数学分析答案

第2，3，11章  习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解答 习题2-1 1. 若自然数 不是完全平方数. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 是无理数. 证明  反证法. 假若 且 互质 ，于是由 可知, 是 的因子，从而得 即 ,这与假设矛盾. 2. 设 是两个不同实数.证明在 和 之间一定存在有理数. 证明  不妨设 < . 因为 >0, 所以存在正整数 ,使得 < < ,即 < < , 且可知存在整数 < , 从而有 < . 综上可得 < < ,由此导出 < < ,即 < < ，其中 是有理数. 3. 设 为无理数.证明存在无穷多个有理数 ( , 为整数， )使得 . 证明  反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即 <   ,  令 取 , 且选取整数 , 使得 但因 是正整数，故又有 ,  从而可知   , 这与假设矛盾. 习题2-2 1．求下列数集的上、下确界. （1）                 （2） （3）         （4） . 答案：  (1) 上确界1,下确界0;    (2) 上确界 ,下确界2; (3) 上确界1,下确界-1；  (4) 上确界1,下确界0. 2．设 ，验证 .      证  由 得 是 的一个下界. 另一方面，设 也是 的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在 区间中必有有理数 ，则 且 不是 的下界.按下确界定义， . 3．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明  设 为数集 的上确界，即 .按定义， 有 .若 也是 的上确界且 .不妨设 ，则对 有 即 矛盾. 下确界的唯一性类似可证. 4．试证收敛数列必有上确界和下确界，且上下确界中至少有一个属于该数列.趋于 的数列必有下确界，趋于 的数列必有上确界. 证法1  设 为收敛数列，则 非空有界，由确界存在原理，存在 .若 ，则 为常数数列，于是， ；若 且 ，则存在两个子列 使 ，这与 收敛相矛盾.由此可得， 与 至少有一个属于 . 证法2  设 ，若 为常数列，则结论显然成立；若 不是常数列，不妨设 ，对 ，当 时， ，而在邻域 外，只有 的有限多项.在这有限项中必存在 的最大项或最小项，于是， 的上下确界中至少有一个属于 . 若 则 有下界，所以必有下确界；若 ，则 有上界，所以必有上确界. 5．证明：单调减少有下界的数列必有极限.            证 设数列 单调减少且有下界，根据确界存在原理 有下确界，记 . 由定义，(1) ； (2)  使 . 因为 单调减少，所以当 时，有 . 于是有 ，故得 . 习题2-3 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证  设 是 的一个下界， 不是 的下界，则 .     令 ，若 是 的下界，则取 ； 若 不是 的下界，则取 . 令 ，若 是 的下界，则取 ； 若 不是 的下界，则取 ；……， 按此方式继续作下去，得一区间套 ，且满足： 是 的下界， 不是 的下界 . 由区间套定理 ，且 . 下证 ： 都有 ，而 ，即 是 的下界. 由于 ，从而当 充分大以后，有 .而 不是 的下界 不是 的下界，即 是最大下界. 2. 设 在 上无界. 证明必存在 ,使得 在 的任意邻域内无界. 证明  由条件知， 在 上或 上无界，记使 在其上无界的区间为 ；再二等分 ，记使 在其上无界的区间为 ，……，继续作下去，得一区间套 ，满足 在 上无界.根据区间套定理， ，且 . 因为对任意的 ，存在 ，当 时，有 ，从而可知 在 上无界.          3. 设 , 在 上满足 , ,若 在 上连续, 在 上单调递增.证明存在 ,使 . 证明  记 且二等分 .若 ，则记 若 则记 .类似地,对已取得的 二等分,若 ，则记 ；若 ，则记 按此方式继续下去，得一区间套 ，其中 根据区间套定理可知， 且有 . 因为 在 上连续，所以 注意到   可得 ， 再由   可知 ，  . 习题2-4 1. 证明下列数列发散 (1) ,  (2) ,  证  (1) 因为 ， 所以 发散. (2) 因为 所以 发散. 2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明 必要性显然成立. 充分性. 不妨设数列 单调增加且存在 ，有 ， 现证 .因为 ，所以 当 时有 .注意到 单调增加且 ，取 ，则当 时，有 于是有  . 3. 设极限 存在,证明 . 证明  (1) 假若 或 ，显然题设极限不存在，矛盾. (2) 假若 ，设 令 ，则有 从而得 ，由 可知 . 又由 可知 . 再由 可知 .  此结果与等式 矛盾. 4. 设在 的某个邻域内有 ,且 .证明 . 证明  因为 ，根据海涅归结原理， 且 ，都有 . 又因为  ， 所以   . 根据数列极限的夹逼准则  ，  从而 . 5. 设 在 的一个邻域 内有定义.若对任意满足下列条件的数列 , , 都有 .证明 .  证明  反证法. 假若 ，则 使得 取 使得 取 ，使得 取 ， ，使得 ，…….， 数列 满足 ，且 ，但 与 矛盾，所以 . 6. 证明 的充要条件是:对每个严格单调递增的正无穷大 都有 . 习题2-5 1. 设 是有界数列.若 满足 .证明存在 和子列 、 使 . 证明  因为数列 有界，由致密性定理，存在 和子列 ，使得 . 又因为 ，所以 ，从而有 . 2．设有界数列 发散.证明:存在两个子列 和 收敛于不同的极限. 证明  因为 有界，由致密性定理，必有收敛的子列 ，设 . 又因为 不收敛，所以存在 ，在 以外，有 的无穷多项， 记这无穷多项所成的子列为 ，显然 有界.由致密性定理，必有收敛子列 ， 设 ，显然 . 3．用致密性定理证明：若 在 上无界，则存在 ，使 在 的 何邻域内无界. 证明  由于 在 上无界，故 ，使 . 特别取 ，使 ， ，使 ……. 于是，得点列 . 因为 ，由致密性定理， 中必有收敛子列 ，使得 . 由于 ，根据子列的性质， ， 此即 在 的任何邻域内无界. 4. 设定义在 上的函数 对任意 ,均存在极限 .证明 在 上有界. 证明  证法1反证法. 假定 在 上无界，则 ，使得 ， . 因为 是有界数列，故存在子列 ，使得 ， ， . 由此可知，极限 不存在，与题设矛盾. 证法2 由函数极限的局部有界性， 与 ，使得 . 是 的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在 的有限开覆盖 . 取 ， 则 ， 必属于 中某一个 ，于是 . 5. 设函数 在 上只有第一类间断点.证明 在 上有界. 证明 反证法. 假若 在 上无界，不妨设无上界，于是 使 .因为 有界，所以存在收敛子列 . 若 是 的连续点，则有 矛盾. 若 是 的第一类间断点，则有 或 ， 亦矛盾. 习题2-6 1．设 在 内有定义， . 若对任意的 ，存在 及 ，使得 ，有 ， 证明:存在 ，对一切 ，有 . 证明  作开区间集 ， 覆盖 . 根据有限覆盖定理， 存在 的有限子覆盖，记为 当 时，有 . 令 ，用插项法可得 ， . 2. 设 在 上连续且恒正,试用有限覆盖定理证明: 在 上存在正的下界. 3. 用有限覆盖定理证明区间套定理. 证明 设 为区间套，要证存在 ，使 . 用反证法.假若 都不是 的公共点，于是 ，使得 ，因而 . 作开区间集 ，它覆盖了 .由有限覆盖定理，存在有限开覆盖 覆盖 . 现取 ， ，而 ， 这与 相矛盾. 由此可知存在 ，使 . 习题2-7 1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性 (1) (2) (3) . 解 (1)  收敛. 因为 (2)  收敛. 因为 (3) 收敛. 设 ，则 2. 满足下列条件的数列 是不是柯西列? (1) 对任意自然数 ,都有 (2)  , (3)  . 解  (1) 对任意自然数 ,都有 ，即 当 时，有 故 是柯西列. (2)  因为  ， 所以  . 再由(3)，取 即可得证. (3)  记     ， 显然， 是递增有界数列，因而是收敛数列，也是柯西列. 再根据不等式 ， 可知 是柯西列. 3．证明 存在的充要条件是：对任意给定的 ，存在 ，当 时，恒有 . 证明  必要性.设 ，则 ，当 时，恒有 . 于是，当 时，有 . 充分性.已知 ，当 时，有 . 于是， ，对上述 ，当 时，有 ， 从而有          . 根据数列极限的柯西收敛准则可知 收敛，再由函数极限与数列极限的关系得到  存在. 习题3-1 1. 设定义在 上的函数 在 内连续,且 和 存在(有限).问 在 上是否有界?是否能取得最值? 解 在闭区间 上构造辅助函数 则 在 上连续，从而 在 上有界. 由于 ，故 在 上也有界，即存在 ，使得 . 令 ，则有 . 条件同上，但 在 上却不一定能取得极值. 例如： 2. 试用确界存在原理或有限覆盖定理证明有界性定理. 证明 （1）用确界存在原理证. 设 在 上有界. ，则 非空且有上界，由确界存在原理，存在 . 下面要证 并且 ，以使 ， 即 在 上有界.反证法。若 ，由连续函数的局部有界性， 在 内有界，即存在 ，使 ，这与 相矛盾，所以 . 再证 在 上有界. 因为 在点 连续，所以存在 ，使 在 上有界；再由 可知 在 上有界，于是 在 上有界. （2）用有限覆盖定理证. 已知 在 上连续，则 在 上每一点 的极限存在，因此存在点 的邻域 ，使 在该邻域内有界， ，这里的正数 及 与点 有关.由于 上的每一点都得到这样一个邻域（即开区间），这些开区间的全体构成一个开区间集，它覆盖了 . 根据有限覆盖定理，在开区间集中必有有限个开区间覆盖 ，记这有限个开区间为 ，相应的 分别记为 .  令 ，则有 . 注：对于区间端点 和 ，可以用延拓的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 将 及 换为开区间 及 ， 并考虑函数 3. 设 是 上的连续正值函数,若 .证明 . 证明  反证法. 假定结论不成立，则 有 ，使得 . 因为 连续，所以 在 上有界，从而 ，使得 时，有 由此可知， ，使 ，这与 矛盾. 4. 设 在 内连续,且 .证明 在 内可取得最小值. 证明  因为 ，故 有 ，且 ，当 时，有 . 由于 在[-X，X]上连续，故可取得最小值，从而 在 内可取得最小值. 5. 设 在 上连续,若开区间 内任一点均非 的极值点.证明 在 上单调. 证明  容易知道， 的最大、最小值点不在 内，因此不妨假定 是最小值， 是最大值，此时 是递增的.事实上，若存在 ，使得 ，则 是 上的最大值， 是最小值. 而在 上，则 是最大值， 是最小值. 由此得出 是 的极大值点，矛盾. 6. 设 在 上连续,且对任意 总存在 使 .证明 在 上存在零点. 证明  由于 在 上连续，故 在 上也连续，设 为其最小值. 又依题设，存在 ，使得 ，这只有 .