【doc】 集中荷载作用下一次超静定梁的弹性力学解

【doc】 集中荷载作用下一次超静定梁的弹性力学解 集中荷载作用下一次超静定梁的弹性力学 解 第37卷第4期 2005年12月 郑州大学(理学版) J.ofZhengzhouUniv.(Nat.Sci.Ed.) Vo1.37No.4 Dec.2005 集中荷载作用下一次超静定梁的弹性力学解 李会知1,2,刘敏珊,董其伍 (1.郑州大学土木工程学院郑州450002;2.郑州大学热能工程研究中心郑州450002) 摘要:根据弹性力学平面问题的基本理论,采用半逆解法,求出了单跨一次超静定梁在集中荷载作用下的应力和位 移多项式解,并与材料力学解进行了比较,说明了材料力学解的精度和适用范围,可供工程结构设计和弹性力学教 学参考. 关键词:超静定梁;应力;位移;集中荷载;弹性力学 中图分类号:TU323.3文章编号:1671—6841(2005)04--0101一O4 梁是工程结构中最常见的构件,梁的受力和变形分析是工程结构设 计的基础.在现有的材料力学教 材中,对于静定和超静定梁的力学计算,均是建立在平截面假定的基础上来求解.研究 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,这样得出的 材料力学解,在浅梁情况下较为精确,而对于深梁则存在较大的误差,难以满足结构设计的要求.对于静定的 简支梁和悬臂梁的受力分析,弹性力学教材”从基本方程出发给出了相对于材料力学更为精确的弹性力 学解答,并指出均布荷载作用下的简支梁在4倍跨高比时材料力学解已经足够精确.而对于超静定梁的弹性 力学解,弹性力学教材却未讲解.本文根据弹性力学平面问题的基本理论,采用半逆解法,求出了一端固支, 一 端铰支的单跨超静定梁在集中荷载作用下的弹性力学应力和位移解,并由此说明了材料力学解的精度和 适用性.本文得出的公式和结论可供工程结构设计和弹性力学教学参考. 1一次超静左边是的函数,右边是Y的函数,所以左右两边应等于同一常数,设此常数为,则 g1()一一(2+tOA1y.+詈(1q-,u)A1h一1y”kuo1,g2()一一A1+1x+vo1. 将所得g()和g()代入式(7)得 “一 吉[3A1Y一(2+tOA1y.q-2(1q-/1)A1h2一1y”kuo1](8) 一 吉(一3A1xy一A1.+1x+vo1)(9) 式中,常数,73.和为表示刚体位移的常数.同理可得X=a~l段的位移为 “= 1[-3(A一 等)x2y--~-xy_(2(A一2P)ya+导(1(A一-rP)h2y--m2y+U02](10) 一 1[(A一箬z-y2--(A一簪一372计)(11) 第4期李会知等:集中荷载作用下一次超静定梁的弹性力学解103 架即边界力钗叉骊,位杉边界杀仟为(),o一0;梁的右边界是固定端,严格来说,在整个固定端 上,各点应都不能移动和转动,但对于多项式解答,这些条件难以完全满足,且工程上梁端完全固定也很难实 现.故一般将固定端的位移边界条件近似为边界中点固定不动(该点不能移动,水平线不能转动),因此右边 界的位移边界条件为()一.一0,()二厶:.一0,(),一.一0;z—n处位移协调条件为()一硅.一 ()=.右.,()…左.一()踮.,()一左.一():.右..由位移条件得 Al=P(2-- h-~ 3a.a3. I,._0,-0,一一, 一c一一c+务 从而Xz0,n段应力分布和z一口,z段的应力分布分别为 一 6P(2一 +a3)z,一0,一3P(2一丁3a十,a3八..1.2__ y2)(12) 一 6P(一 +a3).. -- I-3(1--I-)(一丁3aT--a~,.n.2一 3nz(1+)](16) 一西P[一3(一3 z ag . a z. ~ Jxyz--6flayz+(一a3)z3— 6nz.+3nz(1+芳)zz一2n.](17) 由公式(15)可得梁轴线z一0,n段的挠度为 ().一百P[一 3 (2— z a _ 4. _ a z. 3 J.z.+3nz(1一手).z](18) 由公式(17)可得梁轴线Xza~l段的挠度为 ()一.一[(一)3—6nz.+3nz(1+)z一2n.](19) 2弹性力学解与材料力学解比较 弹性力学是从平衡方程,几何方程,物理方程出发求解,材料力学是从平衡方程,物理方程和平截面假设 基础上的几何关系出发求解,因此,弹性力学方法比材料力学方法更具合理性.利用材料力学方法对集中荷 载作用下一端固支,一端铰支的单跨超静定梁求解,得到材料力学解,与弹性力学解比较,可以得出: 1)材料力学解,分别与弹性力学解式(12),(13)中的相应分量完全相同, 材料力学解的挠度与弹性 力学解式(18),(19)完全相同,但弹性力学解比材料力学解多得出了正应力分量O’y和位移分布表达式(14) , (17). 3— 2)从式(14)和(16)可以得出,与Y有关,因此梁变形不严格符合材料力学的平截面假定,那么为什么 u 材料力学解还与弹性力学解的相应分量相同呢?根据文献Es]可以推测,只是因为梁上,下边界不存在分布 104郑州大学(理学版)第37卷 力,使得应力分量O’y一0,才使应力分量的解相同.对于梁上或下边界存在分布力的工况,应力分量?0, 两种求法应力分量的解是不同的. 3)材料力学解虽与弹性力学解的相应分量相同,但不能说明材料力学解是精确的,正是因为与弹性力 学相应解相同,才更清楚的说明材料力学解是近似的,因为从式(14),(17)可以看出,x=a处位移分量不 精确满足位移连续条件,所以弹性力学多项式解就是近似的,这是集中荷载作用时采用多项式应力函数求解 弹性力学解的局限性引起的. 4)本文得出的弹性力学多项式解在两端以及集中力作用处是不精确的,但根据圣维南原理,在离开这 三处一段距离后弹性力学多项式解是精确的,这段距离通常认为是一倍梁高,根据这一点可判断材料力学和 弹性力学多项式解的适用范围.因此,材料力学解和弹性力学多项式解只适用于跨高比较大的浅梁,对于深 梁不适用. 参考文献: [1]袁庆海.材料力学.武汉:武汉工业大学出版社,2000. [2]孙训方.材料力学.北京:高等教育出版社,1991. [3]徐芝纶.弹性力学.北京:高等教育出版社,1988. [4]陆明万,罗学富.弹性理论基础.北京:清华大学出版社,2001. [5]李会知,宁永胜,刘敏珊.从应力边界条件推求应力函数.郑州大学(理学版),2005,37(1):91,93 ElasticMechanicsSolutionofBeamswithOneDegreeofIndeterminacy UndertheActionofC0ncentratedLoad LiHuizhi,LiuMinshan,DongQiwu (1.CollegeofCivilEngineering,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450002, China; ResearchCenterofHeatEnergyEngineering,ZhengzhouUniversity,Zheng zhou450002,China) Abstract:Bymeansofthebasictheoryofplaneprobleminelasticmechanicsandbyusinghalfad— versesolvingmethod,thestressesanddisplacementsofbeamswithonedegreeofindeterminacy undertheactionofconcentratedloadarecalculated,andtheresultsarecomparedwiththemate— rialmechanicssolutions.Theprecisionandapplicabilityofsolutionsofmaterialmechanicsare discussedfromabovesolutions.Theresultsmaybehelpfulforstructuredesignandelasticme— chanicsteaching. Keywords:staticallyindeterminatebeam;stress;displacement;concentratedload;elasticme— chaniCs