关于有出手高度的斜抛运动的最大射程分析（精品）
关于斜抛运动的最大射程
宁强县第一中学 贾银锁(724400)
关于抛出点和落地点在同一水平面上的斜抛运动的最大射程问
题
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，已经被众多的读者所熟知，也就是:当抛出角为45?时，水平
2v0射程最大，为 。但对抛出点和落地点不在同一水平面上的斜X,mg
抛运动来说，抛出角满足什么条件时，水平射程最远,最远为多少,下面就以上两个问题与读者一起进行探讨。
如下图所示，设斜抛物体的初速度为，抛出点与落地点的水v0
平高度差为H，令当斜抛运动的初速度与水平方向间的夹角为α时，水平射程X最大。
对初速度进行分解，然后由运动学规律不难可以得到以下v0
两个式子:
α
消去??中的α，得到
12242222XgtgHtHVt ?,,，,，0 2
整理?式得到
222gH，gH12，，V， ，V，2212200 X,[,H],g[t,] ? 22gg2
22V，2gH0从?式不难可以看出，当t= 时 X最大，有 2g
22V，gH，V，22200 即 ? X,V，2gHX,,Hm0m2gg
又因为物体在空中下落的过程中，遵守机械能守恒定律，故有
VV20tV,V，2gHX, 所以有 ? t0mg
12gt,H
2从??式中可以得出 tg,,X
2VVV2V，2gH0200tt,XVgH,，2,将 及 带入上式得 02ggg
VV00tg,,, ? 2VV，2gHt0
由以上推导，可以得出从距水平地面高为H的小球以初速度V斜抛0时:
V0 当初速度方向与水平方向间的夹角满足 α=arctg时，小球的Vt
VV0t水平射程为最大，且最大射程为Xm= (其中V为物体落地时tg
2V,V，2gH的速度，大小为 ) t0
另外，以上结论也可以由动量定理加以证明:
当V和H一定时，由机械能守恒定律得，物体落地时的速度必0
2V,V，2gH为定值 t0
因为小球在空中运动时只受重力的作用，由动量守恒定律得:小球从抛出到落地这段时间内，速度由初速度变化到，速度的变化VV0t量?V的方向一定在竖直向下的方向上，且满足上图的矢量关系(图中的为物体落地时的速度方向与水平方向间的夹角)
设物体在空中的运动时间为t，水平射程为X，则由运动学知识及动量定理可得出下述两式:
将?式中的t带入?中得到
又因为
而
所以有
由???三式得
因为、及g均为定值，所以，当(α+β)=90?时，X有最大值，VV0t
VV0t且为，而这一结论与上面的推导结论是完全一致的。 X,mg
在此，可以得到从高出水平地面H处以初速度V0斜抛出的物体，当满足V的方向与水平面间的夹角α=arctg 时，水平射程最大0
VV0t为 ，并且正好初速度的方向与落地时的末初速度的方向垂X,mg
2V,V，2gH直()。 t0
此外，读者自己不难可以证明以下3个结论:
?当抛出点和落地点在同一水平面上时，只是上面结论的一个特殊情况,上结论同样适用;
?当物体从水平地面向高处地面H处的地方以V斜上抛时，同0
样可以应用上述结论，不过此时V= t
?当抛出点高于水平地面时，要想使物体的水平射程最大，初速度方向与水平方向间的夹角 应小于45?;当抛出点低于落地点的时候，要想使物体的水平射程最大，应满足 ,45?;当抛出点与落地点在同一水平面时，为使物体的水平射程最大，必须要满足初速度的方向与水平方向间的夹角 =45?。
[注:以上讨论均不考虑空气阻力]
{说明,此
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已刊登于《中学物理》2003年第四期}
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