一、知识结构要点：
三角形中的三角函数 → 解斜三角形 → 实际应用
↓
↓ ↓
余弦
定理
正弦
定理
常用方法： （1）A+B+C=180° 可进行角的代换
（2） 可进行边角互换
（3） 可进行角转化为边
（4） 面积与边角联系。
1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。
推论1：△ABC的面积为S△ABC=
推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2= （1）
【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，
所以c2=AD2+p2-2AD·pcos ①
同理b2=AD2+q2-2AD·qcos， ②
因为ADB+ADC=，
所以cosADB+cosADC=0，
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=
注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式
（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
这里
所以S△ABC=
二、方法与例题
1．面积法。
例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是
【证明】P，Q，R共线
(α+β)=uwsinα+vwsinβ
，得证。
2、一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例2 在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
例3、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。
例4、
是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形。
三、基础练习：
1、△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，，且∠A=60°，
那么满足条件的△ABC （ ）
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
2、在△ABC中，有sinB=2cosCsinA，则此三角形是（ ）
（A）等边三角形 （B）等腰三角形 （C）等腰直角三角形 （D）直角三角形
3、△ABC中，已知sin2C－sin2A－sin2B＝sinAsinB，则角C等于
4、△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC是
5、△ABC中，若sinC＝，则△ABC为 .
6、在直角三角形、ABC中，分别表示它的斜边、内切圆半径和面积，则的最小值是 ．
7、在△ABC中，三边a, b, c成等差数列，求证：B≤6
8、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
9、已知△ABC的三个内角A,B,C满足A＋C＝2B,的值.
10、在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？
11、已知△ABC的三个内角成等差数列并且 tanA·tanC=2+⑴求A、B、C
的度数，⑵若AB边上的高CD= 求三边a、b、c 的长。
四、拔高练习
1．在△ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.
2．在△ABC中，若，则△ABC 的形状为____________.
五、作业
1、ΔABC中,a=1,b= , ∠A=30°,则∠B等于 （ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= ,∠A=30°
C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC中，有 （ ）
A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosAsinB且cosBsinA
4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B （ ）
A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60°
6、满足A=45°,c= ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．不定
7、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的相距 （ ）
A．a (km) B． a(km) C． a(km) D．2a (km)
8、在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．
9、在中，角对应的边分别是，若，
求
10、在中分别为的对边，
若，
（1）求的大小；（2）若，求和的值。
解三角形
1．正弦定理:或变形：.
2．余弦定理： 或 .
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5．解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：
.
高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形
一、选择题：
1、ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于 （ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= ,∠A=30°
C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC中，有 （ ）
A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosAsinB且cosBsinA
4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B （ ）
A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60°
6、满足A=45°,c= ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．不定
A
B
7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β, α(α<β),则A点离地面的高度AB等于 （ ）
A． B．
D C
C． D．
8、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的相距 （ ）
A．a (km) B．a(km) C．a(km) D．2a (km)
二、填空题：
9、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形.
10、在ΔABC中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
11、在ΔABC中，若SΔABC= (a2+b2－c2),那么角∠C=______.
12、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______.
三、解答题：
13、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB；
③sinC=④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).
1、在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．
2、在中，角对应的边分别是，若，求
3、在中分别为的对边，若，
（1）求的大小；（2）若，求和的值。
4、如图，是半个单位圆上的动点，是等边三角形，求当等于多少时，四边形的面积最大，并求四边形面积的最大值．
5、在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，( )
A． B． C． D．
6. 在中，已知，给出以下四个论断，其中正确的是
① ②
③ ④
一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10） （11） （12） 三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
，
. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②由
∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③，由正弦定理：再由余弦定理：
. ④由条件变形为
.
∴△ABC是等腰△或Rt△.
本文档为【三角函数之解三角形与练习(答案)】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483