北京交通大学第二学期工科数学分析Ⅱ期中考试试卷及其
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
2005-2006学年第二学期工科数学分析?期中考试试卷答案
北 京 交 通 大 学 2005-2006学年第二学期工科数学分析?期中考试试卷答案
一((本
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
满分56分,共有8道小题,每道小题8,8,8,8,8,8,8,7分)(
222,,,,u,,x,x,1,,ux,xux,x,x,, 1、设二元函数u,ux,y可微~且~(求当时~( x,021
解:
2,,ux,x,1 在方程两端对求导,得 x
22,,u,,,,x,x,ux,x,2x,0 ( 12
22,,,,u,,x,x,xx,ux,x,2x,0将题设中的代入上式,得 ( 12
12,因此,当时,有 ( ,,,uxx,,x,022
,z,zg,,,,z,fxy,lnx,gxyx,y 2、设函数与均可微~~求( f,x,y
解:
,z1,z,,,,,,,,,f,y,f,,g,y,f,x,f,g,x , ( ,,1212,xx,y,,
,,,z,z1,,,,,,,,所以, ,,x,y,xf,y,f,,g,y,yf,x,f,g,x,,,,1212,x,yx,,,,
,,,,,,,,x,f,y,f,x,f,g,y,y,f,x,y,f,g,x 1212
,,f ( 2
222222,,u,x,y,4zMx,y,z,1Mx,y,z 3、在曲面上求点~使得函数在点处沿00000
2v,2xy,z的梯度方向的方向导数为最大(
,,,u,u?max{|,l},[l与grad(u)同向时]解2: ,l,l
,
又?l,grad(v)?应有grad(v)//grad(u)且不反向.,(2y,2x,2z)//(2x,,2y,4z)
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2005-2006学年第二学期工科数学分析?期中考试试卷答案
2y2x2z222,,,x,y,z,1,(x,y,z),(0,0,,1). 0002x,2y8z
2,,Mx,y,zv,2xy,z解: 函数在点处的梯度为 0000
( ,,,,gradv,2y,2x,2z,2y,2x,2z000MM00
,10因此的单位向量为 ( ,,gradvl,y,x,z000M2220x,y,z000,u22又 ( ,,,,,2x,,2y,8z,y,x,z,2xy,2xy,8z,8z000000000000,lM0
2222x,y,z,1在约束条件下,求函数的最大值(用Lagrange乘数法,令 w,z
2222L,z,,,,x,y,z,1 ,
,L,,,2,0x,,x,,L,,,2y,0,,y,,,,x,y,z,0,0,,1则有 (解方程,得( ,,L,,2z,2z,0,,,z
,,L222xyz,,,,1,0,,x,
,u2所以的最大值为( ,8z80,lM0
2222Ly,x,,,,y,x2xy,xdx,x,ydy 4、计算曲线积分~其中是由抛物线与所围成的区域,L
的正向边界曲线(
解:
22,,,,Qx,y,x,yPx,y,2xy,x , ,Q,P,,1,2x所以,( ,x,y
LD 设曲线所围的区域为,由Green公式,得
22,,,,,,2xy,xdx,x,ydy,1,2xdxdy ,,,LD
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2005-2006学年第二学期工科数学分析?期中考试试卷答案 1x12,,,,,,,1,2xdxdy,1,2xx,xdx ,,,200x
13,,232,,x2xx2xdx,,,, ,,,0,,
135,,241113422,, ,x,x,x,x, ,,353230,,0
,,,,,,, 5、设函数fx在点处可导~f0,a~且函数fx在点处的某邻域内连续~x,0x,0
222,,,,,,x,y,z:x,y,z,t,t,0,,f0,0(再令~求极限
1222,,fx,y,zdxdydz( lim2,,,,t,0t,
解:
2,,t112222,,,,limfx,y,zdxdydz,limd,sin,d,frrdr 22,,,,,,,,,,00tttt,000
t2frrdr,,,,,f,,tt1ft,,0,,, ( ,,,,4lim,,4lim,,,lim,,f0,a,2,,,,,t,0t,0t,0t2t2tt,,
2222x,y,2yz,x,y 6、设为锥面被圆柱面截下的有限部分~计算曲面积分 S
2( ,,I,x,xzdS,,S
解:
D将投影到xOy平面的区域记为,则有 S
22,,D,,,x,y:x,y,2y(
22z,x,y的方程为,因而有 S
,zx,zy,,, ( 2222,x,yx,yx,y
22,,,z,z,,,, dS,1,,dxdy,2dxdy ,,,,,x,y,,,,
于是,
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2222 ,,,,I,x,xzdS,x,xx,y2dxdy,,,,SD
2,2sin,2222 ( 22cos,xdxdy,dr,rdr,,,,,,,,4D00
222,,,,6xyzL 7、求曲线: 在点,,处的切线方程( M2,1,1,2222x,y,z,8,
解:
,222S:x,y,z,6,,,, 曲面在点M2,1,1处的法向量为n,4,2,2( 11
,222S:2x,y,z,8,,,, 曲面在点M2,1,1处的法向量为n,8,2,,2( 22
L,,所以,曲线在点M2,1,1处的切向量为
,,,
ijk
,,, ,,( s,n,n,422,,8,24,,812
82,2
x,2y,1z,1L因此,曲线的方程为,,( 1,31
,,,F(2,1,1)(x,2),F(2,1,1)(y,1),F(2,1,1)(z,1),0,xyz切线:解2: ,,,,G(2,1,1)(x,2),G(2,1,1)(y,1),G(2,1,1)(z,1),0xyz,
4(x,2),2(y,1),2(z,1),0,
,8(x,2),2(y,1),2(z,1),0,
u,xycosz,,divgradu 8、设~计算(
解:
,u,u,u,xcosz ,,( ,ycosz,,xysinz,y,x,z
,,,u,u,u,,,,所以,gradu,,,,ycosz,xcosz,,xysinz( ,,,x,y,z,,
,,,,divgradu,divycosz,xcosz,,xysinz所以,
,,,,,,,,,,ycosz,xcosz,,xysinz,,xycosz ( ,x,y,z
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2005-2006学年第二学期工科数学分析?期中考试试卷答案 二((本题满分30分,共有3道小题,每道小题10分)(
2,uuu,e,xy,,由方程所确定~求( 9、设二元函数u,ux,y,x,y
解:
uu,e,xy 对方程两端求微分,得
udu,edu,ydx,xdy ,
,uy,uxyx,所以,,,,由此得,( ,dudxdyuuuu,y1,e1,1,,x1,eee
2,u,,u,y,,,,,,所以, ,,,,u,x,y,y,x,y1,e,,,,
,y,,uuuuu,1,e,y,1,e1,e,ye,,,,,,,y,y,y ,,22uu,,,,1,e1,e
xuu2,,1,e,ye,uuu1,e,xye,,1,e,, ( 23uu,,,,1,e1,e
222,,z,R,x,yR,0 10、设为上半球的内侧~计算曲面积分 S
( ,,,,I,x,ydxdy,xy,zdydz,,S
解:
,S:z,0S,SS,S 加上曲面,取上侧(则构成一个封闭曲面,取内侧(记所围区域是,由111Gauss公式,得
,,,,I,x,ydxdy,xy,zdydz,,S
,,,,,,,,,x,ydxdy,xy,zdydz,x,ydxdy,xy,zdydz,,,,S,SS11
,,,,,,y,zdxdydz,x,ydxdy , ,,,,,,D
222DD:z,0,x,y,Ry其中(由于区域关于x轴与轴都对称,所以
,,x,ydxdy,xdxdy,ydxdy,0 ( ,,,,,,DDD
,又因为空间区域关于坐标面对称,所以 xOz
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( ydxdydz,0,,,,
222RRr,,所以, ,,y,zdxdydz,,zdxdydz,,d,rdrzdz,,,,,,,,,000,,
R444,,RR,R22,, ,,,,,,,,,,Rrrdr,,,,,244,,0
4,R所以,( ,,,,,,,,,Ixydxdyxyzdydz,,4S
xyz,,, 11(设为平面 a,0,b,0,c,0与三个坐标面所围成的四面体区域~求三,,,1abc
重积分
,,Ia,b,c,zdv( ,,,,
,,a,b,cIa,b,c再设为定值~试求的值~使得为最大~并求此最大值( a,b,c,h
解:
yxx,,,,bc11,,,,,,,abaa,,,,
,,Ia,b,c,zdv,dxdyzdz ,,,,,,,000
x,,b1,,,23aaa,,222cxybcxabc,,,, 11,,,,,,( dxdydx,,,,,,,2624aba,,,,000
2,,,,La,b,c,,,abc,,a,b,c,h 令
,F,2,,bc,,0,,a,,F2,,,ac,,0,,b则有 ( ,,F,,,2abc,,0,c,
,F,abch,,,,,0,,,,
2habch,,,,Iabc,a,b,解方程,得,c,(此为在约束条件下的惟一驻点(并a,b,c,h2442
2habch,,,,,,Iabc,Ia,b,ca,b,且因为在条件下,有最大值,故当,c,时,a,b,c,h2442
有最大值,且最大值为
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4h( I,max1536
三((本题满分14分,共有2道小题,每道小题10,7分)(
,,xyxdy,ydx22x,y,0 12、证明:曲线积分在开区域内的积分与路径无关( I,44,x,yL
解:
22x,y,0 这是复连通域(要证在区域内积分与路径无关,其充分必要条件时沿任意一条闭路曲
22x,y,0线上的积分为即可(而在区域内的任何闭路分为两类:一是包含原点,另一类是不包含原0
点(
22Lx,y,0 如果区域内的闭路不包含原点(由于
22,xyxy, P,Q,4444x,yx,y
44,Py,x,Q,xy,由于 2, 244,y,x,,x,y
xy,,xdyydx,I,,0所以由Green公式,得( 44,xy,L
22Lx,y,0 如果区域内的闭路包含原点(以原点为圆心,半径,作圆: ,,0
,,,xcos,:, C,y,,sin,,
取正向(则
,,,xy,,xdy,ydxxyxdy,,,ydxsincos (因为被积函数是奇函数)( I,,,d,,0444444,,,x,yx,ycos,sin,,LC,,
xy,,xdy,ydx22x,y,0I, 综上所述,可知积分在区域内与路径无关( 44,x,yL
y 13、已知某鱼塘饲养两种鱼~若甲种鱼放养x万尾~乙种鱼放养万尾~则收获时这两种鱼的收获
量分别为
,,,,,,3,,x,,yx4,,x,2,yy,,,,0 和 ~ (
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求使产鱼量最大的放养数(
解:
,则是两种鱼的总收获量,即 设产鱼量为zz
22,,,,z,3,,x,,yx,4,,x,2,yy,3x,4y,,x,2,y,2,xy
所以,有
,z,,,,3,2x,2y,0,,,x , ,,z,,,4,4y,2x,0,,,y,
,,,,,,3243,,,,解方程,得唯一驻点,,( ,,xy,002222,,2,,2,,2,,,,,,
222,z,z,z 记 ,, A,,,2,B,,,2,C,,,4,22,x,y,x,y
22222B,AC,4,,8,,,4,,2,,,,0由于,所以,( ,,,,0A,,2,,0
22,,z,3x,4y,,x,2,y,2,xyx,y所以,二元函数在点处取得极大值,也即最大值( 00
,,,,3,24,3因此,要使鱼产量最大,甲种鱼应放万尾,乙种鱼应放万尾( 22222,,,,,22,,,
设二元函数F(x,y)满足F(x,y),f(x)g(y);14((10分)
1且F在极坐标下只是r的函数,即F(x,y),s(r);求F(x,y).[其中F,f,g,s,C]
,,,,?0,[s(r)],F,r(,sin,),F,rcos,,,yf(x)g(y),xf(x)g(y)解: ,xy
,,,,f(x)g(y)f(x)g(y)?,;注意只是x的函数(不含y),只是y的函数(不含x), xf(x)yg(y)xf(x)yg(y)
,,f(x)f(x)故由两者相等,既不含y也不含x,,,C, xf(x)xf(x)
C2x,f(x)C22 dx,Cxdx,lnf(x),x,C,,f(x),ke11,,f(x)2
CC222y(x,y),g(y)22 同理由,C,g(y),ke,,F(x,y),ke2yg(y)
其中k,C 为任意常数.
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