|n|·|\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3).故选A.答案：A二、填空题7．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是________．解析：直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是±eq\f(n,|n|)＝±0，eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2).答案：0，eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2)或0，－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)8．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面ABC1D1的距离是________．解：法一　以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设点E(1，a,1)(0≤a≤1)，连接D1E，则eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1，a,0)．连接A1D，易知A1D⊥平面ABC1D1，则eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量．∴点E到平面ABC1D1的距离是d＝eq\f(|\o(D1E,\s\up6(→))·\o(DA1,\s\up6(→))|,|\o(DA1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(2),2).法二　点E到平面ABC1D1的距离，即B1到BC1的距离，易得点B1到BC1的距离为eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)9．(xx合肥月考)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为eq\f(\r(3),3)，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于________．解析：过C点作CO⊥平面ABDE，垂足为O，取AB中点F，连接CF、OF，则∠CFO为二面角CABD的平面角，设AB＝1，则CF＝eq\f(\r(3),2)，OF＝CF·cos∠CFO＝eq\f(1,2)，OC＝eq\f(\r(2),2)，则O为正方形ABDE的中心，如图所示建立直角坐标系Oxyz，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),2)，0))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，0，\f(\r(2),4)))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)))，eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),4)))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)))，cos〈eq\o(EM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EM,\s\up6(→))·\o(AN,\s\up6(→)),|\o(EM,\s\up6(→))||\o(AN,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)10．空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD，AE的中点，给出如下命题：①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面．则所有的正确命题为________．解析：如图设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|c|且a·b＝c·b＝0.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)(c－a)，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a)·b＝eq\f(1,2)(c·b－a·b)＝0，故AD⊥MN；eq\o(CE,\s\up6(→))＝c－a＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，故MN∥CE，故MN∥平面CDE，故②③正确；③正确时④一定不正确．答案：①②③三、解答题11．(xx陕西西安五校三模)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上．(1)求异面直线D1E与A1D所成的角；(2)若二面角D1ECD的大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由A1(1,0,1)，得eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，设E(1，a,0)，又D1(0,0,1)，则eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1，a，－1)．∵eq\o(DA1,\s\up6(→))·eq\o(D1E,\s\up6(→))＝1＋0－1＝0，∴eq\o(DA1,\s\up6(→))⊥eq\o(D1E,\s\up6(→))，则异面直线D1E与A1D所成的角为90°.(2)m＝(0,0,1)为平面DEC的法向量，设n＝(x，y，z)为平面CED1的法向量，则cos〈m，n〉＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(|z|,\r(x2＋y2＋z2))＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，∴z2＝x2＋y2①由C(0,2,0)，得eq\o(D1C,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，则n⊥eq\o(D1C,\s\up6(→))，即n·eq\o(D1C,\s\up6(→))＝0，∴2y－z＝0②由①、②，可取n＝(eq\r(3)，1,2)，又eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，所以点B到平面D1EC的距离d＝eq\f(|\o(CB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4).12．(xx福建厦门联考)如图所示，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝eq\r(6)，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD＝1，CD＝3，PD＝eq\r(3).(1)证明△PBC为直角三角形；(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．(1)证明：以点E(AC中点)为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则B(eq\r(2)，0,0)，C(0,2,0)，P(0，－1，eq\r(3))．于是eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，－1，eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，2,0)．因为eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，－1，eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，所以eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以BP⊥BC.所以△PBC为直角三角形．(2)解：由(1)可得，A(0，－2,0)．于是eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,1，eq\r(3))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,3，－eq\r(3))．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋y－\r(3)z＝0，,3y－\r(3)z＝0.))取y＝1，则z＝eq\r(3)，x＝eq\r(2).所以平面PBC的一个法向量为n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))．设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|\o(AP,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(4,2×\r(6))＝eq\f(\r(6),3).所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(6),3).